中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 函数的概念与性质单元测试卷（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）下列图形是函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的定义，对四个选项一一判断.
【详解】
按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.
对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误；
对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误；
对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；
对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；
故选:C
2．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）函数f(x)=1-的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用反比例型函数值域求法求解.
【详解】
解：函数f(x)=1-的定义域为，
所以，则，
所以函数f(x)=1-的值域为，
故选：A
3．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】
由已知可得，则.
故选：D.
4．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
函数的图象关于直线对称的充要条件是，利用此充要条件逐一判断即可.
【详解】
对于A
因为为偶函数
所以
即
即
即的图象关于直线对称
而的图象是由的图象向左平移个单位得到的
所以的图象关于直线对称
所以A正确
对于B
构造函数则
所以，显然其图象不关于对称
故B错误
对于C
构造函数则
所以，显然其图象不关于对称
所以C错误
对于D
构造函数则
所以，显然其图象不关于对称
所以D错误
故选：A
5．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用分段函数的单调性列不等式组求出a的范围.
【详解】
因为在上单调递减，且最小值为-1.
所以要使函数f(x)=是R上的递减函数，
只需，解得：.
故选：C
6．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解.
【详解】
∵ 函数是定义在R上的偶函数，
∴ ，
∴ 不等式可化为
∵ 对于任意不等实数，，不等式恒成立，
∴ 函数在上为减函数，又，
∴ ，
∴ ，
∴不等式的解集为
故选：C.
7．（2021·海南·海口一中高一期中）已知定义城为R的函数为奇函数，且，则（ ）
A．-2 B．-5 C．1 D．-3
【答案】B
【解析】
【分析】
由为奇函数可得，令并结合已知即可求.
【详解】
由题设，有，
∴，
当时，有，又，
∴.
故选：B
8．（2021·海南·海口一中高一期中）已知，若定义在上的函数满足对、，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知，函数是上的减函数，则函数的两支函数均为减函数，且有，由此可得出关于实数的不等式组，解出即可.
【详解】
定义在上的函数满足对、，都有，
所以，函数是上的减函数，
则函数和均为减函数，且有，
即，解得，因此，实数的取值范围是.
故选D.
【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，求解时不仅要求分段函数的每支函数都保持原函数的单调性外，还应注意各支函数在分界点处函数的值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知定义在R上的函数满足，且函数为偶函数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．的图像关于直线对称
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由函数的等量关系可得、判断A、B的正误，进而判断的奇偶性.
【详解】
由，知：，A正确；
由，知：，即的图像关于直线对称，B正确；
由上知：，即为奇函数，C正确，D错误.
故选：ABC
10．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）对于定义在D函数f(x)若满足:
①对任意的xD，f(x)+f(-x)=0;
②对任意的，存在D，使得=.
则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
对于四个选项中的函数，分别验证是否满足题干中的两个条件，特别是条件②，A选项，对任意的，存在满足要求；B选项，对任意的，则存在满足要求；C选项，对任意的，存在满足要求.
【详解】
A选项，，若，则，则，同理，则，则，
对任意的，存在，使得，
对任意的，则存在，使得，
综上：满足条件①②，故是“等均值函数”，A正确；
B选项，，定义域为，，
对任意的，存在，使得，符合要求，故B正确；
C选项，，定义域为R，且，对任意的，存在，使得，C符合要求，故C正确；
D选项，，定义域为，不能使得对于任意的均有，故D选项不合题意，舍去
故选：ABC
11．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，
B．当时
C．若，则k的取值范围为
D．若（其中），则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.
【详解】
A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；
B：时，方程无解，则，正确；
由解析式可得其函数图象如下图示：
令，开口向上且对称轴为，
若，则，即，有以下情况：
1、，：
此时，令，则在上有一个零点，
∴，可得，
2、，，由A知：.
综上：，故C错误；
若，由函数的性质及图象知：必有，.
此时，，，
所以，，所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.
12．（2021·山东师范大学附中高一期中）已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．当时，
B．函数的最小值为
C．函数在上单调递减
D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或
【答案】ABD
【解析】
【分析】
得到函数，作出其图象逐项判断.
【详解】
由题意得：，其图象如图所示：
由图象知：当时，，故A正确；
函数的最小值为，故正确；
函数在上单调递增，故错误；
方程恰有两个不相等的实数根，则或，故正确；
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·山东师范大学附中高一期中）函数=的定义域为____________
【答案】
【解析】
利用被开方数为非负数、分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】
要使函数有意义，则，解得且.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
14．（2021·浙江·舟山中学高一期中）定义，设函数，则的最大值为______
【答案】
【解析】
【分析】
化简函数的解析式，作出函数的图象，结合图象可得出函数的最大值.
【详解】
当时，即，解得或，
此时，；
当时，即，解得，
此时，，
所以，，
作出函数的图象如下：
由图可知.
故答案为：.
15．（2021·浙江·舟山中学高一期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】
利用基本不等式求出的最小值，解不等式求出实数的取值范围.
【详解】
因为，，所以，，所以，.
要使恒成立，只需恒成立.
因为，所以，
所以
.
当且仅当，即时取等号.
所以，解得：.
即实数的取值范围是.
16．（2021·浙江·舟山中学高一期中），记为不大于的最大整数，，若，则关于的不等式的解集为______
【答案】
【解析】
【分析】
对的范围分类讨论，结合所给定义表示出，，将转化为一元一次不等式，解得即可，最后取并集；
【详解】
解：当时，，所以，即，解得，所以；
当时，，所以，即，解得，所以；
当时，，所以，即，解得，所以；
当时，，所以，即，解得，所以；
综上可得；
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）设函数，.
(1)已知在区间上单调递增，求b的取值范围；
(2)是否存在正整数a，b，使得？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在满足条件
【解析】
【分析】
（1），分与结合单调性讨论即可求解；
（2）当时，恒成立，等价于，
利用对称轴与的关系进行讨论，分别研究即可求解
(1)
由题意可知，
当时，在上单调递增，
从而在上单调递增，符合题意；
当时，由对勾函数的性质可知在上单调递减，
在上单调递增，
又在上单调递增，
所以，即，
综上可知，b的取值范围是
(2)
因为的对称轴为，
由题设知：，
当时，恒成立，等价于，
当时，即时，不满足题设，不予考虑；
当，即时，在上单调递减，
所以，
因为，
所以，
所以，与矛盾；
当时，即时，
则有，
由（1）可得，
结合（2）可得，
由（1）（3）可得，，即，
又，所以，即
再结合（1）则有，解得，
综上，的范围是，
又为正整数，
故当时，由得，此时，不符合；
故当时，由得，此时符合条件；
故存在满足条件
所以
18．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)奇函数
(2)单调递增，证明见详解
(3)或
【解析】
【分析】
（1）根据题意，令，即可判断；
（2）根据题意，先证，恒成立，再结合定义法，即可证明单调性；
（3）根据题意，先根据单调性求出的最值，再将原不等式转化为，构造关于的函数即可求解.
(1)
根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数.
(2)
在上单调递增.
证明：由题意，可知，
假设，使得，则，
而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立.
设，且，则，
因此
，
因为，且当时，，所以，
又因为，所以，即，
又因为，所以在上单调递增.
(3)
根据题意，结合（1）（2）可知，在上单调递增，
因此，，
故，，
因为，恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
令，则，恒成立，
故，解得或.
19．（2020·海南·琼中中学高一期中）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）试判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）非奇非偶函数.（2）增函数；证明见解析 （3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据解析式，即可求出的定义域，其不关于原点对称,即可说明为非奇非偶函数.
（2）利用单调性的定义：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.
（3）由（2）知函数在区间上单调递减，即，，解出即可.
【详解】
解：（1）的定义域为,不关于原点对称
所以函数为非奇非偶函数.
（2）任取，且，则
，
因为，，，
所以，所以，
即函数在区间上是增函数.
（3）函数在区间上单调递减，
所以，.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，利用函数单调性的定义证明单调性,函数在定区间上的值域.属于基础题.其中函数奇偶性的判断：①定义域关于原点对称;②为偶函数，为奇函数.证明函数的单调性步骤为：取值-作差-变形-判断正负号-得出结论.
20．（2020·海南·琼中中学高一期中）某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.
（1）写出年利涧L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【答案】（1）L(x)＝ （2）100
【解析】
【分析】
（1）分别求出0（2）分别借助二次函数的最值和均值不等式求出0【详解】
（1）当0L(x)＝x2－10x－250
＝x2＋40x－250，
当x≥80，x∈N*时，
L(x)＝－51x－＋1 450－250
＝1 200－，
∴L(x)＝.
（2）当0L(x)＝(x－60)2＋950，
∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950，
当x≥80，x∈N*时，
L(x)＝1 200－≤1 200－2
＝1 200－200＝1 000，
∴当x＝，即x＝100时，
L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950，
综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，
即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
21．（2020·海南·琼中中学高一期中）已知函数在区间上是单调函数.
（1）求实数的所有取值组成的集合；
（2）试写出在区间上的最大值；
（3）设，令，若对任意，总有，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
（1）根据二次函数的单调性列式可解得结果；
（2）由（1）知，或，分类讨论并根据二次函数的单调性求出最大值可得解；
（3）求出，将问题转化为当时，恒成立，然后对分类讨论求出的最大最小值代入可解得结果.
【详解】
（1）对称轴为，所以或，所以
（2）由（1）知，或，
当时，函数在上递减，所以；
当时，函数在上递增，所以，
所以.
（3）由得，，
所以，
问题转化为当时，恒成立.
①当时，为递减函数，所以，
由解得.与矛盾.
②当时，在上递减，在上递增，
因为，所以，
由解得，则，
③当时，在上递减，在上递增，在上递增，
因为，所以，
由解得，
综上可知：。
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
22．（2021·山东师范大学附中高一期中）已知函数，.
（1）若，试求函数在区间上的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围.
【答案】（1）6；（2）.
【解析】
（1）对函数进行分离，利用基本不等式求出最小值即可；
（2）设，在恒成立，则，列不等式解出的取值范围即可．
【详解】
（1）依题意得
∵，∴，
∴，当且仅当时，等号成立.
所以，，即函数在区间上的最小值为6.
（2）因为，所以要使得“，不等式成立”
只要“在上恒成立”.不妨设，则只要
在恒成立，所以，即解得
所以的取值范围是.
【点睛】
易错点睛：本题考查基本不等式求最值，考查一元二次不等式的恒成立问题，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第三章 函数的概念与性质单元测试卷（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）下列图形是函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）函数f(x)=1-的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数是偶函数，则图像的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数f(x)=是R上的递减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·海南·海口一中高一期中）已知定义城为R的函数为奇函数，且，则（ ）
A．-2 B．-5 C．1 D．-3
8．（2021·海南·海口一中高一期中）已知，若定义在上的函数满足对、，都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知定义在R上的函数满足，且函数为偶函数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．的图像关于直线对称
C．为奇函数 D．为偶函数
10．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）对于定义在D函数f(x)若满足:
①对任意的xD，f(x)+f(-x)=0;
②对任意的，存在D，使得=.
则称函数f(x)为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A．当时，
B．当时
C．若，则k的取值范围为
D．若（其中），则
12．（2021·山东师范大学附中高一期中）已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．当时，
B．函数的最小值为
C．函数在上单调递减
D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·山东师范大学附中高一期中）函数=的定义域为____________
14．（2021·浙江·舟山中学高一期中）定义，设函数，则的最大值为______
15．（2021·浙江·舟山中学高一期中）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______
16．（2021·浙江·舟山中学高一期中），记为不大于的最大整数，，若，则关于的不等式的解集为______
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）设函数，.
(1)已知在区间上单调递增，求b的取值范围；
(2)是否存在正整数a，b，使得？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
18．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)若对任意，，，总有恒成立，求实数m的取值范围.
19．（2020·海南·琼中中学高一期中）已知函数．
（1）判断函数的奇偶性；
（2）试判断在区间上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）求函数在区间上的最值．
20．（2020·海南·琼中中学高一期中）某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.
（1）写出年利涧L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
21．（2020·海南·琼中中学高一期中）已知函数在区间上是单调函数.
（1）求实数的所有取值组成的集合；
（2）试写出在区间上的最大值；
（3）设，令，若对任意，总有，求的取值范围.
22．（2021·山东师范大学附中高一期中）已知函数，.
（1）若，试求函数在区间上的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求的取值范围.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
