一次函数复习[下学期]

§3.2
【知识梳理】
1.通过复习本单元应达到下列要求：
（1）巩固一次函数、正比例函数的概念，会求它们的表达式，画出图象．
（2）巩固一次函数的性质，并能运用它解决实际问题．
（3）能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解．
2.复习本单元要弄清下列知识：
正比例函数 一次函数
表达式 y=kx （k≠0） y=kx＋b （k≠0）
k＞0 k＜0 k＞0 k＜0
图 象
性 质 1.图象是经过原点与第一、三象限的直线；2.函数y的值随x的增大而增大． 1.图象是经过原点与第二、四象限的直线；2.函数y的值随x的增大而减少． 函数y的值随x的增大而增大． 函数y的值随x的增大而减少．
3.复习本单元要特别关注一次函数与一元一次不等式、二元一次方程组的联系，以及运用一次函数性质解决实际问题的意识．
§3.2.1 一次函数的基础知识
【解题指导】
例1．已知y是关于的一次函数，当＝3时，＝2；当＝2时，＝0；
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）在平面直角坐标系中画出所求函数的图象，并求出图象与坐标轴所围成图形的面积
分析：本题意在考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象的画法、直线与坐标轴的交点坐标。要注意的是x轴上的点的纵坐标均为0，所以求直线与x轴的交点坐标，只须把y=0代入解析式，求出解即为该点的横坐标。
解：（1）设一次函数的解析式为y=kx＋b,由题意得：
解得：
∴所求函数解析式为：y=2x-4
(2)如图为所求的函数图象。
∵一次函数图象与坐标轴的交点为：(2，0)和(0，-4)
∴该函数图象与坐标轴围成的图形是直角三角形，面积为：
S=×2×|-4|=4
点评：解决此类问题要善于运用数形结合思想。画直线时，根据直线的基本性质，只须确定两点即可；求直线与坐标轴围成的图形面积，应先判断图象的形状，再选择合适的计算方法。
例2．若A（a，6），B（2，a），C（0，2）三点在同一条直线上，求a的值．
分析：本题意在考查直线上点的坐标与直线的解析式之间的关系。要注意的是解该方程组时，要抓牢“消元”这个关键思想。
解：设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B、C三点的坐标代入解析式得：
解得
∴a=-2或4
点评：点在函数图象上，就是说点的坐标满足该图象的函数解析式。只须把点的坐标代入函数解析式，然后求方程（组）的解即可。
例3．点A在正比例函数图象上，它到原点的距离为5，到x轴的距离为3，若点A
在第二象限内，求这个正比例函数解析式．
分析：本题意在考查平面直角坐标系中，求点坐标的方法和用待定系数法求正比例函数解析式。要注意的是（1）求正比例函数解析式，只须求出该图象上一个点的坐标；（2）求点的坐标时，既要确定坐标的绝对值，又要注意坐标的符号。
解：如图，由题意可知：OA=5，AB=3.由勾股定理得OB=4
∵点A在第二象限，
∴A的坐标为(-4，3)。
设过A点的正比例函数解析式为：y=kx，
∴3=-4k 解得：k=-。
∴所求函数解析式为y=-x。
拓广：如果去掉题中条件“若点A在第二象限内”，又该如何解答呢？
例4.用作图象的方法解方程组:
分析：本题意在考查利用一次函数图象求二元一次方程的近似解。要注意的是用作图象的方法解方程组时，应先把方程组中的每一个方程化成一次函数的形式，再在平面直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，图象的交点的坐标就是方程组的解。
解：原方程组可化为：
如图，两个函数图象的交点坐标为（1，－1），即方程组解为
点评：用函数图象的直观性有时可以比较快的求出方程
（组）的解或解的个数。
拓广：用上述方法确定方程2x-x2=实数根的个数？
【自我测试】
A 组
1．写出下列函数关系式
①速度60千米的匀速运动中，路程S与时间t的关系
②等腰三角形顶角y与底角x之间的关系
③汽车油箱中原有油100升，汽车每行驶50千米耗油9升，油箱剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的关系
④矩形周长30,则面积y与一条边长x之间的关系
在上述各式中， 是一次函数， 是正比例函数（只填序号）
2．正比例函数的图像经过点（-3，5）,则函数的关系式是 ．
3．若点（3，）在一次函数y=3x＋1的图像上，则 ．
4．在函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（ ）
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
5．已知一次函数y=kx+b，图象如右图，则k、b分别为（ ）
A、k=2,b=1 B、k=-2,b=1 C、k=－, b= 1 D、k=－,b=－1
6.已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则它的大致图象是( )
A B C D
7． 已知y与x+2成正比例，且x=1时，y=-6.
（1）求y与x之间的函数关系式.
（2）若点（a,2）在函数的图象上，求a的值．
8．已知一次函数y=kx+b经过（－1，2），且与y轴交点的纵坐标为4．
（1） 求一次函数的解析式；
（2） 求直线与x轴的交点坐标；
（3） 画出此函数的图象．
B 组
1．已知y与4x-1成正比例，且当x=3时，y=6，写出y与x的函数关系式 ．
2．函数y=－5x＋2与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．与两坐标轴围成的三角形面积是 ．
3．直线y=kx+b与y=－5x+1平行，且经过（2，1），则k= ,b= .
4．方程组 的解是 这表明一次函数y=x－3与y=3x－1
的图象的交点 坐标为 .
5．已知一次函数y=kx－3，请你补充一个条件： ，使y随x的增大而增大；
6．已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点,则的值是( )
A．4 B．－2 C． 0.5 D．－0.5
7．在直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，那么一次函数在第一象限内的图象上，整点的个数有（ ）
A． 2个 B． 3 个 C．4 个 D．6个
8．已知，且与x成正比例，与x–2成反比例，且x=1时，y=–1，x=3时，y=13，求当x=–1时y的值．
9．在同一坐标系中作出y=2x+1， y=3x，y=4x－3的图像在上述三个函数的图像中，哪一个函数的值先达到30？
§3.2.2 一次函数的应用
【解题指导】
例1．已知直线：y1=2x－3,y2=5－x
（1）在同一坐标系内作出它们的图象，并确定交点A的坐标；
（2）x为何值时，y1>y2；
（3）求两直线与x轴所围成△ABC的面积．
分析：本题意在考查求两个一次函数图象的交点坐标、比较两个函数值的大小。要注意的是用图象法确定两个一次函数图象的交点坐标不一定很准确。
解：（1）两个一次函数图象，如右图所示。由图象知：交点A的坐标为（，）
（2）由图象知：当x>时，y1>y2
(3)∵直线y1与x轴的交点B（，0），直线y2与x轴的交
点C（5，0），即BC=5-= ，
又∵A（，），∴S△ABC=××=
点评：确定交点坐标，既可以通过函数图象解决，也可以通过解方程组、不等式解决。要善于运用函数、方程、不等式之间的关系解决问题。
例2．如图，lA与 lB分别表示A步行与B骑车同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
（1）B出发时与A相距多少千米？
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是多少小时？
（3）B出发后经过多少小时与A相遇？
（4）若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前
进，那么经过多少时间与A相遇？相遇点离B的出发点多远？你
能用哪些方法解决这个问题？在图中表示出这个相遇点C．
分析：本题意在考查从图象中获取信息的能力。注意当某段时
间内路程不变，说明这段时间内在某地停留没动。
解：（1）由图象知：B出发时与A相距10千米；
（2）由图象知：B修理自行车所用的时间为1小时；
（3）由图象知：B出发后经过3小时与A相遇；
（4）解法一：由图象知：lA的解析式为：y=x+10 ；若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进时的解析式为：y=15x.解方程组 得
所以，相遇时间为小时，相遇点与B的出发点的距离为千米。
解法二：把lB中0—0.5这段线段延长交lA于点C，从图象上可读出点C的坐标，就是所求的解。
解法三：由图象知：A、B两人的出发点相距10千米，B的原速为15千米/小时，A的速度为千米/小时。若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，两人相遇的时间为10÷（15-）=小时，相遇点与B的出发点的距离为15×=千米。
点评：解决看图获取信息的问题，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中一些关键的点（如：起点、终点、折线中的折点）所反映出的信息。
例3.单位计划组织员工去旅游，估计人数在6～15人之间．甲、乙两旅行社的服务质量相同，且对外报价都是200元/人．该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示，可先免去一位游客的旅游费用，其余游客九折优惠．
（1）分别写出两旅行社所报旅游费用y与人数x的函数关系式．
（2）若有11人参加旅游，应选择那个旅行社？
（3）人数在什么范围内，应选甲旅行社；在什么范围内，应选乙旅行社？
分析：本题意在考查综合运用一次函数的性质与图象解决实际实际问题的能力。要注意理解甲、乙两个旅行社的不同优惠条件，从而建立正确的函数解析式，这是解题的关键。
解：(1)由题意得：y甲=160x，y乙=180（x-1）
(2)当x=11时，y甲=160×11=1760元，y乙=180×10=1800元
∴若有11人参加旅游，应选择甲旅行社。
（3）由y甲= y乙，得：160x=180（x-1）,得：x=9
由y甲> y乙，得：160x>180（x-1）,得：x<9
由y甲< y乙，得：160x<180（x-1）,得：x>9
因为人数在6～15人之间，所以，当x=9时，选两个旅行社都一样；当6≤x<9时，选择乙旅行社较合适；当9点评：本题解决（2）、（3）两题时，也可以利用一次函数的图象加以解决。
例4． 如图1和图2，在20×20的等距网格（连长是1个单位）中，Rt△ABC从点A与点M重合的位置开始，以每秒1个单位长的速度先向下平移，当BC
边与网的底部重合时，继续同样的速度向右平移，当点C与点P重合时，
Rt△ABC停止移动.设运动时间为x秒，△QAC的面积为y.
（1）如图1，当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时，请你
在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
（2）如图2，在Rt△ABC向下平移的过程中，请你求出y与x的函
数关系式，并说明当x取何值时，y取得最大值和最小值？最大值和最小
值分别是多少？
（3）在Rt△ABC向右平移的过程中，请你说明当x取何值时，y取
得最大值和最小值？最大值和最小值分别是多少？
分析：本题意在考查综合运用一次函数性质，图形变化解决问题的能
力。在网格中求△QAC面积，可将其转化成直角三角形或直角梯形面积的和差；要注意第（2）、（3）小题中x的取值范围。
解：（1）如右图，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成
轴对称的图形。
（2）当△ABC以每秒1个单位长度的速度向下平移x秒时，
则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20，
∴y=S梯QMBC -S△AMQ- S△ABC=（4+20）（x+4）—×20x—×4×4 =2x+40 (0≤x≤16)
由一次函数的性质可知：当x=0时，y最小值=40；当x=16时，y最大值=72。
（3）当△ABC继续以每秒1个单位长度的速度向右平移时，此时16≤x≤32，
PB=20—（x—16）=36—x，PC=PB—4=32—x
∴y=S梯BAQP —S△CPQ—S△ABC
=（4+20）（36—x）—×20×(32—x)—×4×4
=-2x+104 (16≤x≤32)
由一次函数性质可知，当x=32时，y最小值=40；当x=16时，y最大值=72。
点评：第（3）小题也可采用如下解法：在△ABC自左向右平移过程中，△QAC在每一时刻都有对应着（2）中的△QAC，使得这两个三角形关于直线 QN成轴对称。因此，根据轴对称的性质，只需考察△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况，便可知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况。
例5．如图，在平面直角坐标系中，以点A（-1，0）为圆心，AO为半径的圆交x轴负半轴于另一点B，点F在⊙A上，过点F的切线交y轴正半轴于点E，
交x轴正半轴于点C，且CF=．
（1）求点C的坐标；（2）求证：AE∥BF；
（3）延长BF交y轴于点D，求点D的坐标及直线BD的解析式．
分析：本题意在考查综合运用圆、函数等知识解决综合问题的能力。注意题中隐含着OE⊥BC并由此得出OE为⊙A的切线、△OCE为直角三角形等条件。
解：(1)连结AF，则AF=1。
∵CF为⊙A的切线，则AF⊥CF
∴AC===3
∴OC=2 即点C的坐标为（2，0）
(2) ∵∠ACF=∠OCE ，∠AFC=∠FOC=900
∴△COF∽△CFA则=
设OF=x，则= 解得x=，有OE= ，EF=，CE=
∴= ∴AE∥BF
(3) ∵AE∥BF， OA=AB，
∴OE=DE= ，OD=即D点坐标为（0，），并可得B点坐标为（-2，0）
设直线BD的解析式为y=kx+b，把点B、D坐标代入，得
∴直线BD的解析式为y =x+
点评：在几何计算中，方程思想是一种常用的思想方法，在直接计算有困难时，可先设一个或几个未知量，根据题中的等量关系列出方程（组）来求解。本题中（2）小题，也可根据勾股定理列方程求解。
【自我测试】
A 组
1．某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费．
（1）写出该单位水费y（元）与每月用水量x（吨）之间的函数关系式：
①用水量小于等于3000吨， ；②用水量大于3000吨， ．
（2）某月该单位用水3200吨，水费是 元；若用水2800吨，水费 元．
若某月该单位缴纳水费1540元，则该单位用水 吨.
2．函数y＝kx＋b（k、b为常数）的图象如图所示，则关于x的不等
式kx＋b＞0的解集是 。
3．一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港到乙港，如图中两条线段分别表示轮船与快艇离开出发点的距离与行驶时间的关系，根据图象回答下列问题：
①轮船比快艇早 小时出发，快艇比轮船早到 小时；
②快艇追上轮船用 小时，快艇行驶了 千米；
③轮船从甲港到乙港行驶时间是 小时；
4．马拉松比赛期间，组委会要印制宣传材料．甲印刷厂规定：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂规定：每份材料收2．5元印制费，不收制版费．
（1）分别写出两个印刷厂的收费y（元）与印制数量x(份)之间的函数关系式；
（2）印制800份宣传材料，选择哪家印制厂比较合算？
（3）如果只有3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？
5．甲、乙两家体育用品商店出售同样的羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每付定价60元，羽毛球每盒定价20元.现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍送一盒羽毛球；乙店：按定价的八折优惠．某班级需购买球拍8付，羽毛球若干盒（不少于8盒）．
（1） 设购买羽毛球盒数为x盒，在甲店购买的付款数是y甲元，在乙店购买的付款数是y乙元，分别求出它关于x的函数关系式；
（2） 就羽毛球盒数讨论去哪家商店购买合算？
6.童装厂有甲种布料38米，乙种布料26米．现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套．已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，设生产L型号的童装套数为x，用这批布料生产这两种型号的童装所获利润y元．（1）写出y关于x的函数关系式并求出x的取值范围；（2）问L型号童装生产几套时，服装厂获利最大，求出这个最大值．
B 组
1．某地的电话月租费24元，通话费每分钟0.15元，则每月话费y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系式是 ，某居民某月的电话费是38.7元，则通话时间是 分钟，若通话时间62分钟，则电话费为 元．
2.如图,表示商场一天的家电销售额与销售量的关系,表示一天的销售成本与销售量的关系.
①当时,销售额= 万元,销售成本= 万元.此时，商场是是赢利还是亏损？
②一天销售 件时,销售额等于销售成本.
③对应的函数表达式是 .
④写出利润与销售量间的函数表达式.
3．某单位为减少用车开支准备和一个体车主或一家出租车公司签订租车合同．设汽车每月行驶xKm，个体车主的月费用是y1元，出租车公司的月费用是y2元， y1、y2分别与x之间的函数关系图象，如图，观察图象并回答下列问题；
（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租用公司的车更省钱？
（2）每月行驶的路程在什么范围内时，租两家的车的费用相同？
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程在2300Km，那么这个
单位租哪家的车比较合算？
4．在直角坐标系中，有以A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（—1，1）为顶点的正方形．设正方形在直线y＝x上方及直线y＝－x＋2a上方部分的面积为S．
（1）求a＝时，S的值．
（2）当a在实数范围内变化时，求S关于a的函数关系式．
5．已知一次函数y=x＋m的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点C（4，n），CD⊥x轴于D．
（1）求m、n的值，并作出两个函数图象；
（2）如果点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度分别沿线段AD、CA向D、A运动，设AP＝k．问k为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
答案：
§3.2.1 一次函数的基础知识
A组：
1。①S=60t （t＞0） ②y=180－2x （00＜x＜900＝ ③ y=100－x （0≤x≤）
④y=x（15－x）（0＜x＜15＝,①②③, ① 2．y=－x 3．10 4。Ｂ　 ５。Ｃ　 6。Ａ　　７（1）y=－2x－4 （2）a=－3 8．（1）y=2x＋4 （2）（－2，0） （3）略
B组：
1。y=x－ 2。（，0），（0，2）， 3。－5，11 4。（－1，－4）
5．取k为任何正数 6。B 7。A
8．设y1=k1x，y2=则y=3 k1x－，把x1=1，y1=－1；x2=3，y2=13分别代入上式得 解之得
,
∴y=3x＋，把x=1代入得y=－。
9．y=4x－3的函数值先达到30。
§3.2.2 一次函数的应用
A组：
1. （1）①y=0.5x （x≤3000） ②y=0.8x-900 （x＞3000） （2）1660,1400,3050
2. x＜2 3. ①0.5 ,1 ② ,40 ③2.5
4.（1）y甲=x+1500，y乙=2.5x （2）乙厂（3）甲厂
5.（1）y甲=20x+320，y乙=16x＋384 （2）当x＞16时，选乙店；当x=16时，两店均可；当8≤x＜16时，选甲店。
6. y =－15x+2250 （30≤x≤32） （2）生产30套时，最大获利1800元。
B组：
1．y =0.15x+24,98,33.3 2. ①,,亏损 ②3 ③y1=x ④y=x—2
3．（1）超过3000千米，（2）3000千米 （3）个体
4．（1） （2）当a≤—1时，S=2；当—1＜a≤0时，S=2—（1＋a）2；当0＜a≤1时，S=（1—a）2；当a≥1时，S=0。 5．（1）3，6 （2）或
y
(2,0)
(0,1)
O
x
x－y－3=0
3x－y－1=0
x=－1,
y=－4
S（千米）
t（时）
O
10
22.5
.5
7.5
0.5
3
1.5
lB
lA
O
N
P
Q
M
C
C1
B1
A1
A
B
图1
O
N
P
Q
M
C
A
B
图2
B
D
E
x
O
C
A
y
F
2
O
4
2
3
l1
y(万元)
x
l 2
·
3000
3000
O
1500
1000
x（km）
y1
y（元）
y2
0.5
轮船
120
2=3k+b
0=2k+b
k=2
b=-4
-1 1 2 3
2
1
-2
-1
-3
-4
-5
O
A
O
B
x
y
y1=-2x+1
y2= EQ \F(1,2) x- EQ \F(3,2)
O
-5
-4
-3
-2
-1
2
1
-1 1 2 3
y1
y2
x=1
y=-1
6=ak+b
a=2k+b
2=b
k1=-2
a1=-2
b=2
k2=1
a2=4
b=2
5
C
5
O
-3
x
y
y1
y2
EQ \F(8,3)
EQ \F(7,3)
A
B
y= EQ \F(25,6) x+10
y=15x
x= EQ \F(12,13)
y= EQ \F(180,13) 。
B
A
A1
B1
C1
C
M
Q
P
N
O
A2
B2
C2
B
A
C
M
Q
P
N
O
EQ \R(,2) =b
0=-2k+b
A
B
C
F
y
A
C
O
x
E
B
D
解得
b = EQ \R(,2)
k= EQ \F(\R(,2),2)
3k1＋2k2=－1
9k1－2k2=13
k1=1
k2=－2
t（时）
O
s（千米）
1.5
2.5
快艇
8