2022-2023初数北师大版八年级上册第七章平行线的证明 章末检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·馆陶期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同位角相等
C．垂线段最短 D．连接、两点
2．（2022·鄞州模拟）能说明命题“对于任意实数 ， ”是假命题的反例为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021七上·永定期末）下列四个生活，生产现象：
①从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③用两个钉子就可以把木条固定在墙上；④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线.其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
4．（2020八上·慈溪期中）下列叙述错误的是（ ）
A．所有的命题都有条件和结论 B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题 D．所有的公理都是真命题
5．（2022七下·迁安期末）将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD=∠E=45°，∠C=30°，AE∥BC，求∠AFD的度数，以下是打乱的推理过程：①∵∠E=45°，②∴∠AFD=∠E＋∠EAC=45°＋30°=75°；③∵∠C=30°，AE∥BC，④∴∠EAC=∠C=30°．推理步骤正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④
6．（2021八上·朝阳期末）在证明命题“若，则”是假命题时，下列选项中所举反例错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022七下·魏县期末）下面的语句是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．钝角的补角是锐角
C．垂线段最短 D．直角的补角是直角
8．（2022七下·顺平期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．实数由有理数和无理数组成 B．实数分为正实数和负实数
C．若，则a=b D．是个分数
9．（2022七下·顺平期末）a、b、c是同一平面内的三条直线，下列说法错误的是（ ）
A．若a⊥b，b//c，则a⊥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a//b，b⊥c，则a⊥c D．若a//b，b//c，则a//c
10．（2021八上·古冶期中）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
证法1：如图，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和定理）
又∵∠ACD＋∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等式性质）
证法2：如图，
∵∠A＝88°，∠B＝58°，
且∠ACD＝146°（量角器测量所得）
又∵146°＝88°＋58°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等量代换）
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七下·新余期末）把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 ．
12．（2022七下·钢城期末）三角形的任意两边之和大于第三边是 命题．（填写真或假）
13．（2022七下·交口期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．如图，小华的画法：①将含角三角尺的最长边与直线重合，用虚线作出一条最短边所在直线；②再次将含角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线，则．你认为他画图的依据是 ．
14．（2021八上·长兴月考）一次数学测试，满分为100分.测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分.那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了；③俩人的说法都是错的.其中真命题是 .（用序号填写）
15．（2022七下·房山期末）若用一组x，y的值说明命题“若，则”是假命题，则这样的一组值可以是x= ，y= ．
16．（2022七下·恩平期末）下列命题中：①两点的所有连线中，线段最短；②不等式两边加同一个数，不等号的方向改变；③等式两边加同一个数，结果仍相等；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．是假命题的是： （填编号）
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021六下·浦东期末）如图，已知点C在线段AB上，AC＝6，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点．求DE的长．
请把下面的解题过程补充完整：
解：因为点D是线段AB的中点，
所以DB＝ ▲ ；
因为点E是线段BC的中点，
所以BE＝ ▲ ；
因为DE＝DB﹣BE，
所以DE＝ ▲ ﹣ ▲ ＝ ▲ ；
因为AC＝6，
所以DE＝ ▲ ．
18．（2021七下·房山期末）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的符合题意性．
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；
②写出已知，求证；
③受拼接方法的启发画出辅助线；
④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．
19．（2021八上·南昌期中）
（1）如图1，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：∠BFD的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ ▲ ），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ ▲ （ ▲ ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．
（2）如图2，把一个长方形的纸ABCD沿对角线折叠（长方形对边平行且相等，四个角是直角），重合部分△FBD是个什么三角形？请证明你的结论．
20．（2021七上·青龙期中）如图1所示， 、 都是直角．
（1）试猜想 与 在数量上的关系是相等、互余还是互补的关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否正确吗？
（2）当 绕着点O旋转到图2的位置时，你原来的猜想还成立吗？
21．（2021八上·微山期中）如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB：④AB＝DE．
（1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 ；
（2）从（1）中选择一个真命题进行证明
已知：
求证：
证明：
22．（2022七下·乾安期末）如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1=115°，
（1）求∠2和∠4的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角 ；
（3）利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的两倍，求这两个角的大小.
23．（2022七下·呼和浩特期末）探究问题：已知，画一个角，使//，//，且DE交BC于点P．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ▲ ；图2中与数量关系为 ▲ ；选择图1的情况，说明理由．
②由①得出一个真命题，请用文字叙述该命题．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求出这两个角的度数．
24．（2021七下·昌平期末）（概念学习）定义：对于一个三位的自然数 ，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数 为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且 ， ，2为整数；
643不是“好数”，因为 ， 的商不是整数．
（1）（初步探究）
自然数312，675，981，802是“好数”的为 ；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
（3）（深入思考）
求同时满足下列条件的“好数”：
①百位数字比十位数字大5；
②百位数字与十位数字之和等于个位数字．
25．（2022七下·雨花期末）问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝ °，∠EMC＝ °．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】两点确定一条直线，是命题，故A不符合题意；
同位角相等，是命题，故B不符合题意；
垂线段最短，是命题，故C不符合题意；
连接A、B两点，不是命题，故D符合题意；
故答案为： D．
【分析】根据命题的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：命题“对于任何实数a，|a|＞-a”是假命题，反例要满足a≤0，如a=-2.
故答案为：B.
【分析】说明一个命题为假命题的反例，只需要满足命题的题设，不满足命题的结论就行，即不满足|a|>-a，据此判断.
3．【答案】A
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】①从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故正确；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故正确；
③用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故错误；
④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”.故错误；
故答案为：A.
【分析】根据“两点之间线段最短”与“两点确定一条直线”逐一进行分析即可.
4．【答案】B
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：A、 所有的命题都有条件和结论是正确的，A不符合题意；
B、所有的命题不一定是定理，是错误的，B符合题意；
C、 所有的定理都是命题，是正确的， C不符合题意；
D、 所有的公理都是真命题，是正确的， D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句；再由命题与定理、公理的关系逐一分析即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵∠C＝30°，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∵∠E＝45°．
∴∠AFD＝∠E＋∠EAC＝45°＋30°＝75°．
故答案为：C
【分析】利用推理过程及角的运算和平行线的性质求解即可。
6．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】显然A选项既满足命题的条件也满足命题的结论，故不是举反例，其它三个选项满足命题的条件，但不满足命题的结论，所以都是举反例；
故答案为：A
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过取反例的方法来证明一个命题是假命题即可。
7．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，才会同旁内角互补，故原命题是假命题；
B、钝角的补角是锐角，故原命题是假命题；
C、垂线段最短，故原命题是假命题；
D、直角的补角是直角，故原命题是假命题；
故答案为：A．
【分析】根据假命题的定义逐项判断即可。
8．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 实数由有理数和无理数组成，该选项是真命题；
B. 实数分为正实数，零和负实数，该选项是假命题；
C. 若，则a= b，该选项是假命题；
D. 是个无理数，该选项是假命题．
故答案为：A．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
9．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，不合题意．
B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，符合题意，
C．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，不合题意．
D．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，不合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质和平面内直线的位置关系逐项判断即可。
10．【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的符合题意，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A不符合题意；
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的符合题意，
∴B符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】依据多了证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论。
11．【答案】如果两个角是同位角 那么这两个角相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：原命题的条件为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等”，
所以可改写为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
【分析】根据命题的定义求解即可。
12．【答案】真
【知识点】三角形三边关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵三角形的任意两边之和大于第三边．
∴原命题是真命题．
故答案为：真．
【分析】根据三角形三边关系进行判断即可.
13．【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：画图的依据是：内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定方法求解即可。
14．【答案】②
【知识点】推理与论证；真命题与假命题
【解析】【解答】解：若设李华的说法是真命题，则两个人的分数和为160分，若其中一人拿100分，另一人拿60分，那么他们的差最大，为100-60=40分<60分
因此他们两人之中，至少有人说谎，故本题的真命题是②.
故答案为：②.
【分析】根据满分为100分，若两人分数的和是160分，即使让其中一人的得分最高是100，另一人的得分是60，则他们分数的差也不会是60分，所以命题②是正确的.
15．【答案】0；-2
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若x=0，y=-2，则满足x>y的条件，
∴x2=0，y2=4，
∴x2故答案为：0，-2（答案不唯一）．
【分析】根据题意先求出x2=0，y2=4，再求解即可。
16．【答案】②④
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①两点的所有连线中，线段最短，是真命题，不符合题意；
②不等式两边加同一个数，不等号的方向改变，是假命题，符合题意．真命题应为“不等式两边加同一个数，不等号的方向不变”；
③等式两边加同一个数，结果仍相等，是真命题，不符合题意；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，符合题意．真命题应为“两平行直线被第三条直线所截，同位角相等”．
故答案为：②④．
【分析】根据线段公理判断①；根据不等式的基本性质判断②；根据等式的基本性质判断③；根据平行线的性质判断④，即可得出答案。
17．【答案】解：解：因为点D是线段AB的中点，
所以DB＝ AB；
因为点E是线段BC的中点，
所以BE＝ BC；
因为DE＝DB﹣BE，
所以DE＝ AB﹣ BC＝ AC；
因为AC＝6，
所以DE＝3．
【知识点】推理与论证；线段的计算
【解析】【分析】根据线段中点定义推出DB=AB，BE=BC，根据线段关系得到DE＝DB﹣BE，推出DE=AB-BC=（AB-BC）=AC，即可求出答案。
18．【答案】解：已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．
∵BE∥AC，
∴∠1=∠4，∠5=∠3，
∵∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
即∠A+∠ABC+∠C=180°．
【知识点】平行线的性质；推理与论证
【解析】【分析】先根据题意画出图形，再利用平行线的性质和平角的定义求解即可。
19．【答案】（1）解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ （三角形内角和 ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．
（2）答：重合部分 是等腰三角形．
证明：∵折叠，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴重合部分 是等腰三角形．
【知识点】推理与论证；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质，三角形的内角和等于180°求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后求解即可。
20．【答案】（1）解：互补，
，
所以 与 互补；
（2）成立．
理由：因为 、 都是直角，所以 ，
根据周角定义知 ，
即 ，
所以 ，
所以 与 互补成立．
【知识点】角的运算；推理与论证
【解析】【分析】（1）根据所给的图形计算求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
21．【答案】（1）2
（2）解：若选①②③为条件，④为结论，
已知：AC＝DC，BC＝EC，∠DCA＝∠ECB．
求证：AB＝DE．
证明：∵∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB＝DE．
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）若①②③为条件，④为结论，
则可利用SAS证明△ACB≌△DCE，可得④；
若①②④为条件，③为结论，
则可利用SSS证明△ACB≌△DCE，可得③；
若①③④为条件，②为结论，
无法证明△ACB≌△DCE，则不可得②；
若②③④为条件，①为结论，
无法证明△ACB≌△DCE，则不可得①；
∴真命题的个数是2；
【分析】（1）根据真命题的定义求解即可；
（2）结合（1）的条件，利用“SAS”证明△ACB≌△DCE，即可得到AB=DE。
22．【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠2=∠1=115°，
∵EF∥MN，∴∠4+∠2=180°，
∴∠4=180°-∠2=65°；
（2）相等或互补
（3）解：由（2）可知这两个角互补，设一个角为x°，则另一个角为2x°，
根据题意可得x+2x=180，
解得x=60，
∴这两个角分别为60°和120°．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：（2）由（1）可知如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，
故答案为相等或互补；
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠2=∠1=115°，再结合∠4+∠2=180°，可得∠4=180°-∠2=65°；
（2）利用平行线的性质可得答案；
（3）设一个角为x°，则另一个角为2x°，根据题意列出方程x+2x=180，求出x的值即可。
23．【答案】（1）解：①如图1中，（互补）；如图2中，（相等），理由：如图1中，∵，∴．∵，∴，∴；②真命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
（2）解：设两个角分别为x和由题意或解得或∴这两个角的度数是30°，30°或60°，120°．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）①图1结论：理由：由平行线的性质可得，，利用等量代换即得结论；图2结论：理由：由平行线的性质可得∠B=∠DPC，∠E=∠DPC，利用等量代换即得结论；
② 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
（2）设两个角分别为x和，根据（1）结论列出方程并求解即可.
24．【答案】（1）312，981
（2）假；真
（3）解：设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.
由题意可得：x+x+5=y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x=1或2，
当x=1时，好数为617，
当x=2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
【知识点】定义新运算；真命题与假命题
【解析】【解答】解：【初步探究】（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1=4，4÷2=2，2为整数；
675不是“好数”，因为6+7=13，13÷5的商不是整数；
981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8=17，17÷1=17，17为整数；
802不是“好数”，因为十位数字是0；
所以“好数”为312，981，
故答案为：312，981；（2）①因为801不是“好数”，所以个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，②各数位上的数字都相同的一个三位自然数，一定满足各数位上的数字不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数2. 所以各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【分析】（1）由好数的定义可求解；
（2）由好数的定义可判断；
（3）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.由题意列出方程，可求解。
25．【答案】（1）30；60
（2）∠EMC+∠CAF=90°，
证明：如图2，过C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC=∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°；
（3）∠BAG-∠BMD=30°，
证明：如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG=∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH∥GF，
∵CH∥GF， DE//GF ，
∴CH∥DE∥GF，
∴∠EMC=∠BCH，∠FAC=∠HCA，
∵BN⊥DE，
∴∠BNE=90°，
又∵ED∥GF，
∴∠BNE=∠BAF=90°
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°；
故答案为：30，60；
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠CAF=∠ACH，∠EMC=∠HCM，然后根据∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB进行解答；
（3）过B作BK∥GF，则BK∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠BAG=∠KBA，∠BMD=∠KBM，然后根据∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC进行解答.
1 / 12022-2023初数北师大版八年级上册第七章平行线的证明 章末检测
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022七下·馆陶期末）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．同位角相等
C．垂线段最短 D．连接、两点
【答案】D
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】两点确定一条直线，是命题，故A不符合题意；
同位角相等，是命题，故B不符合题意；
垂线段最短，是命题，故C不符合题意；
连接A、B两点，不是命题，故D符合题意；
故答案为： D．
【分析】根据命题的定义逐项判断即可。
2．（2022·鄞州模拟）能说明命题“对于任意实数 ， ”是假命题的反例为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：命题“对于任何实数a，|a|＞-a”是假命题，反例要满足a≤0，如a=-2.
故答案为：B.
【分析】说明一个命题为假命题的反例，只需要满足命题的题设，不满足命题的结论就行，即不满足|a|>-a，据此判断.
3．（2021七上·永定期末）下列四个生活，生产现象：
①从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③用两个钉子就可以把木条固定在墙上；④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线.其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】A
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】①从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故正确；
②把弯曲的公路改直，就能缩短路程是利用了“两点之间线段最短”，故正确；
③用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”，故错误；
④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线是利用了“两点确定一条直线”.故错误；
故答案为：A.
【分析】根据“两点之间线段最短”与“两点确定一条直线”逐一进行分析即可.
4．（2020八上·慈溪期中）下列叙述错误的是（ ）
A．所有的命题都有条件和结论 B．所有的命题都是定理
C．所有的定理都是命题 D．所有的公理都是真命题
【答案】B
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：A、 所有的命题都有条件和结论是正确的，A不符合题意；
B、所有的命题不一定是定理，是错误的，B符合题意；
C、 所有的定理都是命题，是正确的， C不符合题意；
D、 所有的公理都是真命题，是正确的， D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】命题：我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句；再由命题与定理、公理的关系逐一分析即可得出答案.
5．（2022七下·迁安期末）将一副直角三角尺如图放置，已知∠EAD=∠E=45°，∠C=30°，AE∥BC，求∠AFD的度数，以下是打乱的推理过程：①∵∠E=45°，②∴∠AFD=∠E＋∠EAC=45°＋30°=75°；③∵∠C=30°，AE∥BC，④∴∠EAC=∠C=30°．推理步骤正确的是（ ）
A．①②③④ B．①④③② C．③④①② D．③②①④
【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵∠C＝30°，AE∥BC，
∴∠EAC＝∠C＝30°，
∵∠E＝45°．
∴∠AFD＝∠E＋∠EAC＝45°＋30°＝75°．
故答案为：C
【分析】利用推理过程及角的运算和平行线的性质求解即可。
6．（2021八上·朝阳期末）在证明命题“若，则”是假命题时，下列选项中所举反例错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】显然A选项既满足命题的条件也满足命题的结论，故不是举反例，其它三个选项满足命题的条件，但不满足命题的结论，所以都是举反例；
故答案为：A
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过取反例的方法来证明一个命题是假命题即可。
7．（2022七下·魏县期末）下面的语句是假命题的是（ ）
A．同旁内角互补 B．钝角的补角是锐角
C．垂线段最短 D．直角的补角是直角
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，才会同旁内角互补，故原命题是假命题；
B、钝角的补角是锐角，故原命题是假命题；
C、垂线段最短，故原命题是假命题；
D、直角的补角是直角，故原命题是假命题；
故答案为：A．
【分析】根据假命题的定义逐项判断即可。
8．（2022七下·顺平期末）下列命题中是真命题的是（ ）
A．实数由有理数和无理数组成 B．实数分为正实数和负实数
C．若，则a=b D．是个分数
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A. 实数由有理数和无理数组成，该选项是真命题；
B. 实数分为正实数，零和负实数，该选项是假命题；
C. 若，则a= b，该选项是假命题；
D. 是个无理数，该选项是假命题．
故答案为：A．
【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。
9．（2022七下·顺平期末）a、b、c是同一平面内的三条直线，下列说法错误的是（ ）
A．若a⊥b，b//c，则a⊥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a//b，b⊥c，则a⊥c D．若a//b，b//c，则a//c
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，不合题意．
B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，符合题意，
C．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，不合题意．
D．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，不合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行线的性质和平面内直线的位置关系逐项判断即可。
10．（2021八上·古冶期中）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠ACD是△ABC的外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
证法1：如图，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（三角形内角和定理）
又∵∠ACD＋∠ACB＝180°（平角定义），
∴∠ACD＋∠ACB＝∠A＋∠B＋∠ACB（等量代换）．
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等式性质）
证法2：如图，
∵∠A＝88°，∠B＝58°，
且∠ACD＝146°（量角器测量所得）
又∵146°＝88°＋58°（计算所得）
∴∠ACD＝∠A＋∠B（等量代换）
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的符合题意，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
∴A不符合题意；
∵证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的符合题意，
∴B符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
∴C不符合题意；
∵定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次数的多少无关，
∴D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】依据多了证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022七下·新余期末）把命题“同位角相等”改写成“如果……那么……”的形式为 ．
【答案】如果两个角是同位角 那么这两个角相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：原命题的条件为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等”，
所以可改写为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等.
【分析】根据命题的定义求解即可。
12．（2022七下·钢城期末）三角形的任意两边之和大于第三边是 命题．（填写真或假）
【答案】真
【知识点】三角形三边关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵三角形的任意两边之和大于第三边．
∴原命题是真命题．
故答案为：真．
【分析】根据三角形三边关系进行判断即可.
13．（2022七下·交口期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．如图，小华的画法：①将含角三角尺的最长边与直线重合，用虚线作出一条最短边所在直线；②再次将含角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线，则．你认为他画图的依据是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：画图的依据是：内错角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定方法求解即可。
14．（2021八上·长兴月考）一次数学测试，满分为100分.测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把他俩的分数进行计算，李华说：我俩分数的和是160分，吴珊说：我俩分数的差是60分.那么，对于下列两个命题：①俩人的说法都是正确的；②至少有一人说错了；③俩人的说法都是错的.其中真命题是 .（用序号填写）
【答案】②
【知识点】推理与论证；真命题与假命题
【解析】【解答】解：若设李华的说法是真命题，则两个人的分数和为160分，若其中一人拿100分，另一人拿60分，那么他们的差最大，为100-60=40分<60分
因此他们两人之中，至少有人说谎，故本题的真命题是②.
故答案为：②.
【分析】根据满分为100分，若两人分数的和是160分，即使让其中一人的得分最高是100，另一人的得分是60，则他们分数的差也不会是60分，所以命题②是正确的.
15．（2022七下·房山期末）若用一组x，y的值说明命题“若，则”是假命题，则这样的一组值可以是x= ，y= ．
【答案】0；-2
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：若x=0，y=-2，则满足x>y的条件，
∴x2=0，y2=4，
∴x2故答案为：0，-2（答案不唯一）．
【分析】根据题意先求出x2=0，y2=4，再求解即可。
16．（2022七下·恩平期末）下列命题中：①两点的所有连线中，线段最短；②不等式两边加同一个数，不等号的方向改变；③等式两边加同一个数，结果仍相等；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等．是假命题的是： （填编号）
【答案】②④
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①两点的所有连线中，线段最短，是真命题，不符合题意；
②不等式两边加同一个数，不等号的方向改变，是假命题，符合题意．真命题应为“不等式两边加同一个数，不等号的方向不变”；
③等式两边加同一个数，结果仍相等，是真命题，不符合题意；
④两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，符合题意．真命题应为“两平行直线被第三条直线所截，同位角相等”．
故答案为：②④．
【分析】根据线段公理判断①；根据不等式的基本性质判断②；根据等式的基本性质判断③；根据平行线的性质判断④，即可得出答案。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021六下·浦东期末）如图，已知点C在线段AB上，AC＝6，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点．求DE的长．
请把下面的解题过程补充完整：
解：因为点D是线段AB的中点，
所以DB＝ ▲ ；
因为点E是线段BC的中点，
所以BE＝ ▲ ；
因为DE＝DB﹣BE，
所以DE＝ ▲ ﹣ ▲ ＝ ▲ ；
因为AC＝6，
所以DE＝ ▲ ．
【答案】解：解：因为点D是线段AB的中点，
所以DB＝ AB；
因为点E是线段BC的中点，
所以BE＝ BC；
因为DE＝DB﹣BE，
所以DE＝ AB﹣ BC＝ AC；
因为AC＝6，
所以DE＝3．
【知识点】推理与论证；线段的计算
【解析】【分析】根据线段中点定义推出DB=AB，BE=BC，根据线段关系得到DE＝DB﹣BE，推出DE=AB-BC=（AB-BC）=AC，即可求出答案。
18．（2021七下·房山期末）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的符合题意性．
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；
②写出已知，求证；
③受拼接方法的启发画出辅助线；
④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．
【答案】解：已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：如图，延长CB到F，过点B作BE∥AC．
∵BE∥AC，
∴∠1=∠4，∠5=∠3，
∵∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°，
即∠A+∠ABC+∠C=180°．
【知识点】平行线的性质；推理与论证
【解析】【分析】先根据题意画出图形，再利用平行线的性质和平角的定义求解即可。
19．（2021八上·南昌期中）
（1）如图1，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：∠BFD的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（ ▲ ），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ ▲ （ ▲ ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．
（2）如图2，把一个长方形的纸ABCD沿对角线折叠（长方形对边平行且相等，四个角是直角），重合部分△FBD是个什么三角形？请证明你的结论．
【答案】（1）解：∵∠BDC＝∠A+∠ACD（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和），
∴∠BDC＝62°+35°＝97°（等量代换）．
∵∠BFD+∠BDC+∠ABE＝ （三角形内角和 ），
∴∠BFD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABE＝180°﹣97°﹣20°＝63°（等式的性质）．
（2）答：重合部分 是等腰三角形．
证明：∵折叠，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴重合部分 是等腰三角形．
【知识点】推理与论证；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质，三角形的内角和等于180°求解即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后求解即可。
20．（2021七上·青龙期中）如图1所示， 、 都是直角．
（1）试猜想 与 在数量上的关系是相等、互余还是互补的关系？你能用推理的方法说明你的猜想是否正确吗？
（2）当 绕着点O旋转到图2的位置时，你原来的猜想还成立吗？
【答案】（1）解：互补，
，
所以 与 互补；
（2）成立．
理由：因为 、 都是直角，所以 ，
根据周角定义知 ，
即 ，
所以 ，
所以 与 互补成立．
【知识点】角的运算；推理与论证
【解析】【分析】（1）根据所给的图形计算求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。
21．（2021八上·微山期中）如图，已知四个关系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB：④AB＝DE．
（1）从上面四个关系式中任取三个为条件，余下的一个为结论，组成一个命题．在组成的命题中真命题的个数是 ；
（2）从（1）中选择一个真命题进行证明
已知：
求证：
证明：
【答案】（1）2
（2）解：若选①②③为条件，④为结论，
已知：AC＝DC，BC＝EC，∠DCA＝∠ECB．
求证：AB＝DE．
证明：∵∠DCA＝∠ECB，
∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB＝DE．
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）若①②③为条件，④为结论，
则可利用SAS证明△ACB≌△DCE，可得④；
若①②④为条件，③为结论，
则可利用SSS证明△ACB≌△DCE，可得③；
若①③④为条件，②为结论，
无法证明△ACB≌△DCE，则不可得②；
若②③④为条件，①为结论，
无法证明△ACB≌△DCE，则不可得①；
∴真命题的个数是2；
【分析】（1）根据真命题的定义求解即可；
（2）结合（1）的条件，利用“SAS”证明△ACB≌△DCE，即可得到AB=DE。
22．（2022七下·乾安期末）如图，已知AB∥CD，EF∥MN，∠1=115°，
（1）求∠2和∠4的度数；
（2）本题隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角 ；
（3）利用(2)的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的两倍，求这两个角的大小.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠2=∠1=115°，
∵EF∥MN，∴∠4+∠2=180°，
∴∠4=180°-∠2=65°；
（2）相等或互补
（3）解：由（2）可知这两个角互补，设一个角为x°，则另一个角为2x°，
根据题意可得x+2x=180，
解得x=60，
∴这两个角分别为60°和120°．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：（2）由（1）可知如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，
故答案为相等或互补；
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠2=∠1=115°，再结合∠4+∠2=180°，可得∠4=180°-∠2=65°；
（2）利用平行线的性质可得答案；
（3）设一个角为x°，则另一个角为2x°，根据题意列出方程x+2x=180，求出x的值即可。
23．（2022七下·呼和浩特期末）探究问题：已知，画一个角，使//，//，且DE交BC于点P．与有怎样的数量关系？
（1）我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为 ▲ ；图2中与数量关系为 ▲ ；选择图1的情况，说明理由．
②由①得出一个真命题，请用文字叙述该命题．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的3倍少60°，求出这两个角的度数．
【答案】（1）解：①如图1中，（互补）；如图2中，（相等），理由：如图1中，∵，∴．∵，∴，∴；②真命题：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
（2）解：设两个角分别为x和由题意或解得或∴这两个角的度数是30°，30°或60°，120°．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）①图1结论：理由：由平行线的性质可得，，利用等量代换即得结论；图2结论：理由：由平行线的性质可得∠B=∠DPC，∠E=∠DPC，利用等量代换即得结论；
② 如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补；
（2）设两个角分别为x和，根据（1）结论列出方程并求解即可.
24．（2021七下·昌平期末）（概念学习）定义：对于一个三位的自然数 ，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数 为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且 ， ，2为整数；
643不是“好数”，因为 ， 的商不是整数．
（1）（初步探究）
自然数312，675，981，802是“好数”的为 ；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
（3）（深入思考）
求同时满足下列条件的“好数”：
①百位数字比十位数字大5；
②百位数字与十位数字之和等于个位数字．
【答案】（1）312，981
（2）假；真
（3）解：设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.
由题意可得：x+x+5=y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x=1或2，
当x=1时，好数为617，
当x=2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
【知识点】定义新运算；真命题与假命题
【解析】【解答】解：【初步探究】（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1=4，4÷2=2，2为整数；
675不是“好数”，因为6+7=13，13÷5的商不是整数；
981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8=17，17÷1=17，17为整数；
802不是“好数”，因为十位数字是0；
所以“好数”为312，981，
故答案为：312，981；（2）①因为801不是“好数”，所以个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，②各数位上的数字都相同的一个三位自然数，一定满足各数位上的数字不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数2. 所以各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【分析】（1）由好数的定义可求解；
（2）由好数的定义可判断；
（3）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.由题意列出方程，可求解。
25．（2022七下·雨花期末）问题情境：
我们知道，“如果两条平行直线被第三条直线所截，截得的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．
问题初探：
如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，则∠EMC的度数是多少呢？若过点C作CH//GF，则CH//DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数为…．
（1）请你直接写出：∠CAF＝ °，∠EMC＝ °．
（2）类比再探：若将将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？并说明理由．
（3）方法迁移：请你猜想（1）（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【答案】（1）30；60
（2）∠EMC+∠CAF=90°，
证明：如图2，过C作CH∥GF，则∠CAF=∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC=∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°；
（3）∠BAG-∠BMD=30°，
证明：如图2，过B作BK∥GF，则∠BAG=∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC=30°．
【知识点】角的运算；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）过点C作CH∥GF，
∵CH∥GF， DE//GF ，
∴CH∥DE∥GF，
∴∠EMC=∠BCH，∠FAC=∠HCA，
∵BN⊥DE，
∴∠BNE=90°，
又∵ED∥GF，
∴∠BNE=∠BAF=90°
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=90°-60°=30°，
∴∠EMC=∠BCH=90°-30°=60°；
故答案为：30，60；
【分析】（1）过点C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，这样就将∠CAF转化为∠HCA，∠EMC转化为∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH∥GF，则CH∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠CAF=∠ACH，∠EMC=∠HCM，然后根据∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB进行解答；
（3）过B作BK∥GF，则BK∥GF∥DE，由平行线的性质可得∠BAG=∠KBA，∠BMD=∠KBM，然后根据∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC进行解答.
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