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第二章 一元二次函数、方程与不等式单元测试卷（巅峰版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C．或或 D．或
2．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·广东·化州市第一中学高一阶段练习）已知正数满足，则的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．（2021·天津市静海区第四中学高一阶段练习）下列命题中，真命题的个数是
① 若，则
②“”是“”的充分不必要条件
③若，则
④命题：“若，则或”
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高一阶段练习）若不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围( )
A． B．
C． D．
8．（2021·上海交大附中高一期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高一阶段练习）(多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有（ ）
A．b＞0＞a B．0＞a＞b
C．a＞0＞b D．a＞b＞0
11．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高一阶段练习）已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
12．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）下列选项正确的有（ ）
A．若x>0，则x+有最小值1
B．若x∈R，则有最大值1
C．若x>y，则x3+2xy2>y3+2x2y
D．若x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为________.
14．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）已知为正实数，则的最小值为__________．
15．（2020·广东·化州市第一中学高一阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则a+b；③若，则；④若，则；⑤若，则；其中正确的命题有________.(将正确的序号填在此处)
16．（2021·天津市静海区第四中学高一阶段练习）不等式的解集是，则______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）已知关于的不等式，．
（1）若，则求上述不等式的解集；
（2）若上述不等式对一切恒成立，则求的取值范围．
18．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.已知每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
19．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）设全集，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
20．（2020·广东·化州市第一中学高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，证明在区间上的单调递减；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
21．（2021·天津市静海区第四中学高一阶段练习）设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
22．（2021·天津市静海区第四中学高一阶段练习）已知不等式的解集为A，不等式的解集为.
(1)求；
(2)若不等式的解集为，求不等式的解集.
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第二章 一元二次函数、方程与不等式单元测试卷（巅峰版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．或 B．
C．或或 D．或
【答案】B
【解析】
【分析】
由补集和并集定义直接求解可得结果.
【详解】
或，，
.
故选：B.
2．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）设，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行排除，很快问题得以解决．
【详解】
∵b＜a，d＜c
∴设b=﹣2，a=﹣1，d=2，c=4
选项A，﹣1﹣4＞﹣2﹣2，不成立
选项B，（﹣1）×4＞（﹣2）×2，不成立
选项D，﹣1+2＞﹣2+4，不成立
故选C．
【点睛】
本题主要考查了不等式的基本性质，特值法针对比较大小问题有奇效.
3．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）已知，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得，根据展开利用基本不等式可求.
【详解】
，，，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为9.
故选：B.
4．（2020·广东·化州市第一中学高一阶段练习）已知正数满足，则的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式可得，然后解出即可．
【详解】
解：正数，满足，
∴，
，，
当且仅当时取等号，
的最小值为9，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，属于基础题．
5．（2021·天津市静海区第四中学高一阶段练习）下列命题中，真命题的个数是
① 若，则
②“”是“”的充分不必要条件
③若，则
④命题：“若，则或”
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①，举例说明该命题错误；
②，“”成立，则“”成立，“”成立，则“”不一定成立，所以该命题正确；
③，利用基本不等式说明该命题正确；
④，由于其逆否命题正确，所以该命题正确.
【详解】
① 若，如：，则，所以该命题错误；
②“”成立，则“”成立，“”成立，则“”不一定成立，如，所以“”是“”的充分不必要条件，所以该命题正确；
③若，则当且仅当时取等号.所以该命题正确；
④“若，则或”的逆否命题是“若且，则”，由于其逆否命题正确，所以该命题正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查实数大小的比较，考查充分条件必要条件的判定，考查基本不等式的应用，考查命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高一阶段练习）若不等式的解集为，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由不等式的解集为可得，，，代入化简即可求解.
【详解】
不等式的解集为，
，且是方程的两根，
，即，，
则化为，
，，解得或.
故选：D.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解集与系数的关系，考查一元二次不等式的求解，属于基础题.
7．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图像性质即可求出k的取值范围.
【详解】
的图象都在轴上方，
①时，k＝－5或k＝1，
k＝－5时，函数为一次函数，不满足条件；
k＝1时，y＝3满足条件；
故k＝1；
②k≠－5且k≠1时，函数为二次函数，
则，解得；
综上，.
故选：A.
8．（2021·上海交大附中高一期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知．
【详解】
充分性：若，则2≤x≤3，
，
必要性：若，又，
，
由绝对值的性质：若ab≤0，则，
∴，
所以“成立”是“成立”的充要条件，
故选：C．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.
【详解】
由，分类讨论如下：
当时，；
当时，；
当时，或；
当时，；
当时，或.
故选：AB.
10．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高一阶段练习）(多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有（ ）
A．b＞0＞a B．0＞a＞b
C．a＞0＞b D．a＞b＞0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
运用不等式的性质以及正数大于负数判断.
【详解】
因为＜等价于，
当a＞b，ab＞0时，＜成立，故B、D正确.
又正数大于负数，A正确，C错误，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.
11．（2021·海南·北京师范大学万宁附属中学高一阶段练习）已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
AD选项结合均值不等式即可判断；BC选项结合二次函数的最值问题即可分析.
【详解】
A．因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A错误，
B．，当且仅当时，等号成立，故B正确，
C．
，当且仅当时，等号成立，因此，故C正确，
D． ，当且仅当，即时，等号成立，故D错误；
故选：BC.
12．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）下列选项正确的有（ ）
A．若x>0，则x+有最小值1
B．若x∈R，则有最大值1
C．若x>y，则x3+2xy2>y3+2x2y
D．若x【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据基本不等式可判断A、D的正误，根据不等式的性质可判断B、C的正误，从而可得正确的选项.
【详解】
对于A，，因为，故，故等号不能成立，
故A错误.
对于B，当时，，当时，，
当且仅当时等号成立，故的最大值为1，故B正确.
对于C，,
因为，故，
而，因为，故不同时为零，
故，故，
所以即，故C正确.
对于D，，因为，故即，
所以.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查基本不等式在求最值中的应用以及不等式性质的应用，前者注意“一正、二定、三相等”的要求，在考虑不等式是否成立时，可以作差法或作商法来比较大小，本题属于中档题.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）如图所示，某学校要在长为米，宽为米的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为米，中间植草坪.为了美观，要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
设花卉带宽度为米， 则中间草坪的长为米，宽为米，由面积关系列不等式，化简后解一元二次不等式得答案.
【详解】
设花卉带宽度为米， 则中间草坪的长为米，宽为米，
根据题意可得，
整理得：，
即，
解得或，
不合题意，舍去，
故所求花卉带宽度的范围为，
故答案为：.
14．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）已知为正实数，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题得，再换元，设，利用基本不等式求最值.
【详解】
由题得，
设，则.
当且仅当时取等.
所以的最小值为6.
故答案为：6
【点睛】
方法点睛：利用基本不等式求最值时，通常要先进行“拼凑”，使正数的和或积为定值，再利用基本不等式求最值. 本题就进行了“拼凑”，.
15．（2020·广东·化州市第一中学高一阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则a+b；③若，则；④若，则；⑤若，则；其中正确的命题有________.(将正确的序号填在此处)
【答案】③④⑤
【解析】
【分析】
①举例判断；②举例判断；③利用基本不等式判断；④利用作差法判断；⑤利用作差法判断.
【详解】
①当时，，故错误；
②当时，a+b，故错误；
③因为，所以，则，因为，等号不成立，故，故正确；
④因为，所以，故，故正确；
⑤因为，则，故，故正确；
故答案为：③④⑤
16．（2021·天津市静海区第四中学高一阶段练习）不等式的解集是，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解集可得求a、b，即可确定目标式的结果.
【详解】
由题设，，可得，
∴.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）已知关于的不等式，．
（1）若，则求上述不等式的解集；
（2）若上述不等式对一切恒成立，则求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）代入参数，解一元二次不等式求解集即可；
（2）由不等式在上恒成立，讨论、，结合二次函数的性质求的范围．
【详解】
（1）将代入不等式，得：，即，得，
∴不等式的解集为；
（2）恒成立，
1）当时，有，显然不恒成立，舍去；
2）当时，由二次函数的性质得：，解得；
∴综上，有.
18．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.已知每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】（1）88辆车；（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
【解析】
【分析】
（1）根据每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆可求出结果；
（2）根据题意求出租赁公司的月收益关于每辆车的月租金的函数解析式，再根据二次函数知识可求出结果.
【详解】
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益（单位：元）
，
整理得.
所以当时，最大，其最大值为.
所以当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
19．（2021·浙江·湖州中学高一阶段练习）设全集，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】
试题分析：通过解一元二次不等式及绝对值不等式得到集合A、B．（1）求出集合，然后由子集关系求参数范围，但注意集合C为空集和非空集合两种情况考虑；（2）先求出，然后由子集关系求参数范围即可求解．
试题解析：
（1）
当，满足题意
当时，不合题意
当时，，
则有，解得．
综上，
（2）
当时，不合题意
当时，
考点：由子集关系求参数范围．
20．（2020·广东·化州市第一中学高一阶段练习）已知函数.
(1)当时，证明在区间上的单调递减；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由时，得到，利用函数单调性的定义，即可证得在区间上的单调递减；
（2）由对恒成立，转化为对任意恒成立，令，结合二次函数的性质，得到，得到，即可求解.
(1)
证明：当时，函数，
设任意的且，
则，
因为且，可得，，
且，即，
所以在上是减函数．
(2)
解：因为对恒成立，即对任意恒成立，
令，
根据二次函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即，
所以实数的取值范围是.
21．（2021·天津市静海区第四中学高一阶段练习）设.
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
【答案】(1)
(2)4
【解析】
【分析】
（1）不等式对一切实数x恒成立，即恒成立，分和两种情况讨论，即可得解；
（2），利用基本不等式即可得出答案.
(1)
解：不等式对一切实数x恒成立，
即恒成立，
当时，不恒成立；
当时，则有，解得，
综上所述，实数m的取值范围为；
(2)
解：，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为4.
22．（2021·天津市静海区第四中学高一阶段练习）已知不等式的解集为A，不等式的解集为.
(1)求；
(2)若不等式的解集为，求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）解不等式求出集合，进而求出；（2）根据韦达定理求出，，进而求出的解集.
(1)
，解得：，所以，解得：，所以，所以
(2)
，由题意得：，，所以，，不等式，即，解得：或，不等式解集为或
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