冀教版九年级数学上册24.3一元二次方程根与系数的关系同步练习题（含解析）

2022-2023学年冀教版九年级数学上册《24.3一元二次方程根与系数的关系》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k＜4 C．k＜﹣4 D．k＞1
3．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
4．设a，b是方程x2﹣x+2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（　　）
A．﹣2020 B．2018 C．2020 D．2022
5．关于x的方程x2﹣（m2﹣1）x+2m＝0的两个根互为相反数，则m的值是（　　）
A．m＝±1 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝0
6．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若x1 x2＝1，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．
7．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为（　　）
A．15 B．16 C．15或17 D．16或17
8．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（　　）
A．﹣6，﹣1 B．2﹣，﹣1 C．2﹣，1 D．﹣6，1
9．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（　　）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
10．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+n）x+mn+3＝0（m＜n）有两个不相等的实数根a，b（a＜b），则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜n＜b D．a＜m＜b＜n
二．填空题
12．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
13．设x1与x2为一元二次方程x2+3x+2＝0的两根，则（x1﹣x2）2的值为 　 　．
14．若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则+的值为 　 　．
三．解答题
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为2，求m的值及另一个根．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+（m2+m）＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1+x2+x1 x2＝4，求m的值．
17．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
18．已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若＝4m，求m的值
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0．
（1）若这个一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足x12+x22+x1x2＝7，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值．
参考答案
一．选择题
1．解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，
解得k＝﹣1．
故选：B．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，
解得：k＞4，
故选：A．
3．解：根据题意得a≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4a×（﹣2）≥0，
解得a≥﹣2且a≠0．
故选：C．
4．解：∵a，b是方程x2﹣x+2020＝0的两个实数根，
∴a+b＝1，ab＝2020，
∴（a﹣1）（b﹣1）
＝ab﹣（a+b）+1
＝2020﹣1+1
＝2020．
故选：C．
5．解：∵方程x2﹣（m2﹣1）x+2m＝0的两个根是互为相反数，
设这两根是α、β，则α+β＝m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
但当m＝1时，原方程为：x2+2＝0，方程没有实数根，
故m＝﹣1．
故选：B．
6．解：根据题意知，x1 x2＝m2＝1，则m＝1或﹣1．
m＝1时，原方程无解，故m＝﹣1，
故选：A．
7．解：当3为底边长时，则a＝b，a+b＝8，
∴a＝b＝4．
∵4，4，3能围成三角形，
∴﹣1+m＝4×4，
解得：m＝17；
当3为腰长时，a、b中有一个为3，则另一个为5，
∵5，3，3能围成三角形，
∴﹣1+m＝5×3，
解得：m＝16；
∴m的值为17或16，
故选：D．
8．解：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2++t＝4，（2+） t＝c，
所以t＝2﹣，c＝（2+）（2﹣）＝1，
即方程的另一个根和c的值分别为2﹣，1．
故选：C．
9．解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，
∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，
则原式＝x1（x12﹣2022）+x22
＝x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝1+4044
＝4045．
故选：A．
10．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
11．解：设抛物线解析式为y＝x2﹣（m+n）x+mn，则此抛物线与x轴的交点坐标为（m，0），（n，0），
∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+n）x+mn+3＝0（m＜n）有两个不相等的实数根a和b，
∴当自变量为a、b时y＝x2﹣（m+n）x+mn＝﹣3，
即a、b为直线y＝﹣3与抛物线y＝x2﹣（m+n）x+mn两交点的横坐标，
∴m＜a＜b＜n．
故选：A．
二．填空题
12．解：∵关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴m﹣1≠0，且Δ＞0，即4﹣4（m﹣1）＞0，解得m＜2，
∴m的取值范围是：m＜2且m≠1．
故答案为：m＜2且m≠1．
13．解：由题意可知：x1+x2＝﹣6，x1x2＝4，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2
＝（﹣6）2﹣4×4
＝36﹣16
＝20，
故答案为：20．
14．解：∵实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，
∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的两个不相等的实数根，
则a+b＝4，ab＝3，
则原式＝＝，
故答案为：．
三．解答题
15．解：（1）Δ＝m2+8＞0，
∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的一个根为2，
将x＝2代入一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0，
得4﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1，
∴一元二次方程为x2﹣x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴方程的另一个解是x＝﹣1．
16．解：（1）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+m）≥0，
解得m≤0；
（2）根据题意得x1+x2＝2m，x1x2＝m2+m，
∵x1+x2+x1 x2＝4，
∴2m+m2+m＝4，
整理得m2+3m﹣4＝0，解得m1＝﹣4，m2＝1，
∵m≤0，
∴m的值为﹣4．
17．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞﹣，
即k的取值范围是k＞﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1 x2＝k2﹣2，
∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝11，
[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
必须k＞﹣，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．
18．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＞﹣1且m≠0．
（2）∵x1，x2是一元二次方程mx2﹣（m+2）x+＝0的实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
∵＝＝4m，即＝4m，
∴m2﹣m﹣2＝0，
解得：m1＝﹣1，m2＝2．
又∵m＞﹣1且m≠0，
∴m＝2．
19．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣3m）＝16m+1≥0，
解得：m≥﹣，
即m的取值范围是m≥﹣；
（2）∵x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2﹣3m，
∴x12+x22+x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+x1x2＝（2m+1）2﹣（m2﹣3m）＝3m2+7m+1，
∵x12+x22+x1x2＝7，
∴3m2+7m+1＝7，即3m2+7m﹣6＝0，
解得m＝﹣3或m＝．
∵m≥﹣；
∴m＝．
故m的值为．
20．（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1 （﹣3m2）
＝4+12m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
，
解得：，
∵αβ＝﹣3m2，
∴﹣3m2＝﹣3，
∴m＝±1，
∴m的值为±1．