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第二章 一元二次函数、方程与不等式单元测试卷（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
先求解集合，即可确定与的关系．
【详解】
解：，，，
又，，．
故选：D.
2．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合与充分必要条件的关系，判断选项.
【详解】
，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）若关于x的不等式ax+b<0的解集为(2，+∞)，则bx+a<0的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
根据不等式解集得对应方程的根，再解不等式得结果.
【详解】
因为关于x的不等式ax+b<0的解集为(2，+∞)，
所以为方程的根，且
即
因此
故选：C
【点睛】
本题考查根据不等式解集求参数、解一元一次不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
4．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）对于任意实数，，，，有以下四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，则.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】
【分析】
由不等式的性质可判断①②③，取特殊值可判断④．
【详解】
选项①，由不等式的性质可得，正确；
选项②若，，由不等式的可加性可得正确；
选项③若，，则错误；
选项④，则错误，比如，但．
故选：B
5．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求集合A,B，然后取并集即可.
【详解】
则
故选：C
6．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用作差法比较大小.
【详解】
解：，，．
，．
．
故选：B．
7．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件
②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“”是“”的充分不必要条件
④“”是“”的必要不充分条件，
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
依次判断每个选项：得到或，①不正确；根据无理数定义知②正确；若，不满足，所以③不正确；根据必要不充分条件定义知④正确，得到答案.
【详解】
①则，即，故或，所以是的充分不必要条件，所以①不正确；
②是无理数，∵5是有理数，所以a是无理数；a是无理数，则是无理数，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，所以②正确；
③若，则得，不是充分条件，所以③不正确；
④推不出，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，所以④正确；
故选：B.
【点睛】
本题考查了充分必要条件的判断，意在考查学生的推断能力，掌握充分必要条件的定义是解题的关键.
8．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据并集的结果，可得集合B，进而得到参数的取值范围；
【详解】
解：∵，，
∴
∴．
故选：D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学高一阶段练习）下列结论成立的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】
对于A，运用举反例的方法，可判断；
对于B，由只有不等式同向才有可加性可判断；
对于C，由，得，根据不等式的同向可加性可判断；
对于D，由，得，根据不等式的正数同向可乘性可判断.
【详解】
对于A，取，，，此时，但，故A不成立；.
对于B，，，，得不出，故B不成立；
对于C，，，又，，故C成立；
对于D，，，，即，故D成立.
故选:CD.
【点睛】
本题考查运用不等式的性质判断不等式是否成立，关键在运用不等式的性质时，需严格满足所需的条件，属于基础题.
10．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”.
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要条件.
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题判断A,B选项，根据充分条件，必要条件的定义判断C,D选项.
【详解】
对于A选项，命题“”的否定是“，”，故A选项错误；
对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；
对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；
对于D选项，关于x的方程有一正一负根,所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.
故选：BD
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题的否定，充要条件的判断，考查逻辑推理能力，是中档题.本题D选项解题的关键在于根据韦达定理和判别式得等价条件，进而解不等式求得讨论即可.
11．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】
对于A选项，当时，，故A选项错误；对于C选项，可以利用基本不等式求出的最小值为3，所以C选项错误；对于BD选项，可以根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.
【详解】
解：对于A选项，当时，，故A选项错误，
对于B选项，当时，，
则，
当且仅当时，等号成立，故B选项正确，
对于C选项，若正数、满足，则，
，
当且仅当时，等号成立，故C选项错误，
对于D选项，，
所以，可得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为，D选项正确．
故选：BD．
12．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学高一阶段练习）已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可.
【详解】
解：因为，当且仅当时取等号，
解得，即，故的最大值为2，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；
，当且仅当，
即时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，此时取得最小值，D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）不等式的解集是_______．（结果用集合或区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】
不等式的解集，即为不等式的解集，根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】
解：不等式的解集，
即为不等式的解集，
解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
14．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数取值范围是_____．
【答案】≤a≤
【解析】
【详解】
试题分析：不等式等价于，所以是的充分不必要条件，所以有
考点：充分条件与必要条件
点评：若成立，则是的充分条件，是的必要条件
15．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若恒成立，则实数的取值范围为________.
【答案】.
【解析】
【分析】
根据命题恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
由题意，命题恒成立，
可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
16．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知1，2则4的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据同向不等式的结算规则求解即可得出答案.
【详解】
根据题意，
即的取值范围为.
故答案为为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）求下列方程组和不等式的解集.
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)或
(2)
(3)，
【解析】
【分析】
（1）利用消元法求解方程组即可得解；
（2）由绝对值不等式的解法求解即可；
（3）由一元二次不等式的解法求解即可．
(1)
（1），
由①得，
代入方程②得，即，
解得或，
分别代入得或，
所以方程组的解为或．
(2)
不等式等价为或，
解得或，
故不等式的解集为．
(3)
，
解得，
所以不等式的解集为，．
18．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2),
【解析】
【分析】
（1）由可得，分， 两种情况分类讨论，求出实数的取值范围；
（2）由题意知，分， 讨论，建立不等式或不等式组求解即可.
(1)
集合，，，
，
当时，，解得，
当时，，
解得，
综上，实数的取值范围是，；
(2)
当时，没有元素使与同时成立，
，
当时，，解得，
当时，或，
解得，
综上，实数的取值范围是，．
19．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）7；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；
（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.
【详解】
（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
20．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.
【解析】
【分析】
（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；
（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.
【详解】
（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.
因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.
又，所以.
所以宽的最大值为16米.
（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得
（平方米）
当且仅当米时，等号成立.
所以整个绿化面积的最小值为平方米.
21．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程与一元二次不等式的关系，根据解集建立方程组可得；
（2）由（1）可得，然后直接使用基本不等式可得的最小值，然后可解.
(1)
由题知，1和b是方程的两根，
由韦达定理可得，解得
(2)
由（1）知，所以，
因为，所以
记，则，解得，
当且仅当，即时取等号，
故的最小值为8，
所以要使恒成立，则，得
所以k的取值范围为.
22．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知，．
（1）当时，求；
（2）当时，若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）解不等式求得集合，由并集定义可求得结果；
（2）由并集结果可确定，根据包含关系可构造不等式组求得结果.
【详解】
（1）由得：，则；
当时，由得：，则；
；
（2）若，则，
当时，，又，
则，解得：，实数的取值范围为.
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第二章 一元二次函数、方程与不等式单元测试卷（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）设集合，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）若关于x的不等式ax+b<0的解集为(2，+∞)，则bx+a<0的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）对于任意实数，，，，有以下四个命题：
①若，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，则.
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021·河北·大名县第一中学）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“”是“”的充要条件
②“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“”是“”的充分不必要条件
④“”是“”的必要不充分条件，
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学高一阶段练习）下列结论成立的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，则
10．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”.
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要条件.
D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
11．（2022·湖北·江夏一中高一阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为2
B．已知，则的最小值为
C．若正数x，y为实数，若，则的最大值为3
D．设x，y为实数，若，则的最大值为
12．（2021·湖南·师大附中梅溪湖中学高一阶段练习）已知，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为2 B．的最小值为4
C．的最小值为3 D．的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）不等式的解集是_______．（结果用集合或区间表示）
14．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）如果不等式成立的充分不必要条件是，则实数取值范围是_____．
15．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）若恒成立，则实数的取值范围为________.
16．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知1，2则4的取值范围为__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）求下列方程组和不等式的解集.
(1)
(2)
(3)
18．（2021·北京医学院附属中学高一阶段练习）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)当时，没有元素使与同时成立，求实数的取值范围.
19．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
20．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
21．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
22．（2020·湖北·襄阳市第二十四中学高一阶段练习）已知，．
（1）当时，求；
（2）当时，若，求实数a的取值范围．
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