华东师大版九年级数学上册23.3相似三角形同步达标测试题（含解析）

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《23.3相似三角形》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（　　）
A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9
2．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（　　）
A．0＜CP≤1 B．0＜CP≤2 C．1≤CP＜8 D．2≤CP＜8
3．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（　　）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝ D．＝
4．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD为边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（　　）
（1）△PAM∽△PBC（2）PM⊥PC；（3）∠MPB＝∠MCB；
（4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6
（5）AN＝AM
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．如图，平行四边形ABCD中，连接AC，在CD的延长线上取一点E，连接BE，分别交AC和AD于点G和点F，则下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作30°角的直角三角形ABC和30°角的直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M，连接PA对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP MD＝MA ME；③图中有5对相似三角形；④AP⊥CD其中结论正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．4个 D．3个
7．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF的长为（　　）
A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm
8．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（　　）
A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．已知如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么S△CPE：S△ABC＝　 　．
10．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为 　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝　 　．
12．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE PF的最大值为　 　．
14．矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB＝4，∠BAE＝30°，求△DEC的面积是 　 　．
15．如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为　 　m．
16．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是　 　．
三．解答题（共9小题，满分56分）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．
18．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长．
19．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
20．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．
（1）求证：AC＝AD+CE；
（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）
21．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC＝180°，∠AFE＝∠BDE．
（1）如图1，当DE＝DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；
（2）如图2，当DE＝kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A＝90°，AF＝m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．
22．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．
23．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．
25．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，
∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．
故选：C．
2．解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA，
此时0＜PC＜8；
如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，
此时0≤PC＜8；
如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB，
当点G与点A重合时，CA2＝CP×CB，即42＝CP×8，
∴CP＝2，
∴此时，0＜CP≤2；
综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤2．
故选：B．
3．解：∵∠A＝∠A，
∴添加∠ADE＝∠C，△ADE∽△ACB，故A正确；
∴添加∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，故B正确；
∴添加，△ADE∽△ACB，故D正确；
故选：C．
4．解：（1）∵AP⊥BN，
∴∠PAM+∠PBA＝90°，
∵∠PBA+∠PBC＝90°，
∴∠PAM＝∠PBC，
∵∠PMA＝∠PCB，
∴△PAM∽△PBC，
故（1）正确；
（2）∵△PAM∽△PBC，
∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，
故（2）正确；
（3）∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，
∴B、C、P、M四点共圆，
∴∠MPB＝∠MCB，
故（3）正确；
（4）过点P作EF⊥BC，分别交AD、BC于E、F点，
∵N为AD的中点，AB＝2
∴AN＝DN＝，BC＝EF＝2，
∴BN＝，
易证△ANP∽△NBA，得，
即，
∴PN＝1，
∴PB＝5﹣1＝4，
∵AD∥BC，
∴△PEN∽△PFB，
∴，
∴PF＝，
∴，
故（4）错误；
（5）易证△PAN∽△PAB，
∴，
∵△PAM∽△PBC，
∴，
∴，
∵AB＝BC，
∴AM＝AN，
故（5）正确；
故选：B．
5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，
∴AB∥CE，
∴＝＝，故A正确，
∵AF∥BC，AB∥EC，
∴＝＝，故B正确，
∵AF∥BC，AB∥EC，
∴＝＝，
∴＝，故C正确，
故选：D．
6．解：如图，设AC与PB的交点为N，
∵∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，
∴＝，∠BAE＝30°+∠CAE，∠CAD＝30°+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，故①正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA＝∠CDA，
∵∠PME＝∠AMD，
∴△PME∽△AMD，
∴，
∴MP MD＝MA ME，故②正确；
∴，
∵∠PMA＝∠EMD，
∴△APM∽△DEM，
∴∠APM＝∠DEM＝90°，
∴AP⊥CD，故④正确；
同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，
∵△ABC∽△AED，
∴图中相似三角形有6对，故③不正确；
故选：D．
7．解：∵∠BAC＝90°，
∴∠AGD+∠ADC＝90°，
∵四边形GFDE是矩形，
∴∠GDE＝90°，∠GFB＝∠DEC＝90°，GD∥BC，GF＝DE，
∴∠ADG+∠EDC＝90°，∠AGD＝∠B，
∴∠AGD＝∠EDC，
∴∠B＝∠EDC，
∴△BFG∽△DEC，
∴DE：BF＝CE：GF，
∵BF＝4.5cm，CE＝2cm，
∴GF：4.5＝2：GF，
∴GF＝3cm，
故选：A．
8．解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，
∴四边形ABED是矩形，
∵BE＝9m，AB＝1.5m，
∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，
在Rt△ACD中，
∵∠CAD＝30°，AD＝9m，
∴CD＝AD tan30°＝9×＝3，
∴CE＝CD+DE＝3+1.5
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分）
9．解：连接AP并延长交BC于点F，
∵DE是△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴S△CPE＝S△AEP，
∵点P是DE的中点，
∴S△AEP＝S△ADP，
∴S△CPE：S△ADE＝1：2，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∴S△CPE：S△ABC＝1：8．
故答案为：1：8．
10．解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴＝，
设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，
∴＝，
解得：x＝，
则EH＝．
故答案为：．
11．解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴△QPE∽△RPF，
∴＝＝2，
∴PQ＝2PR＝2BQ，
∵PQ∥BC，
∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x+3x＝3，
∴x＝，
∴AP＝5x＝3．
故答案为3．
12．解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，
∴∠ABH＝∠CAH，
在△ABE和△CAH中
，
∴△ABE≌△CAH，
∴BE＝AH，AE＝CH，
在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°，
∴sin∠AHE＝，HE＝AH，
∴AE＝AH sin60°＝AH，
∴CH＝AH，
在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝（）2，解得AH＝2，
∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，
∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1，
在Rt△BFH中，HF＝BH＝，BF＝，
∵BF∥CH，
∴△CHD∽△BFD，
∴＝＝＝2，
∴DH＝HF＝×＝．
故答案为．
13．解：在Rt△ABD中，
BD＝＝＝25，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEA＝∠CDA＝∠PFD＝90°，
又∵∠PAE＝∠CAD，∠PDF＝∠BDA，
∴△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，
∴＝＝，＝＝，
设AP＝x，则PD＝20﹣x，
∴PE＝x，PF＝（20﹣x）＝12﹣x，
∴PE PF＝x×（12﹣x）
＝﹣x2+x
＝﹣（x﹣10）2+36，
根据二次函数的图象及性质可知，当x＝10时，PE PF有最大值，最大值为36，
故答案为：36．
14．解：如图，过点C作CF⊥BD于F．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AE⊥BD，∠BAE＝30°，
∴AB2＝BE×BD，BE＝2，AE＝2，
∴ED＝BD﹣BE＝6，
∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD＝4，AEB＝∠CFD＝90°．
∴△ABE≌△CDF．
∴AE＝CF．
∴S△AED＝ED AE，S△ECD＝ED CF
∴S△AED＝S△CDE，
∵AE＝2，DE＝6，
∴△ECD的面积是6．
故答案为：6．
15．解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，
∴另一直角边长为：＝2（m），
则斜边长为：＝2.5，
设点C到AB的距离为h，
则S△ABC＝×2.5h＝1.5，
解得：h＝1.2，
∵正方形GFDE的边DE∥GF，
∴△ACB∽△DCE，
＝，
即＝，
解得：x＝，
故答案为：．
16．解：如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4，AE＝，
∴EH＝5，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴＝，
∴EF2＝EC EP，
∴EP＝＝．
故答案为．
三．解答题（共9小题，满分56分）
17．证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE．
18．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADE＝180°，
∵∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠EDA，
∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△ABF∽△EAD；
（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE＝90°，
∵AB＝4，∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE，
由勾股定理可求得AE＝．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM＝＝13，AD＝12，
∵F是AM的中点，
∴AF＝AM＝6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE＝16.9，
∴DE＝AE﹣AD＝4.9．
20．（1）证明：∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠E＝180°﹣90°＝90°，
∴∠1＝∠E，
∵在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB＝CE，
∴AC＝AB+BC＝AD+CE；
（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，
则△BFQ∽△BCE，
∴＝，
即＝，
∴QF＝BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠FPQ＝180°﹣90°＝90°，
∵∠APD+∠ADP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ADP＝∠FPQ，
又∵∠A＝∠PFQ＝90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴＝，
即＝，
∴5AP﹣AP2+AP BF＝3 BF，
整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）＝0，
∵点P与A，B两点不重合，
∴AP≠5，
∴AP＝BF，
由△ADP∽△FPQ得，＝，
∴＝；
（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．
由（2）（i）可知，QF＝AP．
当点P运动至AC中点时，AP＝4，∴QF＝．
∴BF＝QF×＝4．
在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ＝＝＝．
∴MN＝BQ＝．
∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．
21．解：（1）如图1，连接AE．
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∵∠ADF+∠DEC＝180°，
∴∠ADF＝∠DEB．
∵∠AFE＝∠BDE，
∴∠AFE+∠ADE＝180°，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠DAE＝∠DFE＝∠DEF，∠ADF＝∠AEF．
∵∠ADF＝∠DEB＝∠AEF，
∴∠AEF+∠AED＝∠DEB+∠AED，
∴∠AEB＝∠DEF＝∠DFE＝∠BAE，
∴AB＝BE；
（2）如图2，连接AE．
∵∠AFE＝∠BDE，
∴∠AFE+∠ADE＝180°，
∴A、D、E、F四点共圆，
∴∠ADF＝∠AEF，
∵∠DAF＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∵∠ADF+∠DEC＝180°，
∴∠ADF＝∠DEB．
∵∠ADF＝∠AEF，
∴∠DEB＝∠AEF．
在△BDE与△AFE中，
，
∴△BDE∽△AFE，
∴＝．
在直角△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝kDF，
∴EF＝＝DF，
∴＝＝，
∴BD＝．
22．（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴＝，
由（1）可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，
∴∠EAF＝∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴＝．
23．（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ADF＝∠C，
∵＝，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴＝，
又∵＝，
∴＝，
∴＝1．
24．解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴＝，
即＝，
解得BC＝4，
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，
即树高5.5m．
25．（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴＝，即＝，
解得：CF＝169．
即：CF的长度是169cm．