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突破1.1 集合的概念
A组 基础巩固
1．（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【解析】
【分析】
由集合中元素的性质可直接得到结果.
【详解】
对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果.
【详解】
若，则，不符合集合元素的互异性；
若，则或（舍），此时，符合题意；
综上所述：.
故选：A.
3．（2022·江苏·高一）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据数集的定义，即可得答案；
【详解】
是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.
所以正确的个数为2.
故选：B.
4．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
通过解方程进行求解即可.
【详解】
因为，或，或，
所以，
故选：D
5．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解；
【详解】
解：因为且，
所以，且，
又，
所以和为方程的两个实数根，
所以；
故选：D
6．（2022·江苏·高一）下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据集合相等,检查集合中的元素是否一样即可判断.
【详解】
选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．
故选：B
7．（2022·全国·高一）集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两个集合相等，那么两个集合中的元素完全一致，求出的值，进而计算的值.
【详解】
因为，且，
所以，即，
所以，，
又因为，所以，
所以，
故选B.
8．（2019·河南·高一阶段练习）若集合中的元素都是非零实数，定义，若，且中有4个元素，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】C
【解析】
【分析】
根据所给定义，求出中的所有元素，再分类讨论可得.
【详解】
解：
根据定义，且中有4个元素，
，，，，，，
当时，解得，不满足条件，
当时，解得，满足条件，
当时，解得，不满足条件，
当时，解得，不满足条件，
当时，解得，满足条件，
当时，解得，不满足条件，
故选：.
【点睛】
本题考查集合中的新定义，分类讨论思想，属于基础题.
9．（2019·山西·怀仁市第一中学校高一阶段练习）已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
因集合是方程的解集，欲使集合至多有一个元素，只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，或只有一个实根，下面对进行讨论求解即可．
【详解】
解：集合至多有一个元素，
分类讨论：
①当时，只有一个元素，符合题意；
②当时，要至多有一个元素，
则必须方程：有两个相等的实数根或没有实数根，
，得：，，
综上所述：或．
故选：．
【点睛】
本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与转化思想．属于基础题．
10．（2021·全国·高一课时练习）以下对象：
①上海市现有各高中的校名；
②很接近的所有实数；
③方程在实数范围内的解；
④平面直角坐标系内的一些点；
⑤所有大于3或小于1的实数．
能够组成集合的序号是______．
【答案】①③⑤
【解析】
【分析】
利用集合元素的性质，依次判断即可得解.
【详解】
对于①，上海市现有各高中的校名，满足集合元素的性质，构成集合；
对于②，接近的所有实数，接近程度无法确定，即不满足集合元素的确定性，不构成集合；
对于③，方程在实数范围内的解，构成集合；
对于④，“一些点”，无明确的标准，对于某些点是否在“一些点”中无法确定，即不满足集合元素的确定性，不构成集合；
对于⑤，所有大于3或小于1的实数，构成集合或
所以能够组成集合的序号是①③⑤
故答案为：①③⑤
11．（2021·福建·三明一中高一阶段练习）设，则________．
【答案】
【解析】
【分析】分别令，，由集合元素具有互异性可确定结果.
【详解】若，则，不符合集合元素互异性；
若，解得：（舍）或，则，满足题意；
综上所述：.
故答案为：.
B组 能力提升
12．（2021·全国·高一课时练习）(多选)若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形不可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据集合元素的特征判断即可；
【详解】
解：由集合中的元素具有互异性可知a，b，c，d互不相等，而梯形的四条边可以互不相等，而矩形、平行四边形的对边相等，菱形的四边相等．
故选：ABC
13．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）（多选题）已知中的所有整数组成集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
写出集合，再对选项进行一一验证，即可得到答案；
【详解】
，
，，
故选：BC
14．（2021·安徽·池州市第一中学高一阶段练习）（多选题）已知集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】AC
【解析】
【分析】
由已知，讨论、，结合集合元素的性质确定参数a的值.
【详解】
当时，，即，符合题设；
当时，，显然不符合集合元素的互异性，则.
综上，或.
故选：AC
15．（2021·广东·深圳市红山中学高一阶段练习）（多选题）给出一下几组集合，其中是相等集合的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据集合相等的条件对选项一一判断即可.
【详解】
对于A， 是点集， 是数集 , M ≠ N , 故 A 错误；
对于B ，，故 B 正确；
对于C， 故 C 错误；
对于 D，， 故 D 正确 .
故选：BD .
16．（2022·湖南·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；
(2)方程组的解集．
【答案】(1){红色，黄色}；
(2).
【解析】
【分析】
利用集合的列举法的概念即得.
(1)
组成中国国旗的颜色名称的集合用列举法表示为{红色，黄色}；
(2)
由，解得，
故方程组的解集为.
17．（2022·湖南·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
利用集合的描述法即得.
(1)
奇数组成的集合为；
(2)
平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为.
18．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若集合A只有一个元素，求实数a的值；
(2)用列举法表示集合A．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由集合的描述可知A的元素有、、，要使A只有一个元素，即，即可求a的值；
（2）由（1）讨论的取值，列举法写出集合A即可．
(1)
由题设，或或，可得或或，
∴若集合A只有一个元素，则，故.
(2)
当时，；
当时，；
当时，；
当且且时，.
19．（2021·全国·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据描述直接列举出集合中的元素即可；
（2）求出一元二次方程的解，即可得出结果；
（3）解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果.
(1)
大于1且小于6的整数组成的集合为；
(2)
(3)
20．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知集合，试用列举法表示集合；
（2）已知集合，试用列举法表示集合．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，，可列举出的值，得出的值，即可写出集合；
（2）由且，可列举出的值，得出相应的的值，即可写出集合．
【详解】
解：（1）由，，知可为3，4，6，12，即为0，1，3，9，
所以集合用列举法表示为；
（2）因为且，所以，则相应的值为4，3，2，1，
所以集合用列举法表示为．
21．（2021·全国·高一课时练习）已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．
(1)当；
(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；
(3)当M是两个元素的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由判别式小于0可得（方程为一元二次方程）；
（2）由二次项系数为0或一元二次方程的判别式为0柯得；
（3）由方程为一元二次方程，且判别式大于0可得．
(1)
，，，所以的范围是；
(2)
时，，满足题意，
，，此时，满足题意，
(3)
由题意方程有两个不等实根，且，解得且，
所以的范围是，．
22．（2021·全国·高一课时练习）已知集合A是方程的解集．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)1
(3)
【解析】
【分析】
（1）需对参数进行分类讨论，分和两种情况求解；
（2）结合（1）可直接求解；
（3）将（1）（2）结论综合，即为对应取值范围.
(1)
若，则或，当时，方程为，
其解为，所以A是单元素集．
当时，方程为，无实数解，所以A为空集．
所以，若A是空集，
则或
即，所以a的取值范围为；
(2)
由（1）可知，若A是单元素集，则或即；
(3)
由（1）（2）知，若A中至多只有一个元素，即A为空集或单元素集，则a的取值范围为.
23．（2021·全国·高一课时练习）设集合A由实数构成，且满足：若（且），则．
(1)若，试证明集合A中有元素－1，；
(2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积．
【答案】(1)证明见解析
(2)3个，理由见解析
(3)1或－1
【解析】
【分析】
（1）由，结合，分析即可得证；
（2）若（且），则，，，从而可得出结论；
（3）由（2）知A中元素的个数为，再分为奇数和为偶数，即可得出答案.
(1)
证明：∵，∴．
∵，∴．
∴集合A中有元素－1，；
(2)
由题意，可知若（且），
则，，，
且，，，
故集合A中至少有3个元素；
(3)
由（2）知A中元素的个数为．
又集合A是有限集，且，
所以若为奇数，则集合A中所有元素的积为；
若为偶数，则集合A中所有元素的积为1．
所以集合A中所有元素的积为1或－1．
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突破1.1 集合的概念
A组 基础巩固
1．（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
2．（2023·全国·高三专题练习）若，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
3．（2022·江苏·高一）给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·贵州·赫章县教育研究室高一期末）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）已知集合， 若， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
6．（2022·江苏·高一）下列集合中表示同一集合的是（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
7．（2022·全国·高一）集合，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
8．（2019·河南·高一阶段练习）若集合中的元素都是非零实数，定义，若，且中有4个元素，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
9．（2019·山西·怀仁市第一中学校高一阶段练习）已知集合.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．．
10．（2021·全国·高一课时练习）以下对象：
①上海市现有各高中的校名；
②很接近的所有实数；
③方程在实数范围内的解；
④平面直角坐标系内的一些点；
⑤所有大于3或小于1的实数．
能够组成集合的序号是______．
11．（2021·福建·三明一中高一阶段练习）设，则________．
B组 能力提升
12．（2021·全国·高一课时练习）(多选)若a，b，c，d为集合A的四个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形不可能是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
13．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）（多选题）已知中的所有整数组成集合，则（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·安徽·池州市第一中学高一阶段练习）（多选题）已知集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
15．（2021·广东·深圳市红山中学高一阶段练习）（多选题）给出一下几组集合，其中是相等集合的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
16．（2022·湖南·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；
(2)方程组的解集．
17．（2022·湖南·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
(1)奇数组成的集合；
(2)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合．
18．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若集合A只有一个元素，求实数a的值；
(2)用列举法表示集合A．
19．（2021·全国·高一课时练习）用列举法表示下列集合：
(1)大于1且小于6的整数；
(2)；
(3)．
20．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知集合，试用列举法表示集合；
（2）已知集合，试用列举法表示集合．
21．（2021·全国·高一课时练习）已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．
(1)当；
(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；
(3)当M是两个元素的集合.
22．（2021·全国·高一课时练习）已知集合A是方程的解集．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
23．（2021·全国·高一课时练习）设集合A由实数构成，且满足：若（且），则．
(1)若，试证明集合A中有元素－1，；
(2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积．
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