鲁教版（五四学制）九年级数学上册第3章二次函数商品销售利润问题解答题专题训练（含解析）
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四学制）九年级数学上册第3章二次函数商品销售利润问题解答题专题训练（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 147.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-19 21:15:23 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第3章二次函数》
商品销售利润问题解答题专题训练（附答案）
1．某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）求x为何值时，日销售利润为900元；
（3）直接写出哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少元？
2．已知某商品的进价为每件24元，现在售价为每件32元，每天可售出200件．经市场调查发现：若该商品每件涨价1元，则每天就会少卖5件．
那么每件涨价多少元时每天获得利润最大？所获最大利润是多少元？
3．某商品的进价是每件40元，当售价每件60元时，当天可售出300件．进行不同程度的涨价后，发现每涨价1元，当天销售量减少10件．设商品售价每件涨价x元（x为正整数）时，当天售出商品的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如何定价，才能使商品当天的销售利润达到6250元？
4．李大爷每年春节期间都会购进一批新年红包销售，根据往年的销售经验，这种红包平均每天可销售50袋，每袋盈利3元，若每袋降价0.5元，平均每天可多售出25袋，设每袋降x元，平均每天的利润为y元．
（1）请求出y与x的函数表达式；
（2）若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价多少元销售？最大利润为多少元？
5．已知某品牌床单进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）的相关信息如表（符合一次函数关系）：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销售量（件） 200 180 160 140 …
（Ⅰ）销售该品牌床单每件的利润是 元（用含x的式子表示）；
（Ⅱ）用含x的代数式表示月销量y；
（Ⅲ）设销售该品牌床单的月利润为w元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
6．某种蔬菜在3﹣6月份的销售单价与销售月份之间的关系如图（甲）所示，成本与销售月份之间的关系如图（乙）所示．（图（甲）中4个点在一条直线上，图（乙）中的4个点在一条抛物线上）
（1）求该蔬菜5月份的销售单价．（精确到0.1元）
（2）求该蔬菜4月份每千克的成本．（精确到0.1元）
（3）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？每千克的最大收益是多少元？（收益＝售价﹣成本）
7．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：
售价x（元/件） 40 50
周销售量y（件） 120 100
周销售利润w（元） 2400 3000
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）每件商品的进价为 元/件，y与x的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当每件商品售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．
8．疫情期间，某核酸检测点要检测1000人，排队前来检测的人数y与时间x（小时）之间符合函数表达式：y＝200x（x≤5）该检测点实际检测的人数m与时间t（小时）统计如下表所示：
t 0 1 2 3 4 …
m 0 40 160 360 640 …
（1）猜想该检测点检测的人数m关于t的函数表达式，并说明理由；
（2）几小时后所有人可以完成检测？
（3）因准备需要，排队2小时才开始检测，排队等候检测人数最多时有多少人？
9．鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．2018年年底小张的“熟客”们共向小张采购了5000箱鱼卷，到2020年底“熟客”们采购了7200箱．
（1）求小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率；
（2）2020年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的，由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为15元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调1至5元，且每下调1元销售量可增加1000箱，求小张在今年年底能获得的最大利润是多少元？
10．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克） 30 35 40 45 60
日销售量p（千克） 600 450 300 150 0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
11．某校数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小明与其他两位同学交流的情况：
小明：据调查，该商品的进价为12元/件．
小亮：该商品定价为20元时，每天可售240件；
小颖：在定价为20元的基础上，每涨价1元，每天少售10件．
根据他们的对话，解决下列问题：
（1）若销售该商品每天能获利2470元，则该商品的定价应为多少元？
（2）设该商品的销售单价为m元时，每天销售该商品可获利W元，若每件商品销售单价不高于26元，则销售单价定为多少元时每天获利最大？最大利润是多少元？
12．如图，正方形ABCD的边长为6cm，P，Q两动点同时从点C出发，点P沿CB→BA以3cm/s的速度向终点A匀速运动，点Q沿CD→DB以2cm/s的速度向点B匀速运动，当点P到达终点A时，点Q同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）填空：点P的运动时间为 s；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
13．云南有着复杂的自然地理条件，十分有利于中药材的生长．某种中药材成本每斤500元某药材公司试销一段时间发现：每周的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足的关系如下表：
x（元/斤） 550 600 650 680
y（斤） 450 400 350 320
（1）请根据表中的数据写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据有关部门规定，该药材售价不允许超过700元．该药材公司每周获利w元，试写w与x之间的函数关系式，并求出药材公司每周的最大利润．
（3）在（2）的条件下，若该药材公司每周获利不少于40000元，试确定销售单价x的取值范围．
14．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，应如何定价才能使利润最大？
15．某水果经销商到我县一生态园采购葡萄，一次性采购葡萄的单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB→BC→CD所示（不包括端点A）．
（1）当500＜x≤1000时，写出y与x之间的函数关系式；
（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，生态园获利最大，最大利润是多少元？
16．2021年10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期间对全区古树名木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂山区共有古树名木300多株，现知树龄最大的古树距今已有2100余年．崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB＝xm．（AB≤AD）
（1）若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
（2）已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为18m．如果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最大面积是多少？
17．某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求w与x之间的函数表达式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多少元？
18．新年前夕，金百超市在销售中发现：某服装平均每天可售出30套，每件盈利45元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．
（1）要想平均每天在销售服装上盈利1750元，那么每套应降价多少元？
（2）商场要想每天获取最大利润，每套应降价多少元？
19．抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫．该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件．设月销量y（件），线下售价x（元）．（12≤x≤24，且x为整数）
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件．
①当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润．
②商家第二个月决定继续捐款支持抗疫，捐款方式变为每卖出一件产品就捐款a元，为使商家线上和线下的月利润最低为700元，则a＝ ．（直接写出答案）
参考答案
1．解：（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0），
把（10，55），（26，39）代入函数解析式得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+65，
∴W＝y（m﹣10）
＝（﹣x+65）（x+20﹣10）
＝﹣x2+55x+650（1≤x≤30，x为整数）．
∴每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式为W＝﹣x2+55x+650（1≤x≤30，x为整数）；
（2）当W＝900时，则﹣x2+55x+650＝900，
解得：x1＝5，x2＝50，
∵1≤x≤30，x为整数，
∴x＝5，
答：当x＝5时，日销售利润为900元；
（3）∵W＝﹣x2+55x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x＝22.5，
∵a＝﹣1＜0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x＝22或x＝23时，W取得最大值，
最大值为：﹣222+55×22+650＝1376或﹣232+55×23+650＝1376，
答：第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为1376元．
2．解：设每件涨价x元，每天获得利润为y元，根据题意得：
y＝（32+x﹣24）（200﹣5x）
＝﹣5x2+160x+1600
＝﹣5（x﹣16）2+2880，
∵﹣5＜0，
∴当x＝16时，y取最大值，最大值是2880元，
答：每件涨价16元时，每天获得利润最大，，所获最大利润是2880元．
3．解：（1）根据题意得：y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+6000．
（2）令y＝6250，则﹣10x2+100x+6000＝6250，
解得x1＝x2＝5，
此时60+x＝60+565（元），
∴当售价为65元时，当天的利润达到6250元．
4．解：（1）由题意可得，
y＝（3﹣x）（50+×25）＝﹣50x2+100x+150，
即y与x的函数表达式是y＝﹣50x2+100x+150；
（2）由（1）知：y＝﹣50x2+100x+150＝﹣50（x﹣1）2+200，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝200，
答：若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价1元销售，最大利润为200元．
5．解：（1）销售该床单每件的利润是（x﹣60）元，
故答案为：（x﹣60）；
（2）由题意可设每月的销量w（件）与售价x（元）的函数解析式为w＝kx+b，
把x＝100，w＝200和x＝110，w＝180代入解析式得：，
解得：，
∴月销量w＝﹣2x+400件；
（3）由题意得，y＝（x﹣60）（﹣2x+400），
即y＝﹣2x2+520x﹣2400＝﹣2（x﹣130）2+9800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝130时，y有最大值，最大值为9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
6．解：（1）设该蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝kx+b，
将（3，5）和（6，3）代入得，
，
解得：，
∴y＝﹣x+7，
当x＝5时，y＝﹣×5+7＝≈3.7，
∴该蔬菜5月份的销售单价为3.7元；
（2）设成本与销售月份之间的关系式为：y＝a（x﹣6）2+1，
把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，
解得a＝，
∴y＝（x﹣6）2+1，即y＝x2﹣4x+13，
当x＝4时，y＝≈2.3，
∴该蔬菜4月份每千克的成本为2.3元；
（3）设销售每千克蔬菜的收益为w元，
根据题意得：w＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）＝＝﹣（x﹣5）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝5时，w有最大值，最大值为≈2.3，
∴5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，每千克的最大收益是2.3元．
7．解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：40﹣2400÷120＝20（元），
∴每件进价 20元；
设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得，
解得：k＝﹣2，b＝100，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；
故答案为：20，y＝﹣2x+200；
（2）由题意，得w＝（﹣2x+200）（x﹣20）＝﹣2x2+240x﹣4000＝﹣2（x﹣60）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝60时，w有最大值，最大值为3200，
∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣4）（﹣2x+200）＝﹣2x2+248x﹣4800＝﹣2（x﹣62）2+2888，
∵﹣2＜0，对称轴为x＝62，24≤x≤m，
∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为﹣2m2+248m﹣4800，
当m≥62时，周销售最大利润为2888元．
8．解：（1）当t＝1时，m＝40＝40×12，
当t＝2时，m＝160＝40×22，
当t＝3时，m＝360＝40×32，
当t＝4时，m＝640＝40×42，
∴m＝40t2；
（2）将m＝1000代入m＝40t2，得1000＝40t2，
解得t＝5，
故5小时后所有人可以完成检测；
（3）检测t小时后检测处有w人，
由题意得：w＝200×2++200t﹣40t2，
＝﹣40（t﹣）2+150，
当t＝时，w最大，最大为150，
故排队等候检测人数最多时有150人．
9．解：（1）设小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a，
则5000（1+a）2＝7200，
整理得：（1+a）2＝，
解得：x1＝20%．x2＝﹣（负根不合题意舍去），
答：小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为20%；
（2）∵2020年底小张熟客们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的，
∴2020年小张年总销量为：7200÷＝9000 （箱），
设今年总利润为w元，价格下调x元，
则w＝（15﹣x）（9000+1000x）＝﹣1000x2+6000x+135000＝﹣1000（x﹣3）2+144000，
∵a＝﹣1000＜0，1≤x≤5，
∴当x＝3时，w有最大值，最大值为14400，
所以小张在今年年底能获得的最大利润是144000元．
10．解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，
则，
解得：k＝﹣30，b＝1500，
∴p＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；
（2）设日销售利润w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30）
即w＝﹣30x2+2400x﹣45000＝﹣30（x﹣40）2+3000，
∵﹣30＜0，
∴当x＝40时，w有最大值，最大值为3000，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大．
11．解：（1）设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，
根据题意得：（x﹣12）[240﹣10（x﹣20）]＝2470，
整理得：x2﹣56x+775＝0，
解得x1＝25，x2＝31，
∴该商品的定价应为22元或24元；
（2）由题意得：W＝（m﹣12）[240﹣10（m﹣20）]＝﹣10m2+560m﹣5280＝﹣10（m﹣28）2+2560，
∵﹣10＜0，
∴当m＜28时，W随x的增大而增大，
∵每件商品销售单价不高于26元，
∴m≤26，
∴当m＝26时，W最大，最大值为2520，
∴该商品的销售单价定为26元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是2520元．
12．解：（1）∵正方形ABCD的边长为6cm，
∴AB＝BC＝6cm，
∴（6+6）÷3＝4s，
∴点P的运动时间为4s，
故答案为：4；
（2）分三种情况：
当0＜t≤2时，如图：
由题意得：
CP＝3t，CQ＝2t，
∴S＝CP CQ
＝ 3t 2t
＝3t2，
当2＜t≤3时，如图：
由题意得：
CQ＝2t，
∴S＝CB CQ
＝×6 2t
＝6t，
当3＜t≤4时，如图：
过点Q作QH⊥CD，垂足为H，过点Q作QE⊥AD，垂足为E，连接AQ，
由题意得：BP＝3t﹣6，DQ＝2t﹣6，AP＝12﹣3t，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
∴QH＝（2t﹣6）×＝t﹣3，
QE＝（2t﹣6）×＝t﹣3，
∴QE＝DE＝t﹣3，
∴AE＝AD﹣DE＝6﹣t+3，
∴S＝正方形ABCD的面积﹣△CQD的面积﹣△AQD的面积﹣△APQ的面积
＝36﹣CD QH﹣AD QE﹣AP AE
＝36﹣×6×（t﹣3）﹣×6×（t﹣3）﹣ （12﹣3t） （6﹣t+3）
＝﹣t2+t+18，
综上所述：S＝．
13．解：（1）由表中数据可知y与x满足一次函数，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+1000；
（2）w＝（x﹣500）（﹣x+1000）＝﹣x2+1500x﹣500000＝﹣（x﹣750）2+62500，
∵﹣1＜0，x≤700，
∴当x＝700时，w取得最大值，最大值为60000，
∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣x2+1500x﹣500000，药材公司每周的最大利润为60000元；
（3）当w＝40000时，﹣（x﹣750）2+62500＝40000，
解得：x＝900或x＝600，
∵a＝﹣1，
∴600≤x≤700，
∴销售单价x的取值范围为600≤x≤700．
14．解：设最大利润为w元，
则w＝（x﹣30）（100﹣x）＝﹣（x﹣65）2+1225，
∵﹣1＜0，0＜x＜100，
∴当x＝65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
15．解：（1）设当500＜x≤1000时，y与x之间的函数关系式为：y＝ax+b，
∵BC段过点（500，30）和点（1000，20），
∴，
解得，，
∴当500＜x≤1000时，y与x之间的函数关系式为：y＝﹣0.02x+40；
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤500时，W＝（30﹣8）x＝22x，
∵22＞0，
∴当x＝500时，W有最大值11000元；
当500＜x≤1000时，
W＝（y﹣8）x＝（﹣0.02x+32）x＝﹣0.02x2+32x＝﹣0.02（x﹣800）2+12800，
∵﹣0.02＜0，
∴当x＝800时，W有最大值为12800元，
综上所述，一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元．
16．解：（1）∵AB＝xm，则BC＝（50﹣x）m，
∴x（50﹣x）＝600，
解得：x1＝20，x2＝30，
答：x的值为20或30；
（2）∵AB＝xm，BC＝（50﹣x）m，
∴S＝x（50﹣x）＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣25）2+625，
∵在O处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是18m和10m，
∵50﹣18＝32，
∴10≤x≤32，
∴当x＝25时，S取到最大值为625，
答：矩形面积S的最大值为625平方米．
17．解：（1）根据题意得，y＝50﹣5（x﹣20）＝﹣5x+150，
即y＝﹣5x+150（x≥20）；
（2）根据题意得，w＝（x﹣18）（﹣5x+150）＝﹣5x2+240x﹣2700，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣5x2+240x﹣2700，
∵w＝﹣5x2+240x﹣2700＝﹣5（x﹣24）2+180，
且﹣5＜0，
∴当x＝24时，w有最大值，最大值为180，
答：w与x之间的函数关系式为：w＝﹣5x2+240x﹣2700，该水果售价为每千克24元时，每天的销售利润最大，最大值为180元；
（3）由题意得，﹣5x+150≥40，
解得：x≤22，
∵w＝﹣5（x﹣24）2+180，
∴当x≤24时，w随x的增大而增大，
∴当x＝22时，w有最大值，最大值为：w＝﹣5×（22﹣24）2+180＝160，
答：商家每天销售利润的最大值是160元．
18．解：（1）设每套应降价m元，
由题意得（45﹣m）（30+2x）＝1750，
解得m1＝10，m2＝20，
∵尽快减少库存，
∴m＝20，
答：每套应降价20元；
（2）设每件衬衫应降价x元，总利润为w元，
根据题意得：w＝（45﹣x）（30+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1800，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w最大＝1800，
答：商场要想每天获取最大利润，每套应降价15元，最大利润为1800元．
19．解：（1）根据题意得：y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+2400；
（2）①设线上和线下的月利润总和为w元，则
w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10）
＝500x﹣6000+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100x2+3900x﹣30000，
＝﹣100（x﹣）2+8025，
∵﹣100＜0，12≤x≤24，且x为整数，
∴当x＝19或20时，w有最大值，最大值为8000，
∴当x为19或20时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为8000元；
②设商家线上和线下的月利润总和为w元，
根据题意得，w＝500（x﹣2﹣10﹣a）+（x﹣10﹣a）（﹣100x+2400），
即w＝﹣100x2+（3900+100a）x﹣30000﹣2900a，
∵﹣100＜0，抛物线开口向下，
∴x＝＝，
当x＝12，w取最小值为700时，700＝﹣100×122+12×3900+12×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝1，
此时抛物线对称轴为直线x＝＝20，
20﹣12＞24﹣20，满足题意．
当x＝24，w取最小值为700时，700＝﹣100×242+3900×24+24×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝10.6，
此时抛物线对称轴为直线x＝＝24.8，
24.8﹣24＞24.8﹣12，不满足题意．
故答案为：1．
商品销售利润问题解答题专题训练（附答案）
1．某超市购进一批时令水果，成本为10元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m（元/千克）与时间x（天）之间的函数关系式为m＝x+20（1≤x≤30，x为整数），且其日销售量y（千克）与时间x（天）之间的函数关系如图所示：
（1）求每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式；
（2）求x为何值时，日销售利润为900元；
（3）直接写出哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少元？
2．已知某商品的进价为每件24元，现在售价为每件32元，每天可售出200件．经市场调查发现：若该商品每件涨价1元，则每天就会少卖5件．
那么每件涨价多少元时每天获得利润最大？所获最大利润是多少元？
3．某商品的进价是每件40元，当售价每件60元时，当天可售出300件．进行不同程度的涨价后，发现每涨价1元，当天销售量减少10件．设商品售价每件涨价x元（x为正整数）时，当天售出商品的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如何定价，才能使商品当天的销售利润达到6250元？
4．李大爷每年春节期间都会购进一批新年红包销售，根据往年的销售经验，这种红包平均每天可销售50袋，每袋盈利3元，若每袋降价0.5元，平均每天可多售出25袋，设每袋降x元，平均每天的利润为y元．
（1）请求出y与x的函数表达式；
（2）若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价多少元销售？最大利润为多少元？
5．已知某品牌床单进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）的相关信息如表（符合一次函数关系）：
售价（元/件） 100 110 120 130 …
月销售量（件） 200 180 160 140 …
（Ⅰ）销售该品牌床单每件的利润是 元（用含x的式子表示）；
（Ⅱ）用含x的代数式表示月销量y；
（Ⅲ）设销售该品牌床单的月利润为w元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？
6．某种蔬菜在3﹣6月份的销售单价与销售月份之间的关系如图（甲）所示，成本与销售月份之间的关系如图（乙）所示．（图（甲）中4个点在一条直线上，图（乙）中的4个点在一条抛物线上）
（1）求该蔬菜5月份的销售单价．（精确到0.1元）
（2）求该蔬菜4月份每千克的成本．（精确到0.1元）
（3）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？每千克的最大收益是多少元？（收益＝售价﹣成本）
7．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：
售价x（元/件） 40 50
周销售量y（件） 120 100
周销售利润w（元） 2400 3000
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）每件商品的进价为 元/件，y与x的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当每件商品售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．
8．疫情期间，某核酸检测点要检测1000人，排队前来检测的人数y与时间x（小时）之间符合函数表达式：y＝200x（x≤5）该检测点实际检测的人数m与时间t（小时）统计如下表所示：
t 0 1 2 3 4 …
m 0 40 160 360 640 …
（1）猜想该检测点检测的人数m关于t的函数表达式，并说明理由；
（2）几小时后所有人可以完成检测？
（3）因准备需要，排队2小时才开始检测，排队等候检测人数最多时有多少人？
9．鱼卷是泉州十大名小吃之一，不但本地人喜欢，还深受外来游客的赞赏．小张从事鱼卷生产和批发多年，有着不少来自零售商和酒店的客户，当地的习俗是农历正月没有生产鱼卷，客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购．2018年年底小张的“熟客”们共向小张采购了5000箱鱼卷，到2020年底“熟客”们采购了7200箱．
（1）求小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率；
（2）2020年底小张“熟客”们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的，由于鱼卷受到游客们的青睐，小张做了一份市场调查，决定今年年底是否在网上出售鱼卷，若没有在网上出售鱼卷，则按去年的价格出售，每箱利润为15元，预计销售量与去年持平；若计划在网上出售鱼卷，则需把每箱售价下调1至5元，且每下调1元销售量可增加1000箱，求小张在今年年底能获得的最大利润是多少元？
10．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克） 30 35 40 45 60
日销售量p（千克） 600 450 300 150 0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
11．某校数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小明与其他两位同学交流的情况：
小明：据调查，该商品的进价为12元/件．
小亮：该商品定价为20元时，每天可售240件；
小颖：在定价为20元的基础上，每涨价1元，每天少售10件．
根据他们的对话，解决下列问题：
（1）若销售该商品每天能获利2470元，则该商品的定价应为多少元？
（2）设该商品的销售单价为m元时，每天销售该商品可获利W元，若每件商品销售单价不高于26元，则销售单价定为多少元时每天获利最大？最大利润是多少元？
12．如图，正方形ABCD的边长为6cm，P，Q两动点同时从点C出发，点P沿CB→BA以3cm/s的速度向终点A匀速运动，点Q沿CD→DB以2cm/s的速度向点B匀速运动，当点P到达终点A时，点Q同时停止运动．设点P的运动时间为t（s），△CPQ的面积为S（cm2）．
（1）填空：点P的运动时间为 s；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
13．云南有着复杂的自然地理条件，十分有利于中药材的生长．某种中药材成本每斤500元某药材公司试销一段时间发现：每周的销售量y（斤）与销售单价x（元/斤）满足的关系如下表：
x（元/斤） 550 600 650 680
y（斤） 450 400 350 320
（1）请根据表中的数据写出y与x之间的函数关系式；
（2）根据有关部门规定，该药材售价不允许超过700元．该药材公司每周获利w元，试写w与x之间的函数关系式，并求出药材公司每周的最大利润．
（3）在（2）的条件下，若该药材公司每周获利不少于40000元，试确定销售单价x的取值范围．
14．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，应如何定价才能使利润最大？
15．某水果经销商到我县一生态园采购葡萄，一次性采购葡萄的单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB→BC→CD所示（不包括端点A）．
（1）当500＜x≤1000时，写出y与x之间的函数关系式；
（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，生态园获利最大，最大利润是多少元？
16．2021年10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期间对全区古树名木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂山区共有古树名木300多株，现知树龄最大的古树距今已有2100余年．崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB＝xm．（AB≤AD）
（1）若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
（2）已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为18m．如果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的矩形的最大面积是多少？
17．某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求w与x之间的函数表达式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多少元？
18．新年前夕，金百超市在销售中发现：某服装平均每天可售出30套，每件盈利45元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．
（1）要想平均每天在销售服装上盈利1750元，那么每套应降价多少元？
（2）商场要想每天获取最大利润，每套应降价多少元？
19．抗疫期间，全国人民众志成城，温州某商家决定将一个月的利润全部捐给当地医疗机构用于抗疫．该商家购进一批产品，成本10元/件，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为12元时，月销量1200件，售价每增加1元，月销量减少100件．设月销量y（件），线下售价x（元）．（12≤x≤24，且x为整数）
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上月销量固定为500件．
①当售价x为多少时，线上和线下的月利润总和最大？并求出最大利润．
②商家第二个月决定继续捐款支持抗疫，捐款方式变为每卖出一件产品就捐款a元，为使商家线上和线下的月利润最低为700元，则a＝ ．（直接写出答案）
参考答案
1．解：（1）由题意设销售数量y＝kx+b（k≠0），
把（10，55），（26，39）代入函数解析式得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+65，
∴W＝y（m﹣10）
＝（﹣x+65）（x+20﹣10）
＝﹣x2+55x+650（1≤x≤30，x为整数）．
∴每天销售这种水果的利润W（元）与x（天）之间的函数关系式为W＝﹣x2+55x+650（1≤x≤30，x为整数）；
（2）当W＝900时，则﹣x2+55x+650＝900，
解得：x1＝5，x2＝50，
∵1≤x≤30，x为整数，
∴x＝5，
答：当x＝5时，日销售利润为900元；
（3）∵W＝﹣x2+55x+650，
∴抛物线的对称轴为直线x＝22.5，
∵a＝﹣1＜0，1≤x≤30，x为整数，
∴当x＝22或x＝23时，W取得最大值，
最大值为：﹣222+55×22+650＝1376或﹣232+55×23+650＝1376，
答：第22或23天销售这种水果的利润最大，最大日销售利润为1376元．
2．解：设每件涨价x元，每天获得利润为y元，根据题意得：
y＝（32+x﹣24）（200﹣5x）
＝﹣5x2+160x+1600
＝﹣5（x﹣16）2+2880，
∵﹣5＜0，
∴当x＝16时，y取最大值，最大值是2880元，
答：每件涨价16元时，每天获得利润最大，，所获最大利润是2880元．
3．解：（1）根据题意得：y＝（60+x﹣40）（300﹣10x）
＝﹣10x2+100x+6000．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x2+100x+6000．
（2）令y＝6250，则﹣10x2+100x+6000＝6250，
解得x1＝x2＝5，
此时60+x＝60+565（元），
∴当售价为65元时，当天的利润达到6250元．
4．解：（1）由题意可得，
y＝（3﹣x）（50+×25）＝﹣50x2+100x+150，
即y与x的函数表达式是y＝﹣50x2+100x+150；
（2）由（1）知：y＝﹣50x2+100x+150＝﹣50（x﹣1）2+200，
∴当x＝1时，y取得最大值，此时y＝200，
答：若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价1元销售，最大利润为200元．
5．解：（1）销售该床单每件的利润是（x﹣60）元，
故答案为：（x﹣60）；
（2）由题意可设每月的销量w（件）与售价x（元）的函数解析式为w＝kx+b，
把x＝100，w＝200和x＝110，w＝180代入解析式得：，
解得：，
∴月销量w＝﹣2x+400件；
（3）由题意得，y＝（x﹣60）（﹣2x+400），
即y＝﹣2x2+520x﹣2400＝﹣2（x﹣130）2+9800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝130时，y有最大值，最大值为9800，
∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
6．解：（1）设该蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝kx+b，
将（3，5）和（6，3）代入得，
，
解得：，
∴y＝﹣x+7，
当x＝5时，y＝﹣×5+7＝≈3.7，
∴该蔬菜5月份的销售单价为3.7元；
（2）设成本与销售月份之间的关系式为：y＝a（x﹣6）2+1，
把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，
解得a＝，
∴y＝（x﹣6）2+1，即y＝x2﹣4x+13，
当x＝4时，y＝≈2.3，
∴该蔬菜4月份每千克的成本为2.3元；
（3）设销售每千克蔬菜的收益为w元，
根据题意得：w＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）＝＝﹣（x﹣5）2+，
∵﹣＜0，
∴当x＝5时，w有最大值，最大值为≈2.3，
∴5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大，每千克的最大收益是2.3元．
7．解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：40﹣2400÷120＝20（元），
∴每件进价 20元；
设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得，
解得：k＝﹣2，b＝100，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；
故答案为：20，y＝﹣2x+200；
（2）由题意，得w＝（﹣2x+200）（x﹣20）＝﹣2x2+240x﹣4000＝﹣2（x﹣60）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝60时，w有最大值，最大值为3200，
∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣4）（﹣2x+200）＝﹣2x2+248x﹣4800＝﹣2（x﹣62）2+2888，
∵﹣2＜0，对称轴为x＝62，24≤x≤m，
∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为﹣2m2+248m﹣4800，
当m≥62时，周销售最大利润为2888元．
8．解：（1）当t＝1时，m＝40＝40×12，
当t＝2时，m＝160＝40×22，
当t＝3时，m＝360＝40×32，
当t＝4时，m＝640＝40×42，
∴m＝40t2；
（2）将m＝1000代入m＝40t2，得1000＝40t2，
解得t＝5，
故5小时后所有人可以完成检测；
（3）检测t小时后检测处有w人，
由题意得：w＝200×2++200t﹣40t2，
＝﹣40（t﹣）2+150，
当t＝时，w最大，最大为150，
故排队等候检测人数最多时有150人．
9．解：（1）设小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为a，
则5000（1+a）2＝7200，
整理得：（1+a）2＝，
解得：x1＝20%．x2＝﹣（负根不合题意舍去），
答：小张的“熟客“们这两年向小张采购鱼卷的年平均增长率为20%；
（2）∵2020年底小张熟客们采订购鱼卷的数量占小张年底总销售量的，
∴2020年小张年总销量为：7200÷＝9000 （箱），
设今年总利润为w元，价格下调x元，
则w＝（15﹣x）（9000+1000x）＝﹣1000x2+6000x+135000＝﹣1000（x﹣3）2+144000，
∵a＝﹣1000＜0，1≤x≤5，
∴当x＝3时，w有最大值，最大值为14400，
所以小张在今年年底能获得的最大利润是144000元．
10．解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，
则，
解得：k＝﹣30，b＝1500，
∴p＝﹣30x+1500，
检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；
（2）设日销售利润w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30）
即w＝﹣30x2+2400x﹣45000＝﹣30（x﹣40）2+3000，
∵﹣30＜0，
∴当x＝40时，w有最大值，最大值为3000，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大．
11．解：（1）设每件商品定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣12）元，
根据题意得：（x﹣12）[240﹣10（x﹣20）]＝2470，
整理得：x2﹣56x+775＝0，
解得x1＝25，x2＝31，
∴该商品的定价应为22元或24元；
（2）由题意得：W＝（m﹣12）[240﹣10（m﹣20）]＝﹣10m2+560m﹣5280＝﹣10（m﹣28）2+2560，
∵﹣10＜0，
∴当m＜28时，W随x的增大而增大，
∵每件商品销售单价不高于26元，
∴m≤26，
∴当m＝26时，W最大，最大值为2520，
∴该商品的销售单价定为26元时，每天销售获得的利润最大，最大利润是2520元．
12．解：（1）∵正方形ABCD的边长为6cm，
∴AB＝BC＝6cm，
∴（6+6）÷3＝4s，
∴点P的运动时间为4s，
故答案为：4；
（2）分三种情况：
当0＜t≤2时，如图：
由题意得：
CP＝3t，CQ＝2t，
∴S＝CP CQ
＝ 3t 2t
＝3t2，
当2＜t≤3时，如图：
由题意得：
CQ＝2t，
∴S＝CB CQ
＝×6 2t
＝6t，
当3＜t≤4时，如图：
过点Q作QH⊥CD，垂足为H，过点Q作QE⊥AD，垂足为E，连接AQ，
由题意得：BP＝3t﹣6，DQ＝2t﹣6，AP＝12﹣3t，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，
∴QH＝（2t﹣6）×＝t﹣3，
QE＝（2t﹣6）×＝t﹣3，
∴QE＝DE＝t﹣3，
∴AE＝AD﹣DE＝6﹣t+3，
∴S＝正方形ABCD的面积﹣△CQD的面积﹣△AQD的面积﹣△APQ的面积
＝36﹣CD QH﹣AD QE﹣AP AE
＝36﹣×6×（t﹣3）﹣×6×（t﹣3）﹣ （12﹣3t） （6﹣t+3）
＝﹣t2+t+18，
综上所述：S＝．
13．解：（1）由表中数据可知y与x满足一次函数，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+1000；
（2）w＝（x﹣500）（﹣x+1000）＝﹣x2+1500x﹣500000＝﹣（x﹣750）2+62500，
∵﹣1＜0，x≤700，
∴当x＝700时，w取得最大值，最大值为60000，
∴w与x之间的函数关系式为w＝﹣x2+1500x﹣500000，药材公司每周的最大利润为60000元；
（3）当w＝40000时，﹣（x﹣750）2+62500＝40000，
解得：x＝900或x＝600，
∵a＝﹣1，
∴600≤x≤700，
∴销售单价x的取值范围为600≤x≤700．
14．解：设最大利润为w元，
则w＝（x﹣30）（100﹣x）＝﹣（x﹣65）2+1225，
∵﹣1＜0，0＜x＜100，
∴当x＝65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
15．解：（1）设当500＜x≤1000时，y与x之间的函数关系式为：y＝ax+b，
∵BC段过点（500，30）和点（1000，20），
∴，
解得，，
∴当500＜x≤1000时，y与x之间的函数关系式为：y＝﹣0.02x+40；
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤500时，W＝（30﹣8）x＝22x，
∵22＞0，
∴当x＝500时，W有最大值11000元；
当500＜x≤1000时，
W＝（y﹣8）x＝（﹣0.02x+32）x＝﹣0.02x2+32x＝﹣0.02（x﹣800）2+12800，
∵﹣0.02＜0，
∴当x＝800时，W有最大值为12800元，
综上所述，一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元．
16．解：（1）∵AB＝xm，则BC＝（50﹣x）m，
∴x（50﹣x）＝600，
解得：x1＝20，x2＝30，
答：x的值为20或30；
（2）∵AB＝xm，BC＝（50﹣x）m，
∴S＝x（50﹣x）＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣25）2+625，
∵在O处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是18m和10m，
∵50﹣18＝32，
∴10≤x≤32，
∴当x＝25时，S取到最大值为625，
答：矩形面积S的最大值为625平方米．
17．解：（1）根据题意得，y＝50﹣5（x﹣20）＝﹣5x+150，
即y＝﹣5x+150（x≥20）；
（2）根据题意得，w＝（x﹣18）（﹣5x+150）＝﹣5x2+240x﹣2700，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣5x2+240x﹣2700，
∵w＝﹣5x2+240x﹣2700＝﹣5（x﹣24）2+180，
且﹣5＜0，
∴当x＝24时，w有最大值，最大值为180，
答：w与x之间的函数关系式为：w＝﹣5x2+240x﹣2700，该水果售价为每千克24元时，每天的销售利润最大，最大值为180元；
（3）由题意得，﹣5x+150≥40，
解得：x≤22，
∵w＝﹣5（x﹣24）2+180，
∴当x≤24时，w随x的增大而增大，
∴当x＝22时，w有最大值，最大值为：w＝﹣5×（22﹣24）2+180＝160，
答：商家每天销售利润的最大值是160元．
18．解：（1）设每套应降价m元，
由题意得（45﹣m）（30+2x）＝1750，
解得m1＝10，m2＝20，
∵尽快减少库存，
∴m＝20，
答：每套应降价20元；
（2）设每件衬衫应降价x元，总利润为w元，
根据题意得：w＝（45﹣x）（30+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1800，
∴当x＝15时，w取得最大值，此时w最大＝1800，
答：商场要想每天获取最大利润，每套应降价15元，最大利润为1800元．
19．解：（1）根据题意得：y＝1200﹣100（x﹣12）＝﹣100x+2400，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣100x+2400；
（2）①设线上和线下的月利润总和为w元，则
w＝500（x﹣10﹣2）+y（x﹣10）
＝500x﹣6000+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100x2+3900x﹣30000，
＝﹣100（x﹣）2+8025，
∵﹣100＜0，12≤x≤24，且x为整数，
∴当x＝19或20时，w有最大值，最大值为8000，
∴当x为19或20时，线上和线下的月利润总和达到最大，最大利润为8000元；
②设商家线上和线下的月利润总和为w元，
根据题意得，w＝500（x﹣2﹣10﹣a）+（x﹣10﹣a）（﹣100x+2400），
即w＝﹣100x2+（3900+100a）x﹣30000﹣2900a，
∵﹣100＜0，抛物线开口向下，
∴x＝＝，
当x＝12，w取最小值为700时，700＝﹣100×122+12×3900+12×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝1，
此时抛物线对称轴为直线x＝＝20，
20﹣12＞24﹣20，满足题意．
当x＝24，w取最小值为700时，700＝﹣100×242+3900×24+24×100a﹣30000﹣2900a，
解得a＝10.6，
此时抛物线对称轴为直线x＝＝24.8，
24.8﹣24＞24.8﹣12，不满足题意．
故答案为：1．