北师大版九年级数学上册第2章一元二次方程单元综合测试题（含解析）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．已知关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≠0 C．m＞1 D．m≠1
2．方程x2＝x的根是（　　）
A．x＝0 B．x＝±1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1
3．若x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．若关于x的方程（x2+2x）2+2（x2+2x）﹣8＝0有实数根，则x2+2x的值为（　　）
A．﹣4 B．2 C．﹣4或2 D．4或﹣2
5．把一元二次方程x2+12x+27＝0，化为（x+p）2+q＝0的形式，正确的是（　　）
A．（x﹣6）2﹣9＝0 B．（x+6）2﹣9＝0
C．（x+12）2+27＝0 D．（x+6）2+27＝0
6．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a＞﹣1且a≠0 C．a≥﹣1且a≠0 D．a＞﹣1
7．若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（　　）
A．2或6 B．2或8 C．2 D．6
8．2021年新冠疫情依然很严重，疫情未结束，防控不松懈，戴口罩能有效防止病毒感染．某一种口罩原价每盒20元，经过两次降价后每盒9元，设两次降价的百分率都为x，则x满足方程（　　）
A．20x2＝9 B．20（1﹣2x）＝9
C．20（1﹣x）2＝9 D．20（1﹣2x）2＝9
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3＝0的一个根为1，则m＝　 　．
10．关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　．
11．若关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个实数根为x＝﹣2，则另一个实数根为　 　．
12．一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0和3x2﹣x+1＝0的所有实数根的和等于　 　．
13．三角形两边长分别是4和2，第三边长是2x2﹣9x+4＝0的一个根，则三角形的周长是　 　．
14．如图，四边形ABCD是边长为5的菱形，对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，DH是AB边上的高，则DH＝　 　．
15．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+2k2﹣1＝0的两个实数根x1，x2满足x12+x22＝9，则k＝　 　．
16．某商店如果将进价为每件8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件的售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少20件，若要想每天获得640元的利润，则每件的售价定为 　 　最合适．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．用适当的方法解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）3x2+5（2x+1）＝0；
（3）2x（x﹣3）+x＝3．
18．关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）选取一个合适的k值，使得方程有两个整数根，并求出这两个整数根．
19．已知关于x的方程x2﹣3ax﹣3a﹣6＝0，
（1）求证：方程恒有两不等实根；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，求a的值．
20．随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资源调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
21．先阅读，再解答．
例：x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值．
解：∵x2+y2﹣2x+4y+5＝0，
∴（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0．
即（x﹣1）2+（y+2）2＝0．
∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，
∴（x﹣1）2＝0，（y+2）2＝0．
∴x＝1，y＝﹣2．
∴x+y＝﹣1．
（1）已知x2+4y2﹣6x+4y+10＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，判断△ABC的形状，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+3x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，
∴m≠1，
故选：D．
2．解：∵x2＝x，
∴x2﹣x＝0，
则x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1，
故选：C．
3．解：根据题意，得22﹣2m+2＝0，即6﹣2m＝0，
解得，m＝3．
故选：C．
4．解：设x2+2x＝y，则原方程可化为y2+2y﹣8＝0，
解得：y1＝﹣4，y2＝2，
当y＝﹣4时，x2+2x＝﹣4，即x2+2x+4＝0，Δ＝22﹣4×1×4＜0，方程无解，
∴x2+2x的值为2，
故选：B．
5．解：∵x2+12x+27＝0，
∴x2+12x+62﹣62+27＝0，
∴（x+6）2﹣9＝0．
故选：B．
6．解：由题意可得：，
∴a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
7．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
8．解：依题意得：20（1﹣x）2＝9．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：把x＝1代入方程得：1﹣（m+2）+3＝0，
去括号得：1﹣m﹣2+3＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2
10．解：∵关于x的方程x2+2x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×k＝0，
解得：k＝1．
故答案为：1．
11．解：设另一个实数根为t，
根据题意得﹣2+t＝﹣3，
解得t＝﹣1．
故答案为﹣1．
12．解：在方程3x2﹣x﹣1＝0中a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝13＞0，
∴方程3x2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
设一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，则m+n＝﹣＝．
在方程3x2﹣x+1＝0中a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝﹣11＜0，
∴方程3x2﹣x+1＝0没有实数根．
∴一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0和3x2﹣x+1＝0的所有实数根的和等于．
故答案为：．
13．解：方程2x2﹣9x+4＝0，
分解因式得：（2x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x＝或x＝4，
当x＝时，+2＜4，不能构成三角形，舍去，
则三角形周长为4+4+2＝10．
故答案为：10．
14．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴∠AOB＝90°，
∴AO2+BO2＝AB2＝52＝25，
∵对角线AC，BD的长度分别是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+8m＝0的两实数根，
∴2AO+2BO＝2（m+1），2AO 2BO＝8m，
∴AO+BO＝m+1，AO BO＝2m，
∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO×BO＝25，
∴（m+1）2﹣4m＝25，
解得：m1＝6，m2＝﹣4，
∴当m＝﹣4时，AO BO＝﹣8＜0，不符合题意，舍去，
即m＝6，
则AO BO＝12，AC BD＝2AO 2BO＝4AO BO＝48，
∵DH是AB边上的高，
∴S菱形ABCD＝AB DH＝AC BD，
∴5DH＝，
∴DH＝．
故答案为：．
15．解：由根与系数的关系知：x1+x2＝﹣（2k+1），x1 x2＝2k2﹣1，
∵x12+x22＝9，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝9，
∴[﹣（2k+1）]2﹣2（2k2﹣1）＝9，
4k+3＝9，
解得k＝，
当k＝时，Δ＝（2k+1）2﹣4（2k2﹣1）＝﹣4k2+4k+5＝﹣4×+4×+5＝2＞0，
∴k＝符合题意．
故答案为：．
16．解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣8）元，每天的进货量为200﹣20（x﹣10）＝（400﹣20x）件，
依题意得：（x﹣8）（400﹣20x）＝640，
整理得：x2﹣28x+192＝0，
解得：x1＝12，x2＝16．
又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，
∴x＝16．
∴每件商品的售价定为16元最为合适．
故答案为：16．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）3x2+5（2x+1）＝0，
3x2+10x+5＝0，
∵b2﹣4ac＝102﹣4×3×5＝40＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝；
（3）2x（x﹣3）+x＝3，
2x（x﹣3）+x﹣3＝0，
（x﹣3）（2x+1）＝0，
x﹣3＝0或2x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣．
18．（1）证明：∵Δ＝（k+3）2﹣12k＝（k﹣3）2，
∵（k﹣3）2≥0，
∴方程有两个实数根；
（3）解：取k＝2时，则k+3＝5，3k＝6，
故方程为x2+5x+6＝0，
（x+3）（x+2）＝0，
解得x＝﹣2或x＝﹣3．
19．（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3a）2﹣4×（﹣3a﹣6）＝9a2+12a+24＝（3a+2）2+20＞0，
∴方程恒有二不等实根；
（2）解：由根与系数的关系得x1+x2＝3a，x1x2＝﹣3a﹣6，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝1，
∴﹣3a﹣6﹣3a+1＝1，
解得a＝﹣1．
故a的值是﹣1．
20．解：（1）设每天增长的百分率是x，
依题意得：300（1+x）2＝432，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每天增长的百分率是20%．
（2）设应该建y条生产线，则每条生产线的最大产能为[900﹣30（y﹣1）]万个/天，
依题意得：y[900﹣30（y﹣1）]＝3900，
整理得：y2﹣31y+130＝0，
解得：y1＝5，y2＝26，
答：应该建5条或26条生产线．
21．解：（1）∵x2+4y2﹣6x+4y+10＝0，
∴（x2﹣6x+9）+（4y2+4y+1）＝0，
即（x﹣3）2+（2y+1）2＝0，
∵（x﹣3）2≥0，（2y+1）2≥0，
∴（x﹣3）2＝0，（2y+1）2＝0，
∴x＝3，y＝﹣，
∴xy＝﹣；
（2）△ABC是等边三角形，理由为：
∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0．
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴（a﹣b）2＝0，（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，即a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．