高中数学人教A版（2019）必修第一册 课时分层作业7　充要条件 一课一练（含解析）

课时分层作业(七)　充要条件
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A B”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　[∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A B”的充分不必要条件．故选A．]
2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B　[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y |x|＝|y|，故选B．]
3．命题p：－1≤x<2的一个必要不充分条件是(　　)
A．－1≤x≤2 B．－1≤x<2
C．0≤x<2 D．0≤x<3
A　[－1≤x<2 －1≤x≤2，反之不成立，可得选项A是p的一个必要不充分条件．故选A．]
4．使“x∈”成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1，3，5} D．x≤－或x≥3
C　[选项中只有x∈{－1，3，5}是使“x∈”成立的一个充分不必要条件．故选C．]
5．给出下列各组条件， 其中p是q的充要条件的是(　　)
A．p：ab＝0，q：a2＋b2＝0
B．p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|
C．p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根
D．p：x>2或x<－1，q：x<－1
B　[对于A，由pq知，p不是q的充要条件．对于B，由|x|＋|y|＝|x＋y|知x，y要么同为正数，要么同为负数，要么至少一个为零，能得到xy≥0，故是充要条件．对于C，方程x2－x－m＝0有实数解，判别式Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，所以qp，∴p是q的充分不必要条件．对于D，因为pq，所以p不是q的充要条件．故选B．]
二、填空题
6．写出x>1的一个必要不充分条件________．
x>0(答案不唯一)　[设命题P：“x>1”，欲求的条件为Q，
根据必要不充分条件的定义，由P Q成立，而Q推不出P，因此x>a，只要a<1，都能作为条件Q，不妨取a＝0，得“x>1” “x>0”；反之，不成立．]
7．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
必要不充分　[由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1 ∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．]
8．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的________条件．
充分不必要　[若一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a<”，
即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．]
三、解答题
9．已知集合M＝{x|－1＜x＜4}，N＝{x|x－a＞0}．
(1)当a＝1时，求M∩N，M∪N；
(2)若x∈M是x∈N的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解]　(1)因为a＝1，所以N＝{x|x＞1}，
所以有M∩N＝{x|1＜x＜4}，
M∪N＝{x|x＞－1}．
(2)若x∈M是x∈N的充分不必要条件，
则有MN，
因为N＝{x|x－a＞0}＝{x|x＞a}．
∴a≤－1．
10．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
[解]　①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必须满足即0＜a≤．
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤．
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根．
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤．
1．一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在原点的必要不充分条件是(　　)
A．b＝0，c＝0 B．a＋b＋c＝0
C．b＋c＝0 D．bc＝0
D　[若一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点在原点，则－＝0，且c＝0，所以顶点在原点的充要条件是b＝0，c＝0，故A是充要条件，B、C是既不充分也不必要条件，D是必要不充分条件．故选D．]
2．(多选)设全集为U，在下列条件中，是B A的充要条件的有(　　)
A．A∪B＝B　 B．( UA)∩B＝
C． UA UB D．A∪ UB＝U
BCD　[由Venn图可知，BCD都是充要条件．
故选BCD．
]
3．《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．则“有毛”是“有皮”的________条件．(将正确的序号填在横线上)
①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．
①　[由题意知，“无皮” “无毛”，所以“有毛” “有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①．]
4．已知：p：x－3＜0，q：2x－3＜m．
(1)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________；
(2)若p是q的必要条件，则实数m的取值范围为________．
(1){m|m＞3}　(2){m|m≤3}　[由x－3＜0，得x＜3；由2x－3＜m，得x＜(m＋3)．
(1)若p是q的充分不必要条件，则{x|x＜3}，
∴(m＋3)＞3，解得m＞3．
(2)若p是q的必要条件，则 {x|x＜3}，
∴(m＋3)≤3，解得m≤3．]
从①{x|a－1≤x≤a}；②{x|a≤x≤a＋2}；③{x|≤x≤＋3}三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由．
已知集合A＝________，B＝{x|1≤x≤3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解]　由题意知，A≠ ，B＝{x|1≤x≤3}．
当选条件①时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，解得2≤a≤3．
所以实数a的取值范围是2≤a≤3．
当选条件②时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，解得a＝1．
此时A＝B，不符合条件．
故不存在a的值满足题意．
当选条件③时，因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以AB，该不等式组无解，
故不存在a的值满足题意．
综上所知，a的取值范围为{a|2≤a≤3}．
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