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第三章 函数的概念与性质单元测试卷（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是
A．B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：由函数的定义，集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应，结合图象得出结论．
从集合M到集合能构成函数关系时，对于集合中的每一个x值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y值与之对应．
图象A不满足条件，因为当时，N中没有y值与之对应．
图象B不满足条件，因为当x=2时，N中没有y值与之对应．
图象C不满足条件，因为对于集合中的每一个x值，在集合N中有2个y值与之对应，不满足函数的定义．
只有D中的图象满足对于集合中的每一个x值，在中都有唯一确定的一个y值与之对应．
考点：函数的概念及其构成要素
2．（2021·北京·101中学高一阶段练习）已知集合，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的表示，确定集合中的元素，能化简的集合要化简后对比
【详解】
解：∵是单元素集，集合中的元素是，
，
，
，集合中的元素是点，
.
∴.
故选：D.
3．（2021·北京·101中学高一阶段练习）函数，的值域是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，再根据函数的单调性求函数的值域即可
【详解】
任取，且，则
，
当，且时，，，所以，即，
当，且时，，，所以，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，
所以在上的值域为
故选：A
4．（2021·北京师大附中高一阶段练习）已知函数则（ ）
A． B．1 C．2 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
求分段函数的函数值，将自变量代入相应的函数解析式可得结果.
【详解】
，
故选：C
5．（2021·北京师大附中高一阶段练习）,不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
不等式化为：，利用基本不等式的性质可得的最小值，即可得出．
【详解】
不等式化为：，
，，当且仅当时取等号．
不等式对一切恒成立，
，
解得，
故选：．
6．（2021·北京·101中学高一阶段练习）已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质求出在时的值域为，再根据一次为增函数，求出，由题意得值域是值域的子集，从而得到实数a的取值范围.
【详解】
解：∵函数的图象是开口向上的抛物线，且关于直线对称
∴时，的最小值为，最大值为，
可得值域为
又∵，，
∴为单调增函数，值域为
即
∵，，使得，
∴
故选：D.
【点睛】
本题着重考查了函数的值域，属于中档题.解题的关键是将问题转化为值域的包含关系问题.
7．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．［-4，0） B．［-4，-2） C．［-4，+∞） D．（-∞，-2）
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；
【详解】
因为且在上单调递增，
则，
所以，解得，即，
故选：B
8．（2021·湖南师大附中高一期中）已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
函数恒成立问题，直接求最值利用二次函数的性质可得；或利用参变分离法，利用基本不等式求最值即得.
【详解】
解法一：若，恒有，只需，
设函数在上的最小值为，则
（1）当，即时，，即，所以；
（2）当，即时，，即，所以此时不满足题意；
（3）当，即时，，所以，即，得，则.
综上，实数的取值范围为.
故选：B.
解法二：若，恒有，即对任意恒成立，
所以对任意的恒成立，而，当且仅当，
即时取等号，所以.因此，实数的取值范围是.
故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·河北武强中学高一期中）下列函数中，满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
根据定义，依次验证各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，，故满足；
对于B选项，，故满足；
对于C选项，，故满足；
对于D选项，，故不满足.
综上，ABC选项满足.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查函数解析式的求解问题，是基础题.
10．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】AC
【解析】
【分析】
分别求出四个选项中，每个选项两个函数的定义域和对应关系是否相同即可求解.
【详解】
对于选项A：的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项D：的定义域为，的定义域为，对应关系不同，不是同一个函数.
故选：AC
11．（2021·河北武强中学高一期中）下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.
【详解】
由题意可知，当时，满足条件的函数的图象是凹形曲线.
对于A，函数的图象是一条直线，故当时，；
对于B，函数的图象是凹形曲线，故当时，；
对于C，函数的图象是凸形曲线，故当时，；
对于D，在第一象限，函数的图象是一条凹形曲线，故当时，
，
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.
12．（2021·湖南·金海学校高一期中）已知函数的定义域是，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，则以下说法一定正确的是（ ）
A． B．
C．在定义域上有最大值，最大值是 D．与的大小不确定
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据单调性可判断A,因为题中没有对称性，所以可判断BD，再由函数是否连续不确定，可判断C.
【详解】
对于A，由函数在区间上是减函数，可得，正确；
对于B，题中条件没有说明函数关于对称，所以和未必相等，不正确；
对于C，根据题意不确定在是否连续，所以不能确定最大值是，不正确；
对于D，和不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性，所以与的大小不确定，正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·北京·101中学高一阶段练习）函数的定义域为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由被开方数非负可求得答案
【详解】
由题意得，得，
所以函数的定义域为，
故答案为：
14．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.
【详解】
当时，不等式为，满足题意；
当，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为，
故答案为：.
15．（2021·河北·石家庄市第四中学高一期中）若定义在上的奇函数在上是严格增函数，且，则使得成立的的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的奇偶性和零点，分别求出和的解集，再分别讨论当和时的解集即可求出结果.
【详解】
解：因为为奇函数，且有，则在上是也严格递增，且，所以的解集为：；的解集为：，则当时，的解为，当时，的解为
故成立的的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：类似求或求的解集的问题，往往是根据函数的奇偶性和单调性先求出或的解，再结合的范围进行求解.
16．（2021·河北武强中学高一期中）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．年月日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额综合所得收入额基本减除费用专项扣除专项附加扣除依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年元，税率与速算扣除数见下表：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（） 速算扣除数
李华全年综合所得收入额为元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，，，，专项附加扣除是元，依法确定其他扣除是元，则他全年应缴纳的综合所得个税是_________元．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意求出专项扣除总额，再根据应纳税所得额公式求出应纳税所得额，
再根据个税税额公式求出个税税额即可.
【详解】
由题意得，专项扣除总额为：元，
应纳税所得额为：元，
个税税额为：元，
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知
(1)求二次函数的值域：
(2)当时，若二次函数的值恒大于0，求a的取值范围．
【答案】(1)[0，]
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求解集合，再求二次函数的值域；
（2）首先将不等式，参变分离得，转化为求函数的最值，即可求解.
(1)
等价于，．
解得
所以．
∴二次函数，
函数在区间单调递增，所以当时，y取最大值为，
当时，y取最小值为0，
所以二次函数．的值域是[0，]．
(2)
由（1）知
∵恒成立．
即恒成立．
∴恒成立． ．
∵．∴
∵，∴．
当且仅当且时，即时，等号成立，．
∴，故a的取值范围为
18．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解下列问题：
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，求的最小值；
(3)已知，求代数式和的取值范围．
【答案】(1)
(2)9
(3)；
【解析】
【分析】
（1）由题意可得和3是方程的两个实根，则，从而可求出a，b的值；
（2）由已知可得，化简后利用基本不等式可求出其最小值，
（3）利用不等式的性质求解即可
(1)
∵不等式的解集为
∴和3是方程的两个实根，
∴
解得
(2)
∵，又
∴
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为9．
(3)
∵，
∴
由，得，① ．
由，得，② ．
由①②得，
19．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数．
(1)判断函数是否具有奇偶性？并说明理由；
(2)试用函数单调性的定义证明：在（-1，＋∞）上是增函数；
(3)求函数在区间［1，4］上的值域．
【答案】(1)函数不具有奇偶性；理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)［-，1］.
【解析】
【分析】
（1）通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；
（2）任取x1，x2∈（-1，＋∞），且x1＜x2，通过计算 f（x1）-f（x2）的正负来判断单调性；
（3）通过函数在区间［1，4］上的单调性求得最值即可.
(1)
由已知，故
函数定义域为，
因为定义域不关于原点对称，
所以函数不具有奇偶性；
(2)
证明： ==，
任取x1，x2∈（-1，＋∞），且x1＜x2
f（x1）-f（x2）＝（2-）-（2-）
＝-=
＝，
又由-1＜x1＜x2，则x1-x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0，
故f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f(x)在（-1，＋∞）是增函数；
(3)
由（2）知，f(x)在［1，4］上单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝-，f(x)max＝f（4）＝1，
故f(x)在［1，4］上的值域是［-，1］．
20．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数在上有意义，且对任意满足．
(1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论；
(2)若时，，判断在的单调性，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）
①若，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由．
②记表示两数中的较大值，若对于任意，，求实数的取值范围？
【答案】(1)，奇函数；证明见解析
(2)在上是单调递减函数；理由见解析
(3)①不存在；理由见解析 ；②.
【解析】
【分析】
（1）令，得到，再令，可得，劲儿可得出结论；
（2）设任意，，令，进而可得，判断其正负，结合单调性的概念即可得出结论.
选①结合函数单调性可得，进而可得，解不等式即可得出结论；
选②令，，所以，进而分和两种情况讨论即可求出结果.
(1)
令，则，解得，
令，
则，
则，
又因为定义域为，关于原点对称，
所以为奇函数．
(2)
在上是单调递减函数．
理由：设任意，，
令，
则，
即：，
因为，，
所以，
所以，
所以，
因为时，，
所以，
故，
所以，
所以在上为单调递减函数．
(3)
选①
由（2）知，在上是单调递减函数，且．
所以，，
因为，所以，
所以，
即，，，
所以，即，
又因为，
所以不存在实数使得恒成立．
选②
，
由（2）知，在上是单调递减函数，且．
所以，所以，
所以，
令，，
所以，
若，；
若，，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，
所以．
综上，实数m的取值范围为．
【点睛】
含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集 的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立 a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立 a＜f(x)min.
21．（2021·河北武强中学高一期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.
【解析】
（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，
然后利用得出与，代入上式求解；
（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；
（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．
【详解】
解：（1）设函数图象的对称中心为，则．
即，
整理得，
于是，解得．
所以的对称中心为；
（2）函数在上为增函数；
（3）由已知，值域为值域的子集．
由（2）知在上单增，所以的值域为．
于是原问题转化为在上的值域．
①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．
因为，所以，解得．
②当，即时，在单减，单增，
又过对称中心，所以在单增，单减；
此时．
欲使，
只需且
解不等式得，又，此时．
③当，即时，在单减，在上亦单减，
由对称性，知在上单减，于是．
因为，所以,解得．
综上，实数的取值范围为．
【点睛】
本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：
（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；
（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数的单调性及最值是关键．
22．（2021·河北·石家庄市第四中学高一期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理 施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元
【解析】
【分析】
（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）分段判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．
(1)
由已知
(2)
解：由（1）得
当时，；
当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，.
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元.
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第三章 函数的概念与性质单元测试卷（基础版）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）设集合，，给出如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是
A．B． C． D．
2．（2021·北京·101中学高一阶段练习）已知集合，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·北京·101中学高一阶段练习）函数，的值域是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2021·北京师大附中高一阶段练习）已知函数则（ ）
A． B．1 C．2 D．5
5．（2021·北京师大附中高一阶段练习）,不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·北京·101中学高一阶段练习）已知函数，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A．［-4，0） B．［-4，-2） C．［-4，+∞） D．（-∞，-2）
8．（2021·湖南师大附中高一期中）已知函数，若，恒有，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·河北武强中学高一期中）下列函数中，满足的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
11．（2021·河北武强中学高一期中）下列幂函数中满足条件的函数是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·湖南·金海学校高一期中）已知函数的定义域是，且在区间上是增函数，在区间上是减函数，则以下说法一定正确的是（ ）
A． B．
C．在定义域上有最大值，最大值是 D．与的大小不确定
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2021·北京·101中学高一阶段练习）函数的定义域为____________．
14．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
15．（2021·河北·石家庄市第四中学高一期中）若定义在上的奇函数在上是严格增函数，且，则使得成立的的取值范围是_________.
16．（2021·河北武强中学高一期中）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．年月日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额应纳税所得额税率速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额综合所得收入额基本减除费用专项扣除专项附加扣除依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年元，税率与速算扣除数见下表：
级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（） 速算扣除数
李华全年综合所得收入额为元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，，，，专项附加扣除是元，依法确定其他扣除是元，则他全年应缴纳的综合所得个税是_________元．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知
(1)求二次函数的值域：
(2)当时，若二次函数的值恒大于0，求a的取值范围．
18．（2021·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）解下列问题：
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若，求的最小值；
(3)已知，求代数式和的取值范围．
19．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数．
(1)判断函数是否具有奇偶性？并说明理由；
(2)试用函数单调性的定义证明：在（-1，＋∞）上是增函数；
(3)求函数在区间［1，4］上的值域．
20．（2021·北京师大附中高一期中）已知函数在上有意义，且对任意满足．
(1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论；
(2)若时，，判断在的单调性，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按①得分计入总分）
①若，请问是否存在实数，使得恒成立，若存在，给出实数的一个取值；若不存在，请说明理由．
②记表示两数中的较大值，若对于任意，，求实数的取值范围？
21．（2021·河北武强中学高一期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．
（1）求函数图象的对称中心；
（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；
（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
22．（2021·河北·石家庄市第四中学高一期中）某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理 施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
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