人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步达标测试题 （含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质同步达标测试题 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 495.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-20 21:50:17 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．70°
3．如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C＝∠BAD
C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF
4．如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝8，则P到OB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若BP＝5，CP＝12，则AD的长为（ ）
A．12 B．13 C． D．
6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
7．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为（ ）
A．8 B．7 C．10 D．9
8．如图：已知∠ABC＝∠ACB＝50°，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（ ）
A．∠DCP＝65° B．∠BDC＝40° C．∠DBE＝85° D．∠E＝50°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，高AD与角平分线BE相交于点F，∠DAC的平分线AG分别交BC、BE于点G、O，连接FG，下列结论：①∠ABD＝∠DAC；②∠AFE＝∠AEF；③AG⊥EF；④FG∥AC，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 ．
12．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若BC＝10，BD＝6，则D到AB的距离为 ．
13．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝ ．
14．如图，直角三角形ABC，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，过D作DE⊥AB，垂足为E，若DC＝3，则DE＝ ．
15．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝117°，∠ABC＝50°，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 度．
16．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE＝4，则三角形ABC的面积为 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为 ．
18．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝ ．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝50°，AD⊥BC于点D，且AE平分∠BAC．
（1）则∠BAC＝ ；
（2）求∠DAE的度数；
（3）过点B作BF⊥AC于点F，交AE于点G，若GF＝1cm，AB＝4cm，求△ABG的面积．
21．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
22．已知：∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°．
（1）如图1，当∠B＝∠D时，求证：AB+AD＝AC；
（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．
23．在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是线段BC上一点，以AD为腰在AD右边作等腰△ADE，AD＝AE．
（1）如图1，若AD平分∠BAC，且CD＝1，求AB的长度；
（2）如图2，当∠EDC＝∠BAD，连接BE交AC于点F，求证：BD＝2CF．
24．如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）
（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A．由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D．∠C＝90°，∠B＝30°，
∠BAC＝60°，
由作法知AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选B．
2．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
故选：B．
3．解：∵AF为斜边BC的中线，
∴BF＝CF＝AF，所以A选项不符合题意；
∵AD为斜边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BAD，所以B选项不符合题意；
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，所以C选项不符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABF＝S△ACF，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．解：过P点作PD⊥OB于D，如图，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，
∴PD＝PC＝8，
即P到OB的距离为8．
故选：C．
5．解：过P点作PH⊥BC于H，如图，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，∠ABC+∠DCB＝180°，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PH＝PA＝PD，∠PCB＝∠DCB，∠PBC＝∠ABC，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠DCB）＝×180°＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴BC＝13，
∵PH BC＝PB PC，
∴PH＝＝，
∴PA＝PD＝PH＝，
∴AD＝2PA＝．
故选：D．
6．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB OD）：（OE BC）：（OF AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5．
故选：D．
7．解：∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD＝∠FCD，
∵DE∥BF，
∴∠FCD＝∠EDC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴GD＝GC＝6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵DE∥BF，
∴∠FBD＝∠EDB，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE＝EG+DG＝2+6＝8．
故选：A．
8．解：∵∠ACB＝50°，
∴∠ACP＝180°﹣∠ACB＝130°，
∵CD平分∠ACP，
∴∠DCP＝∠ACP＝×130°＝65°，所以A选项不符合题意；
∵∠ABC＝50°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝×50°＝25°，
∵∠DCP＝∠BDC+∠DBC，
∴∠BDC＝∠DCP﹣∠DBC＝65°﹣25°＝40°，所以B选项不符合题意；
∵∠CBM+∠ABC＝180°，
∴∠CBM＝180°﹣50°＝130°，
∵BE平分∠MBC，
∴∠CBE＝∠CBM＝65°，
∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝25°+65°＝90°，所以C选项符合题意；
∵∠BCE＝∠DCP＝65°，
∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，所以D选项不符合题意．
故选：C．
9．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
10．解：∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠ABD＝∠DAC，所以①正确；
∵∠ABD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAF，∠AEF＝∠C+∠EAC，
∴∠AFE＝∠AEF，所以②正确；
∵AG平分∠DAC，
∵∠FAO＝∠EAO，
∵∠AFE+∠AFE+∠FAE＝180°，
∴∠AFO+∠FAO＝90°，
∴AO⊥EF，所以③正确；
∵BO⊥AG，AD⊥BG，
∴F点为△ABG三条高的交点，
∴GF⊥AB，
而CA⊥BA，
∴FG∥AC，所以④正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：作DF⊥AC交AC于点F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴10＝×4×2+×AC×2，
∴AC＝6．
故答案为：6
12．解：∵BC＝10，BD＝6，
∴CD＝4，
∵∠C＝90°，∠1＝∠2，
∴点D到边AB的距离等于CD＝4，
故答案为：4．
13．解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
14．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC＝3，
故答案为：3．
15．解：如图，延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
∴CD为∠ACF的平分线，
∵∠DCB＝117°，
∴∠DCF＝63°，
∴∠ACF＝126°，
∴∠BAC＝∠ACF﹣∠ABC＝126°﹣50°＝76°，
∴∠CAE＝104°，
∴∠CAD＝×104°＝52°，
故答案为：52．
16．解：过D作DF⊥BC，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝4，
∴DF＝4，
∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝
，
故答案为：36
17．解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，
∵P为CE中点，
∵S△EFP＝S△CFP，
设S△EFP＝S△CFP＝y，
∵BD是AC边上的中线，
∴设S△CDF＝S△AFD＝z，
∵S△BFP＝15，
∴S△BCD＝15+y+z，
∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，
∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，
∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴EG＝CE＝2CP＝4，
∴S△ABE＝AB EG＝30，
∴AB＝15，
故答案为：15．
18．解：方法一，如图，
取BD中点H，连AH、EH，
∵AB⊥AD，
∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，
∴∠HDA＝∠HAD，
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDA＝∠HDA，
∴∠FDA＝∠HAD，
∴AH∥DF，
∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，
∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，
∴A、H、E三点共线，
∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．
方法二，如图，延长BA和CD交于一点G，
证明三角形BDA和三角形GDA全等，
得A是BG中点，
则AE是中位线，
AE等于CG的一半
故答案为：6．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．（1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴MC＝ME，
∵M为BC的中点，
∴BM＝MC＝ME，
∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；
（2）AM⊥DM，
证明如下：
∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD＝∠BAD，∠MDA＝∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥DM．
20．解：（1）∵∠ABC＝70°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵AD⊥BC，∠ABC＝70°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠DAE＝10°；
（3）作GH⊥AB于H，
∵AE平分∠BAC，GH⊥AB，BF⊥AC，
∴GH＝GF＝1cm，又AB＝4cm，
∴△ABG的面积＝×AB×GH＝2cm2．
21．解：BM＝CN．
理由：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中
∵
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN．
22．（1）证明：∵∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2AD，AC＝2AB，
∴2AB+2AD＝2AC，
∴AB+AD＝AC；
（2）猜想：不会改变．
理由如下：过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，
根据（1）的结论，AB+AD＝AC，
∵AC平分∠DAB，
∴CE＝CF，
∵∠B+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE与△CBF中，，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴AD+AB＝AE+DE+AB＝AE+BF+AB＝AE+AF，
∴AD+AB＝AC．
即（1）中的结论没有发生改变．
23．（1）解：如图1中，过点D作DH⊥AB于H．
∴CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝1，
∴BD＝DH＝，
∴AC＝BC＝+1，
∴AB＝AC＝2+．
（2）证明：如图2中，延长BC到T，使得CT＝CB，连接AT，ET．
∵CB＝CT，AC⊥BT，
∴AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB＝45°，
∵∠BAD＝∠EDC，∠ADT＝∠ABD+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ABD＝45°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAT＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠TAE，
∵AB＝AT，AD＝AE，
∴△BAD≌△TAE（ASA），
∴∠ABD＝∠ATE＝45°，BD＝ET，
∴∠BTE＝∠ATB+∠ATE＝90°，
∴∠BCF＝∠BTE＝90°，
∴CF∥ET，
∵BC＝CT，
∴BF＝FE，
∴ET＝2CF，
∴BD＝2CF．
24．解：图①如图所示；
（1）FE＝FD；
（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FK，
在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，
∴∠FAC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，
在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EFD＝∠AFC＝120°，
∴∠EFG＝∠DFH，
在△EFG和△DFH中，
，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE＝FD．
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A．30° B．60° C．45° D．70°
3．如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．BF＝CF B．∠C＝∠BAD
C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF
4．如图，点P在∠AOB的角平分线上，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，且PC＝8，则P到OB的距离为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若BP＝5，CP＝12，则AD的长为（ ）
A．12 B．13 C． D．
6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为15，20，25，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（ ）
A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5
7．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为（ ）
A．8 B．7 C．10 D．9
8．如图：已知∠ABC＝∠ACB＝50°，BD、CD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，其中点D、C、E在同一条直线上，以下结论：错误的是（ ）
A．∠DCP＝65° B．∠BDC＝40° C．∠DBE＝85° D．∠E＝50°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，高AD与角平分线BE相交于点F，∠DAC的平分线AG分别交BC、BE于点G、O，连接FG，下列结论：①∠ABD＝∠DAC；②∠AFE＝∠AEF；③AG⊥EF；④FG∥AC，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC的长是 ．
12．如图，∠C＝90°，∠1＝∠2，若BC＝10，BD＝6，则D到AB的距离为 ．
13．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BOC＝ ．
14．如图，直角三角形ABC，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，过D作DE⊥AB，垂足为E，若DC＝3，则DE＝ ．
15．如图，已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠DCB＝117°，∠ABC＝50°，∠BAD+∠CAD＝180°，那么∠DAC的度数为 度．
16．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若DE＝4，则三角形ABC的面积为 ．
17．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连接PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为 ．
18．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，点E是BC边的中点，DA平分对角线BD与CD边延长线的夹角，若BD＝5，CD＝7，则AE＝ ．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠DAB．
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．
20．如图，△ABC中，∠ABC＝70°，∠C＝50°，AD⊥BC于点D，且AE平分∠BAC．
（1）则∠BAC＝ ；
（2）求∠DAE的度数；
（3）过点B作BF⊥AC于点F，交AE于点G，若GF＝1cm，AB＝4cm，求△ABG的面积．
21．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
22．已知：∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D＝180°．
（1）如图1，当∠B＝∠D时，求证：AB+AD＝AC；
（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．
23．在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是线段BC上一点，以AD为腰在AD右边作等腰△ADE，AD＝AE．
（1）如图1，若AD平分∠BAC，且CD＝1，求AB的长度；
（2）如图2，当∠EDC＝∠BAD，连接BE交AC于点F，求证：BD＝2CF．
24．如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（不需证明）
（2）如图③，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A．由作法知AD＝AC，
∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意；
B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，
∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意；
C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D．∠C＝90°，∠B＝30°，
∠BAC＝60°，
由作法知AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝30°＝∠B，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意；
故选B．
2．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
故选：B．
3．解：∵AF为斜边BC的中线，
∴BF＝CF＝AF，所以A选项不符合题意；
∵AD为斜边上的高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BAD，所以B选项不符合题意；
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，所以C选项不符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABF＝S△ACF，所以D选项符合题意．
故选：D．
4．解：过P点作PD⊥OB于D，如图，
∵点P在∠AOB的角平分线上，PC⊥OA，
∴PD＝PC＝8，
即P到OB的距离为8．
故选：C．
5．解：过P点作PH⊥BC于H，如图，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，∠ABC+∠DCB＝180°，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，
∴PH＝PA＝PD，∠PCB＝∠DCB，∠PBC＝∠ABC，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠DCB）＝×180°＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴BC＝13，
∵PH BC＝PB PC，
∴PH＝＝，
∴PA＝PD＝PH＝，
∴AD＝2PA＝．
故选：D．
6．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如图，
∵点O是△ABC三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB OD）：（OE BC）：（OF AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5．
故选：D．
7．解：∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD＝∠FCD，
∵DE∥BF，
∴∠FCD＝∠EDC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴GD＝GC＝6，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵DE∥BF，
∴∠FBD＝∠EDB，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝DE＝EG+DG＝2+6＝8．
故选：A．
8．解：∵∠ACB＝50°，
∴∠ACP＝180°﹣∠ACB＝130°，
∵CD平分∠ACP，
∴∠DCP＝∠ACP＝×130°＝65°，所以A选项不符合题意；
∵∠ABC＝50°，BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝×50°＝25°，
∵∠DCP＝∠BDC+∠DBC，
∴∠BDC＝∠DCP﹣∠DBC＝65°﹣25°＝40°，所以B选项不符合题意；
∵∠CBM+∠ABC＝180°，
∴∠CBM＝180°﹣50°＝130°，
∵BE平分∠MBC，
∴∠CBE＝∠CBM＝65°，
∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝25°+65°＝90°，所以C选项符合题意；
∵∠BCE＝∠DCP＝65°，
∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝180°﹣65°﹣65°＝50°，所以D选项不符合题意．
故选：C．
9．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
10．解：∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠ABD＝∠DAC，所以①正确；
∵∠ABD+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAF，∠AEF＝∠C+∠EAC，
∴∠AFE＝∠AEF，所以②正确；
∵AG平分∠DAC，
∵∠FAO＝∠EAO，
∵∠AFE+∠AFE+∠FAE＝180°，
∴∠AFO+∠FAO＝90°，
∴AO⊥EF，所以③正确；
∵BO⊥AG，AD⊥BG，
∴F点为△ABG三条高的交点，
∴GF⊥AB，
而CA⊥BA，
∴FG∥AC，所以④正确．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：作DF⊥AC交AC于点F，
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，
∴10＝×4×2+×AC×2，
∴AC＝6．
故答案为：6
12．解：∵BC＝10，BD＝6，
∴CD＝4，
∵∠C＝90°，∠1＝∠2，
∴点D到边AB的距离等于CD＝4，
故答案为：4．
13．解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
14．解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC＝3，
故答案为：3．
15．解：如图，延长BA和BC，过D点作DE⊥BA于E点，过D点作DF⊥BC于F点，过D点作DG⊥AC于G点，
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴DE＝DF，
又∵∠BAD+∠CAD＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴AD为∠EAC的平分线，
∴DE＝DG，
∴DG＝DF．
∴CD为∠ACF的平分线，
∵∠DCB＝117°，
∴∠DCF＝63°，
∴∠ACF＝126°，
∴∠BAC＝∠ACF﹣∠ABC＝126°﹣50°＝76°，
∴∠CAE＝104°，
∴∠CAD＝×104°＝52°，
故答案为：52．
16．解：过D作DF⊥BC，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝4，
∴DF＝4，
∴△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积＝
，
故答案为：36
17．解：过E作EG⊥AB于G，连接CF，
∵P为CE中点，
∵S△EFP＝S△CFP，
设S△EFP＝S△CFP＝y，
∵BD是AC边上的中线，
∴设S△CDF＝S△AFD＝z，
∵S△BFP＝15，
∴S△BCD＝15+y+z，
∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，
∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，
∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，
∵AE是∠CAB的角平分线，
∴EG＝CE＝2CP＝4，
∴S△ABE＝AB EG＝30，
∴AB＝15，
故答案为：15．
18．解：方法一，如图，
取BD中点H，连AH、EH，
∵AB⊥AD，
∴AH＝DH＝BH＝BD＝2.5，
∴∠HDA＝∠HAD，
∵DA平分∠FDB，
∴∠FDA＝∠HDA，
∴∠FDA＝∠HAD，
∴AH∥DF，
∵点E是BC边的中点，点H是BD的中点，
∴EH∥CD，EH＝CD＝3.5，
∴A、H、E三点共线，
∴AE＝AH+EH＝2.5+3.5＝6．
方法二，如图，延长BA和CD交于一点G，
证明三角形BDA和三角形GDA全等，
得A是BG中点，
则AE是中位线，
AE等于CG的一半
故答案为：6．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．（1）证明：过M作ME⊥AD于E，
∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，
∴MC＝ME，
∵M为BC的中点，
∴BM＝MC＝ME，
∵∠B＝90°，ME⊥AD，
∴AM平分∠DAB；
（2）AM⊥DM，
证明如下：
∵AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC，
∴∠MAD＝∠BAD，∠MDA＝∠ADC，
∴∠MAD+∠MDA＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∴AM⊥DM．
20．解：（1）∵∠ABC＝70°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵AD⊥BC，∠ABC＝70°，
∴∠BAD＝20°，
∴∠DAE＝10°；
（3）作GH⊥AB于H，
∵AE平分∠BAC，GH⊥AB，BF⊥AC，
∴GH＝GF＝1cm，又AB＝4cm，
∴△ABG的面积＝×AB×GH＝2cm2．
21．解：BM＝CN．
理由：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中
∵
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN．
22．（1）证明：∵∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝∠D＝90°，
∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝2AD，AC＝2AB，
∴2AB+2AD＝2AC，
∴AB+AD＝AC；
（2）猜想：不会改变．
理由如下：过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，
根据（1）的结论，AB+AD＝AC，
∵AC平分∠DAB，
∴CE＝CF，
∵∠B+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠D＝∠CBF，
在△CDE与△CBF中，，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF，
∴AD+AB＝AE+DE+AB＝AE+BF+AB＝AE+AF，
∴AD+AB＝AC．
即（1）中的结论没有发生改变．
23．（1）解：如图1中，过点D作DH⊥AB于H．
∴CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝1，
∴BD＝DH＝，
∴AC＝BC＝+1，
∴AB＝AC＝2+．
（2）证明：如图2中，延长BC到T，使得CT＝CB，连接AT，ET．
∵CB＝CT，AC⊥BT，
∴AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB＝45°，
∵∠BAD＝∠EDC，∠ADT＝∠ABD+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ABD＝45°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAT＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠TAE，
∵AB＝AT，AD＝AE，
∴△BAD≌△TAE（ASA），
∴∠ABD＝∠ATE＝45°，BD＝ET，
∴∠BTE＝∠ATB+∠ATE＝90°，
∴∠BCF＝∠BTE＝90°，
∴CF∥ET，
∵BC＝CT，
∴BF＝FE，
∴ET＝2CF，
∴BD＝2CF．
24．解：图①如图所示；
（1）FE＝FD；
（2）如图，过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FK，
在四边形BGFH中，∠GFH＝360°﹣60°﹣90°×2＝120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∠B＝60°，
∴∠FAC+∠FCA＝（180°﹣60°）＝60°，
在△AFC中，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣60°＝120°，
∴∠EFD＝∠AFC＝120°，
∴∠EFG＝∠DFH，
在△EFG和△DFH中，
，
∴△EFG≌△DFH（ASA），
∴FE＝FD．