鲁教版（五四学制）九年级数学上册第3章二次函数同步综合练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四学制）九年级数学上册第3章二次函数同步综合练习题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 527.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-19 21:51:55 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第3章二次函数》
同步综合练习题（附答案）
一．选择题
1．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣6
2．把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣3x+5，则（ ）
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝﹣9，c＝﹣5 D．b＝﹣9，c＝21
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣3，0）、O（1，0）、B（﹣5，y1）、C（5，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
4．在平面直角坐标系中，形如（m，n2）的点涂上红色（其中m、n为整数），称为红点，其余不涂色，那么抛物线y＝x2﹣2x+9上有（ ）个红点．
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（ ）
A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝（x﹣1）2+1上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
11．二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象是由y＝2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝ ，c＝ ．
12．如图，矩形ABCD的长AB＝6cm，宽AD＝3cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y＝ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 cm2．
13．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x＝ ，公共部分面积y最大，y最大值＝ ．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判断：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判断的序号是 ．
三．解答题
15．在如图网格中建立平面直角坐标系，画出函数y＝﹣x2的图象，并回答下列问题
（1）当﹣4≤x≤3时，函数的最大值为 ，最小值为 ．
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值为 ，最小值为 ．
（3）已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最小值为 ，最大值为 ．
16．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；
（2）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值．
17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，点N在直线BC上．试探究：是否存在点M，N，使得OM＝ON，∠MON＝90°同时成立？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点；
（3）图3中，在（1）的条件下，x轴正半轴上有一点B（1，0），M为抛物线C1上在第一象限内的点，若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，直接写出点M的横坐标x的取值范围．
19．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点E，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，是否存在这样的点M与点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且通过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标；
（2）点C为直线AB上方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值；
（3）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB＝45°，求点P坐标．
21．已知m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，将△BCD沿BC所在直线折叠，得到△BCE，点D的对应点点E是否落在抛物线上？若点E落在抛物线上，请求出点E的坐标；若点E不在抛物线上，请说明理由；
（3）点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，若△PBC的面积等于△ABC面积的一半，求点P的坐标．
22．设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点 C．且∠ACB＝90°．
（1）求抛物线的解析式
（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选：C．
2．解：y＝x2﹣3x+5＝（x﹣）2+，将其向上平移2个单位，得：y＝（x﹣）2+．
再向左平移3个单位，得：y＝（x+）2+＝x2+3x+7．
因此b＝3，c＝7．
故选：A．
3．解：∵抛物线过A（﹣3，0）、O（1，0）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，
∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，
即y1＞y2．
故选：A．
4．解：∵设点（m，n2）是抛物线y＝x2﹣2x+9上的一个红点，则n2＝m2﹣2m+9，即n2﹣（m﹣1）2＝8，
∴（n﹣m+1）（n+m﹣1）＝8，
∵m、n为整数，且n﹣m与n+m的奇偶性相同，
∴n﹣m+1＝2，n+m﹣1＝4或n﹣m+1＝4，n+m﹣1＝2或n﹣m+1＝﹣2，n+m﹣1＝﹣4或n﹣m+1＝﹣4，n+m﹣1＝﹣2，
解得或或或，
∴这样的点为（2，9）或（0，9）
∴抛物线y＝x2﹣2x+9上有2个红点．
故选：A．
5．解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．
故选：B．
6．解：过点C作CA⊥y，
∵抛物线y＝＝（x2﹣4x）＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2，
∴顶点坐标为C（2，﹣2），
对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，
故选：B．
7．解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
2.25＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣0.75，
∴y＝﹣（x﹣1）2+3，
当y＝0时，﹣（x﹣1）2+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3，
答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故选：B．
8．解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
故④错误；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
9．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴x＝﹣＞0，
∴ab＜0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故②正确；
③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，
由图可得，m＞2，故③正确．
故选：D．
二．填空题
10．解：
∵AC⊥x轴，
∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，
∵抛物线y＝（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1），
∴AC的最小值为1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∴BD的最小值为1，
故答案为：1．
11．解：把y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
得y＝2（x﹣2）2﹣1＝2x2﹣8x+7，
所以b＝﹣8，c＝7．
12．解：由题意，得：S阴影＝S半圆＝π（）2＝π（cm2）．
13．解：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．
（1）求公共部分是正方形时的面积，
作AD⊥BC于D点，交MN于E点，
∵BC＝6，S△ABC＝12，
∴AD＝4，
∵MN∥BC，
∴即，
解得x＝2.4，
此时面积y＝2.42＝5.76．
（2）当公共部分是矩形时如图所示：
设DE＝a，根据得＝，
所以a＝4﹣x，公共部分的面积y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x，
∵﹣＜0，
∴y有最大值，
当x＝﹣＝3时，y最大值＝＝6．
综上所述，当x＝3时，公共部分的面积y最大，最大值为6．
14．解：由抛物线的性质，当xA＜x＜xB时，y＞0，所以①错误；
因为x1＜1＜x2，所以点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以②正确；
当m＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），C（0，3），
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，
∴E（2，3），
∴DE＝，
作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于x轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），
∴FD＝FD′，GE＝GE′，
∴FD+FG+GE＝FD′+FG+GE′＝D′E′，
∴此时四边形EDFG周长的最小，
而D′E′＝，
∴四边形EDFG周长的最小值为+，所以③错误．
故答案为②．
三．解答题
15．解：如图，
（1）∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），
∴x＝0时，y＝0为函数最大值，
∵0﹣（﹣4）＞3﹣0，
∴x＝﹣4时，y＝﹣16＝﹣8为函数最小值，
故答案为：0，﹣8．
（2）∵x＞0时，y随x增大而减小，
∴x＝1时，函数取最大值为y＝﹣，x＝4时，y取最小值为y＝﹣16＝﹣8，
故答案为：﹣，﹣8．
（3）把x＝t代入y＝﹣x2得y＝﹣t2，
∴A（t，﹣t2），
把x＝t+2代入y＝﹣x2得y＝﹣（t+2）2＝﹣t2﹣2t﹣2，
∴B（t+2，﹣t2﹣2t﹣2），
∴AB＝＝，
∴AB2＝4t2+8t+8＝4（t+1）2+4，
当t＝﹣1时，AB2＝4为最小值，即AB＝2，
当t＝2时，AB2＝40为最大值，即AB＝2，
故答案为：2，2．
16．解：（1）∵min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，
∴3x+1≥﹣x+2，
解得x≥，
即x的取值范围是x≥；
（2），
解得或，
即函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标坐标是（﹣3，1）、（2，﹣4），
直线y＝﹣x﹣2过点（﹣3，1）、（2，﹣4），直线y＝﹣x﹣2的图象如右图所示，
由图象可得，
min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值是1．
17．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，m﹣2），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（﹣，﹣），
∴BD+CF＝3+|﹣|＝，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PE BD+PE CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）×
＝﹣（m﹣）2+，（其中﹣＜m＜3），
∵﹣＜0，
∴这个二次函数有最大值，
∴当m＝时，S△PBC的最大值为；
（3）存在，
①如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵OM＝ON，∠MON＝90°，∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
∴N1（3，0），N2 （，），
②如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵OM＝ON，∠MON＝90°，∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，解得：n1＝，n2＝，
∴N3（，），N4（，﹣）；
综上所述，点N的坐标为N1（3，0），N2 （，），N3（，），N4（，﹣）．
18．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），
∴可设抛物线C1的解析式的顶点式为y＝ax2﹣2，
将点A（﹣2，2）代入得：（﹣2）2a﹣2＝2，
解得a＝1，
故抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2；
（2）由题意得：抛物线C2的解析式为y＝x2﹣2+2，即y＝x2，
设点M、N、P的坐标为M（m，m2），N（n，n2），P（p，p2），
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
将点M（m，m2），N（n，n2）代入得，解得，
则直线MN的解析式为：yMN＝（m+n）x﹣mn，
同理可得：yPM＝（m+p）x﹣mp，yPN＝（p+n）x﹣pn，
∵直线PM为动直线y＝﹣4x+e，
∴m+p＝﹣4，
∴p＝﹣4﹣m，
∴yPN＝（p+n）x﹣pn＝（﹣4﹣m+n）x﹣（﹣4﹣m）n，
即：yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n+mn）
又∵点A在直线MN上，
∴﹣2（m+n）﹣mn＝2，
∴mn＝﹣2m﹣2n﹣2，
∴yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n﹣2m﹣2n﹣2），
即：yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（2n﹣2m﹣2），
当x＝﹣2时，yPN＝﹣2（﹣4﹣m+n）+（2n﹣2m﹣2）＝6，
即无论m取何值，直线PN恒过定点（﹣2，6）；
（3）过B点作BD⊥AB，取BD＝2AB，作AE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F；
∵A（﹣2，2），B（1，0），
∴AB＝＝，sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∵∠DBF+∠ABE＝90°，∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠BDF＝∠ABE，
∴BF＝BD sin∠BDF＝2×＝4，DF＝BD cos∠BDF＝2×＝6，
∴OF＝OB+BF＝6，
∴D点坐标为（5，6），
∴直线AD解析式为：，
当时，
解得：x1＝﹣2，，
即tan∠MAB＝2时，点M的横坐标为
作AG垂直AB交抛物线C1与M2点，
∴，
即G点坐标为，
∴直线AG解析式为：，
当时，x1＝﹣2，，
即∠MAB＝90°时，当M的横坐标为，
综上所述：若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，M的横坐标x的取值范围为：．
19．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、C（0，﹣8），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；
（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
在抛物线y＝x2﹣2x﹣8中，令y＝0，则x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝4或x2＝﹣2，
∴B（4，0）．
由点B（4，0）和C（0，﹣8），可得直线BC的解析式为y＝2x﹣8．
设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣8），则点F的坐标为（n，2n﹣8），
由题知0＜n＜4，
∴PF＝（2n﹣8）﹣（n2﹣2n﹣8）
＝﹣n2+4n．
∵S△PBC＝S△PBF+S△CPF＝OB PF
＝×4×（﹣n2+4n）
＝﹣2n2+8n
＝﹣2（n﹣2）2+8．
∵0＜2＜4，
∴当n＝2时，S△PBC取得最大值，
此时，点P的坐标为（2，﹣8）；
（3）存在这样的点M，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∴D（1，﹣9）．
将x＝1代入直线BC的解析式y＝2x﹣8，得y＝﹣6，
∴E（1，﹣6），
由点C（0，﹣8）和D（1，﹣9），可得直线CD的解析式为y＝﹣x﹣8．
设点M的坐标为（m，﹣m﹣8）．
当EM＝BM时，如图2﹣1，
（m﹣1）2+（m+2）2＝（m﹣4）2+（m+8）2，
解得：m＝﹣，
∴点M的坐标为（，）．
当EM＝EB时，如图2﹣3，
∴（m﹣1）2+（m+2）2＝（4﹣1）2+62，
解得：m1＝﹣5或m2＝4，
∴点M的坐标为（﹣5，﹣3）或（4，﹣12）．
综上所述，存在满足条件的点M有三个，其坐标为M1（，），M2（﹣5，﹣3），M3（4，﹣12）．
20．解：（1）把B（3，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+m2得：﹣3＝﹣32+3m+m2，
解得m＝2，
∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴顶点A的坐标是（1，1）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（1，1）和B（3，﹣3）代入得，，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3，
故设C（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣2n+3），
∴CQ＝﹣n2+2n﹣（﹣2n+3）＝﹣n2+4n﹣3，
∴S△ABC＝（﹣n2+4n﹣3）（n﹣1+3﹣n）＝﹣（n﹣2）2+1，
当n＝2时，S△ABC的最大值为1；
（3）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴，
分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，
∠AGB＝∠ABQ＝∠BHQ＝90°，
∴∠ABG＝∠BQH．
∵∠PAB＝45°，
∴BA＝BQ．
在△ABG和△BQH中，
，
∴△ABG≌△BQH（AAS），
∴AG＝BH＝3﹣1＝2，BG＝QH＝1﹣（﹣3）＝4，
∴Q（﹣1，﹣5），
∴直线AP的解析式为y＝3x﹣2，
联立抛物线与AP，得﹣x2+2x＝3x﹣2，
∴x1＝1（不符合题意的解要舍去），x2＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣8）．
21．解（1）∵x2+4x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∵m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，
∴m＝﹣1，n＝﹣3，
∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴C（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标D（1，﹣4），
过点D作DE⊥y轴，
∵OB＝OC＝3，
∴BE＝DE＝1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
∵点E和点D关于直线BC对称，
∴BE＝BD，
∵∠CBD＝90°，
∴∠CBE＝90°，
即D，B，E三点共线，点B是DE的中点，
∵B（0，﹣3），D（1，﹣4），
根据中点坐标公式得，E（﹣1，﹣2），
把E的横坐标x＝﹣1代入y＝x2﹣2x﹣3得，y＝1+2﹣3＝0≠﹣2，
∴点E不在抛物线上；
（3）由（1）知，A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0），
∴S△ABC＝AC OB＝×4×3＝6，
∵△PBC的面积等于△ABC面积的一半，
∴S△PBC＝3，
∵点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，
∴设P（t，t2﹣2t﹣3），（0＜t＜3），
由B（0，﹣3），C（3，0）得yBC＝x﹣3，
作PG∥y轴交直线BC于G，则G（t，t﹣3），
∴PG＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S△PBC＝PG OC＝（﹣t2+3t）×3＝3，
∴t1＝1，t2＝2，
把t1＝1，t2＝2分别代入t2﹣2t﹣3得，
P（1，﹣4）或（2，﹣3）．
22．解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA OB＝OC2
∴OB＝＝＝4，
∴m＝4，
∴B（4，0），
将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）解得，，，
∴E（6，7），
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
∴AH＝EH＝7，
∴∠EAH＝45°，
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），
∴BF＝DF＝3
∴∠DBF＝45°，
∴∠EAH＝∠DBF＝45°，
∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP1∽△BAE，则＝，
∴BP1＝＝＝
∴OP1＝4﹣＝，
∴P1（，0）；
②若△DBP2∽△BAE，则＝，
∴BP2＝＝＝
∴OP2＝﹣4＝，
∴P2（﹣，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P1（，0）或P2（﹣，0）．
23．解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B，C（0，3）三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3；
（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∵抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），
又∵MN⊥x轴，
∴N（m，﹣m2+2m+3），
∴MN＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；
（3）存在，
S△BNC＝S△CMN+S△MNB＝|MN| |OB|，
∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，
MN＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，MN的有最大值为，
所以当m＝时，△BNC的面积最大，点M的坐标（，）．
同步综合练习题（附答案）
一．选择题
1．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣6
2．把抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣3x+5，则（ ）
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3 C．b＝﹣9，c＝﹣5 D．b＝﹣9，c＝21
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣3，0）、O（1，0）、B（﹣5，y1）、C（5，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．不能确定
4．在平面直角坐标系中，形如（m，n2）的点涂上红色（其中m、n为整数），称为红点，其余不涂色，那么抛物线y＝x2﹣2x+9上有（ ）个红点．
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个
5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+2b（ab≠0）的图象大致如图（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得到抛物线y＝x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（ ）
A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝（x﹣1）2+1上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．
11．二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象是由y＝2x2+bx+c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝ ，c＝ ．
12．如图，矩形ABCD的长AB＝6cm，宽AD＝3cm．O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO与OB．抛物线y＝ax2经过C、D两点，则图中阴影部分的面积是 cm2．
13．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x＝ ，公共部分面积y最大，y最大值＝ ．
14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判断：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判断的序号是 ．
三．解答题
15．在如图网格中建立平面直角坐标系，画出函数y＝﹣x2的图象，并回答下列问题
（1）当﹣4≤x≤3时，函数的最大值为 ，最小值为 ．
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值为 ，最小值为 ．
（3）已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最小值为 ，最大值为 ．
16．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{﹣1，﹣1}＝﹣1，min{1，2}＝1，min{4，﹣3}＝﹣3，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）若min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，求x的取值范围；
（2）求函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标，函数y＝﹣x2﹣2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y＝﹣x﹣2，并根据图象直接写出min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值．
17．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，点N在直线BC上．试探究：是否存在点M，N，使得OM＝ON，∠MON＝90°同时成立？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（0，﹣2），且经过点A（﹣2，2），动直线l的解析式为：y＝﹣4x+e．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1向上平移两个单位得到新抛物线C2，过点A的直线交抛物线C2于M、N两点（M位于点N的左边），动直线经过点M，与抛物线C2的另一个交点为点P，求证：直线PN恒过一个定点；
（3）图3中，在（1）的条件下，x轴正半轴上有一点B（1，0），M为抛物线C1上在第一象限内的点，若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，直接写出点M的横坐标x的取值范围．
19．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC下方的抛物线上运动，求点P运动到何处时，△PBC的面积最大？
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点E，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，是否存在这样的点M与点N，使得以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且通过点B（3，﹣3）．
（1）求顶点A的坐标；
（2）点C为直线AB上方抛物线上一动点，求△ABC面积的最大值；
（3）在对称轴左侧的抛物线上存在一点P，使得∠PAB＝45°，求点P坐标．
21．已知m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，将△BCD沿BC所在直线折叠，得到△BCE，点D的对应点点E是否落在抛物线上？若点E落在抛物线上，请求出点E的坐标；若点E不在抛物线上，请说明理由；
（3）点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，若△PBC的面积等于△ABC面积的一半，求点P的坐标．
22．设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点 C．且∠ACB＝90°．
（1）求抛物线的解析式
（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B的坐标；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题
1．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选：C．
2．解：y＝x2﹣3x+5＝（x﹣）2+，将其向上平移2个单位，得：y＝（x﹣）2+．
再向左平移3个单位，得：y＝（x+）2+＝x2+3x+7．
因此b＝3，c＝7．
故选：A．
3．解：∵抛物线过A（﹣3，0）、O（1，0）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，
∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，
即y1＞y2．
故选：A．
4．解：∵设点（m，n2）是抛物线y＝x2﹣2x+9上的一个红点，则n2＝m2﹣2m+9，即n2﹣（m﹣1）2＝8，
∴（n﹣m+1）（n+m﹣1）＝8，
∵m、n为整数，且n﹣m与n+m的奇偶性相同，
∴n﹣m+1＝2，n+m﹣1＝4或n﹣m+1＝4，n+m﹣1＝2或n﹣m+1＝﹣2，n+m﹣1＝﹣4或n﹣m+1＝﹣4，n+m﹣1＝﹣2，
解得或或或，
∴这样的点为（2，9）或（0，9）
∴抛物线y＝x2﹣2x+9上有2个红点．
故选：A．
5．解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
C、由抛物线可知a＞0，b＜0，由直线可知a＞0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项错误．
故选：B．
6．解：过点C作CA⊥y，
∵抛物线y＝＝（x2﹣4x）＝（x2﹣4x+4）﹣2＝（x﹣2）2﹣2，
∴顶点坐标为C（2，﹣2），
对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2×2＝4，
故选：B．
7．解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，
2.25＝a（0﹣1）2+3，
解得a＝﹣0.75，
∴y＝﹣（x﹣1）2+3，
当y＝0时，﹣（x﹣1）2+3＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴OB＝3，
答：水流下落点B离墙距离OB的长度是3米．
故选：B．
8．解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．
所以abc＜0．
故①错误．
②∵抛物线对称轴为直线x＝＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，
故③错误；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
故④错误；
⑤∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
9．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
②∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴x＝﹣＞0，
∴ab＜0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故②正确；
③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，
∴y＝ax2+bx+c和y＝m没有交点，
由图可得，m＞2，故③正确．
故选：D．
二．填空题
10．解：
∵AC⊥x轴，
∴当点A为抛物线顶点时，AC有最小值，
∵抛物线y＝（x﹣1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1），
∴AC的最小值为1，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
∴BD的最小值为1，
故答案为：1．
11．解：把y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
得y＝2（x﹣2）2﹣1＝2x2﹣8x+7，
所以b＝﹣8，c＝7．
12．解：由题意，得：S阴影＝S半圆＝π（）2＝π（cm2）．
13．解：公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．
（1）求公共部分是正方形时的面积，
作AD⊥BC于D点，交MN于E点，
∵BC＝6，S△ABC＝12，
∴AD＝4，
∵MN∥BC，
∴即，
解得x＝2.4，
此时面积y＝2.42＝5.76．
（2）当公共部分是矩形时如图所示：
设DE＝a，根据得＝，
所以a＝4﹣x，公共部分的面积y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x，
∵﹣＜0，
∴y有最大值，
当x＝﹣＝3时，y最大值＝＝6．
综上所述，当x＝3时，公共部分的面积y最大，最大值为6．
14．解：由抛物线的性质，当xA＜x＜xB时，y＞0，所以①错误；
因为x1＜1＜x2，所以点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以②正确；
当m＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），C（0，3），
∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，
∴E（2，3），
∴DE＝，
作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于x轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），
∴FD＝FD′，GE＝GE′，
∴FD+FG+GE＝FD′+FG+GE′＝D′E′，
∴此时四边形EDFG周长的最小，
而D′E′＝，
∴四边形EDFG周长的最小值为+，所以③错误．
故答案为②．
三．解答题
15．解：如图，
（1）∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），
∴x＝0时，y＝0为函数最大值，
∵0﹣（﹣4）＞3﹣0，
∴x＝﹣4时，y＝﹣16＝﹣8为函数最小值，
故答案为：0，﹣8．
（2）∵x＞0时，y随x增大而减小，
∴x＝1时，函数取最大值为y＝﹣，x＝4时，y取最小值为y＝﹣16＝﹣8，
故答案为：﹣，﹣8．
（3）把x＝t代入y＝﹣x2得y＝﹣t2，
∴A（t，﹣t2），
把x＝t+2代入y＝﹣x2得y＝﹣（t+2）2＝﹣t2﹣2t﹣2，
∴B（t+2，﹣t2﹣2t﹣2），
∴AB＝＝，
∴AB2＝4t2+8t+8＝4（t+1）2+4，
当t＝﹣1时，AB2＝4为最小值，即AB＝2，
当t＝2时，AB2＝40为最大值，即AB＝2，
故答案为：2，2．
16．解：（1）∵min{3x+1，﹣x+2}＝﹣x+2，
∴3x+1≥﹣x+2，
解得x≥，
即x的取值范围是x≥；
（2），
解得或，
即函数y＝﹣x2﹣2x+4与y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标坐标是（﹣3，1）、（2，﹣4），
直线y＝﹣x﹣2过点（﹣3，1）、（2，﹣4），直线y＝﹣x﹣2的图象如右图所示，
由图象可得，
min{﹣x2﹣2x+4，﹣x﹣2}的最大值是1．
17．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3 中，得：
，
解得：，
∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E （m，m﹣2），
∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，
联立方程组：，
解得：，，
∵点B坐标为（3，0），
∴点C的坐标为（﹣，﹣），
∴BD+CF＝3+|﹣|＝，
∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PE BD+PE CF
＝PE（BD+CF）
＝（﹣m2+m+1）×
＝﹣（m﹣）2+，（其中﹣＜m＜3），
∵﹣＜0，
∴这个二次函数有最大值，
∴当m＝时，S△PBC的最大值为；
（3）存在，
①如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵OM＝ON，∠MON＝90°，∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，
解得：，，
∴N1（3，0），N2 （，），
②如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM＝∠OHN＝90°，
∵OM＝ON，∠MON＝90°，∠GOH＝90°，
∴∠MOG＝∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
，
∴△OGM≌△OHN（AAS），
∴GM＝NH，OG＝OH，
∴，解得：n1＝，n2＝，
∴N3（，），N4（，﹣）；
综上所述，点N的坐标为N1（3，0），N2 （，），N3（，），N4（，﹣）．
18．解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣2），
∴可设抛物线C1的解析式的顶点式为y＝ax2﹣2，
将点A（﹣2，2）代入得：（﹣2）2a﹣2＝2，
解得a＝1，
故抛物线C1的解析式为y＝x2﹣2；
（2）由题意得：抛物线C2的解析式为y＝x2﹣2+2，即y＝x2，
设点M、N、P的坐标为M（m，m2），N（n，n2），P（p，p2），
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
将点M（m，m2），N（n，n2）代入得，解得，
则直线MN的解析式为：yMN＝（m+n）x﹣mn，
同理可得：yPM＝（m+p）x﹣mp，yPN＝（p+n）x﹣pn，
∵直线PM为动直线y＝﹣4x+e，
∴m+p＝﹣4，
∴p＝﹣4﹣m，
∴yPN＝（p+n）x﹣pn＝（﹣4﹣m+n）x﹣（﹣4﹣m）n，
即：yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n+mn）
又∵点A在直线MN上，
∴﹣2（m+n）﹣mn＝2，
∴mn＝﹣2m﹣2n﹣2，
∴yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（4n﹣2m﹣2n﹣2），
即：yPN＝（﹣4﹣m+n）x+（2n﹣2m﹣2），
当x＝﹣2时，yPN＝﹣2（﹣4﹣m+n）+（2n﹣2m﹣2）＝6，
即无论m取何值，直线PN恒过定点（﹣2，6）；
（3）过B点作BD⊥AB，取BD＝2AB，作AE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E、F；
∵A（﹣2，2），B（1，0），
∴AB＝＝，sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∵∠DBF+∠ABE＝90°，∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠BDF＝∠ABE，
∴BF＝BD sin∠BDF＝2×＝4，DF＝BD cos∠BDF＝2×＝6，
∴OF＝OB+BF＝6，
∴D点坐标为（5，6），
∴直线AD解析式为：，
当时，
解得：x1＝﹣2，，
即tan∠MAB＝2时，点M的横坐标为
作AG垂直AB交抛物线C1与M2点，
∴，
即G点坐标为，
∴直线AG解析式为：，
当时，x1＝﹣2，，
即∠MAB＝90°时，当M的横坐标为，
综上所述：若∠MAB为锐角，且tan∠MAB＞2，M的横坐标x的取值范围为：．
19．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴、y轴分别交于点A（﹣2，0）、C（0，﹣8），
∴
解得：
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣8；
（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．
在抛物线y＝x2﹣2x﹣8中，令y＝0，则x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝4或x2＝﹣2，
∴B（4，0）．
由点B（4，0）和C（0，﹣8），可得直线BC的解析式为y＝2x﹣8．
设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣8），则点F的坐标为（n，2n﹣8），
由题知0＜n＜4，
∴PF＝（2n﹣8）﹣（n2﹣2n﹣8）
＝﹣n2+4n．
∵S△PBC＝S△PBF+S△CPF＝OB PF
＝×4×（﹣n2+4n）
＝﹣2n2+8n
＝﹣2（n﹣2）2+8．
∵0＜2＜4，
∴当n＝2时，S△PBC取得最大值，
此时，点P的坐标为（2，﹣8）；
（3）存在这样的点M，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
∴D（1，﹣9）．
将x＝1代入直线BC的解析式y＝2x﹣8，得y＝﹣6，
∴E（1，﹣6），
由点C（0，﹣8）和D（1，﹣9），可得直线CD的解析式为y＝﹣x﹣8．
设点M的坐标为（m，﹣m﹣8）．
当EM＝BM时，如图2﹣1，
（m﹣1）2+（m+2）2＝（m﹣4）2+（m+8）2，
解得：m＝﹣，
∴点M的坐标为（，）．
当EM＝EB时，如图2﹣3，
∴（m﹣1）2+（m+2）2＝（4﹣1）2+62，
解得：m1＝﹣5或m2＝4，
∴点M的坐标为（﹣5，﹣3）或（4，﹣12）．
综上所述，存在满足条件的点M有三个，其坐标为M1（，），M2（﹣5，﹣3），M3（4，﹣12）．
20．解：（1）把B（3，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+m2得：﹣3＝﹣32+3m+m2，
解得m＝2，
∴y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴顶点A的坐标是（1，1）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（1，1）和B（3，﹣3）代入得，，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3，
故设C（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣2n+3），
∴CQ＝﹣n2+2n﹣（﹣2n+3）＝﹣n2+4n﹣3，
∴S△ABC＝（﹣n2+4n﹣3）（n﹣1+3﹣n）＝﹣（n﹣2）2+1，
当n＝2时，S△ABC的最大值为1；
（3）过B作BQ⊥BA交AP于Q，过B作GH∥y轴，
分别过A，Q作AG⊥GH于G，QH⊥GH于H，
∠AGB＝∠ABQ＝∠BHQ＝90°，
∴∠ABG＝∠BQH．
∵∠PAB＝45°，
∴BA＝BQ．
在△ABG和△BQH中，
，
∴△ABG≌△BQH（AAS），
∴AG＝BH＝3﹣1＝2，BG＝QH＝1﹣（﹣3）＝4，
∴Q（﹣1，﹣5），
∴直线AP的解析式为y＝3x﹣2，
联立抛物线与AP，得﹣x2+2x＝3x﹣2，
∴x1＝1（不符合题意的解要舍去），x2＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣8）．
21．解（1）∵x2+4x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∵m，n是一元二次方程x2+4x+3＝0的两个实数根，且|m|＜|n|，
∴m＝﹣1，n＝﹣3，
∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴C（3，0），
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标D（1，﹣4），
过点D作DE⊥y轴，
∵OB＝OC＝3，
∴BE＝DE＝1，
∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠DBE＝45°，
∴∠CBD＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
∵点E和点D关于直线BC对称，
∴BE＝BD，
∵∠CBD＝90°，
∴∠CBE＝90°，
即D，B，E三点共线，点B是DE的中点，
∵B（0，﹣3），D（1，﹣4），
根据中点坐标公式得，E（﹣1，﹣2），
把E的横坐标x＝﹣1代入y＝x2﹣2x﹣3得，y＝1+2﹣3＝0≠﹣2，
∴点E不在抛物线上；
（3）由（1）知，A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0），
∴S△ABC＝AC OB＝×4×3＝6，
∵△PBC的面积等于△ABC面积的一半，
∴S△PBC＝3，
∵点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，
∴设P（t，t2﹣2t﹣3），（0＜t＜3），
由B（0，﹣3），C（3，0）得yBC＝x﹣3，
作PG∥y轴交直线BC于G，则G（t，t﹣3），
∴PG＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∴S△PBC＝PG OC＝（﹣t2+3t）×3＝3，
∴t1＝1，t2＝2，
把t1＝1，t2＝2分别代入t2﹣2t﹣3得，
P（1，﹣4）或（2，﹣3）．
22．解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA OB＝OC2
∴OB＝＝＝4，
∴m＝4，
∴B（4，0），
将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）解得，，，
∴E（6，7），
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
∴AH＝EH＝7，
∴∠EAH＝45°，
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0），
∴BF＝DF＝3
∴∠DBF＝45°，
∴∠EAH＝∠DBF＝45°，
∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP1∽△BAE，则＝，
∴BP1＝＝＝
∴OP1＝4﹣＝，
∴P1（，0）；
②若△DBP2∽△BAE，则＝，
∴BP2＝＝＝
∴OP2＝﹣4＝，
∴P2（﹣，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P1（，0）或P2（﹣，0）．
23．解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1，0），B，C（0，3）三点，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3；
（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∵抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0），B，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），
又∵MN⊥x轴，
∴N（m，﹣m2+2m+3），
∴MN＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）；
（3）存在，
S△BNC＝S△CMN+S△MNB＝|MN| |OB|，
∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，
MN＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，
当m＝时，MN的有最大值为，
所以当m＝时，△BNC的面积最大，点M的坐标（，）．