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突破1.1 集合的概念
一、知识结构网络
二、知识点梳理
【知识点一、集合的概念】
1．集合与元素
一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．元素与集合的关系
如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．
注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．
3．集合中元素的特征
（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
4．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
【知识点二、常用的数集及其记法】
1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；
3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；
4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；
5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．
易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．
【知识点三、集合的表示方法】
1．列举法
把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．
2．描述法
用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．
说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．
3．Venn图的概念
我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
三、题型分析
重难点1 集合的概念
判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．
【名师点睛】
集合中元素的三个特性：
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．
（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变．
判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准．
例1．（1）、（2021·湖南·怀化五中高一期中）下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
(2)、（2021·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）(多选题)给出下列说法，其中正确的有（ ）
A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；
B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；
C．正偶数的全体可以构成一个集合；
D．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．
【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.
①中国古代四大发明 ②地球上的小河流
③方程的实数解 ④周长为10cm的三角形
⑤接近于0的数
【变式训练1-2】、（多选题）（2020·山东高一期中）下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数 D．清华大学2020年入学的全体学生
重难点2 元素与集合的关系
元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．
若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．
常用数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知集合M有2个元素x，2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是________．
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
（2）．（2022·全国·高三专题练习）设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
【变式训练2-1】、（2022·江苏·高一）下列元素与集合的关系判断正确的是（ ）
A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1 Z
【变式训练2-2】、（2020·云南弥勒市一中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
重难点3 集合的表示方法
对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．
但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．
例3．（1）、（2021·全国·高一课时练习）用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：______；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______；
（3）偶数集：______；
（4）抛物线上的所有点组成的集合：______．
（2）、（2021·全国·高一课时练习）若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.
【变式训练3-1】、（2020·运城市景胜中学高一开学考试）根据要求写出下列集合.
（1）已知，用列举法表示集合.
（2）已知集合，用列举法表示集合A．
（3）已知方程组，分别用描述法、列举法表示该集合.
（4）已知集合B={(x，y)|2x+y-5=0，x∈N，y∈N}，用列举法表示该集合.
（5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一课时练习）集合用列举法表示为______.
重难点4 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。
例4．（1）、（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）集合，且，则实数m=________.
（2）．（2021·全国高一课时练习）设a，，若集合，则_______.
【变式训练4-1】、（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
【变式训练4-2】、（2021·重庆·西南大学附中高一阶段练习）（多选题）下列选项中两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点5 与集合中的元素个数有关问题的
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例5．（2020·辽宁·本溪高中高一阶段练习）已知集合，若中只有一个元素，则的值是（ ）
A． B．0或 C．1 D．0或1
【变式训练5-1】、（多选题）（2020·江苏省通州高级中学高一月考）集合中有且仅有一个元素，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【变式训练6-1】、（2021·全国·高一课时练习）用集合表示关于的方程的根组成的集合．
（1）若集合是空集，求实数的取值范围；
（2）若集合中仅有一个元素，求实数的值．
四、课堂训练
1．（2022·广西·高二学业考试）已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（ ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
2．（2021·湖北武汉·高一期中）（多选题）下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高一课时练习）用列举法表示下列集合．
（1）不超过11的所有素数组成的集合：______；
（2）：_______；
（3）：_______．
4．（2022·江苏·高一）已知集合，其中为常数，且.
(1)若是空集，求的范围；
(2)若中只有一个元素，求的值；
(3)若中至多只有一个元素，求的范围.
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突破1.1 集合的概念
一、知识结构网络
二、知识点梳理
【知识点一、集合的概念】
1．集合与元素
一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．元素与集合的关系
如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．
注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．
3．集合中元素的特征
（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
4．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
【知识点二、常用的数集及其记法】
1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；
3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；
4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；
5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．
易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．
【知识点三、集合的表示方法】
1．列举法
把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．
2．描述法
用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．
说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．
3．Venn图的概念
我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
三、题型分析
重难点1 集合的概念
判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．
【名师点睛】
集合中元素的三个特性：
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．
（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变．
判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准．
例1．（1）、（2021·湖南·怀化五中高一期中）下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学 B．长寿的人 C．的近似值 D．倒数等于它本身的数
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的定义分析判断即可.
【详解】
对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；
对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，
不是明确的定义，故不能构成集合；
对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；
故选：D.
(2)、（2021·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）(多选题)给出下列说法，其中正确的有（ ）
A．中国的所有直辖市可以构成一个集合；
B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；
C．正偶数的全体可以构成一个集合；
D．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合．
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据集合的确定性依次判断每个选项得到答案.
【详解】
中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；
高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；
正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；
大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D错误.
故选：AC.
【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）以下各组对象不能组成集合的是______（用题号填空）.
①中国古代四大发明 ②地球上的小河流
③方程的实数解 ④周长为10cm的三角形
⑤接近于0的数
【答案】②⑤
【解析】
【分析】
利用集合元素的基本特征判断.
【详解】
①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合；
②地球上的小河流，不确定，不能构成集合；
③方程的实数解是1或-1，是确定的，能构成集合；
④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合；
⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合.
故答案为：②⑤
【变式训练1-2】、（多选题）（2020·山东高一期中）下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数 D．清华大学2020年入学的全体学生
【答案】BD
【分析】
根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可
【详解】
解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；
对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；
对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；
对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，
故选：BD
重难点2 元素与集合的关系
元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．
若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．
常用数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知集合M有2个元素x，2－x，若－1 M，则下列说法一定错误的是________．
①2∈M；②1∈M；③x≠3.
【答案】②
【解析】
【分析】
先由－1 M求出x≠－1，x≠1且x≠3，，然后对①、②、③分别验证即可.
【详解】
依题意解得x≠－1，x≠1且x≠3，
对于①：当x＝2或2－x＝2，即x＝2或0时，M中的元素为0，2，故①可能正确；
对于②：当x＝1或2－x＝1，即x＝1时，M中两元素为1，1不满足互异性，故②不正确，
③显然正确．
故答案为：②
（2）．（2022·全国·高三专题练习）设集合，若，则的值为（ ）．
A．，2 B． C．，，2 D．，2
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合中元素确定性得到：，或，通过检验，排除掉.
【详解】
由集合中元素的确定性知或．
当时，或；当时，．
当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求；
当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求．
综上，或．
故选：D．
【变式训练2-1】、（2022·江苏·高一）下列元素与集合的关系判断正确的是（ ）
A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1 Z
【答案】A
【解析】
【分析】
根据元素和集合的关系逐一判断即可.
【详解】
0是自然数，是无理数，不是有理数，是整数，根据元素和集合的关系可知，只有A正确；
故选：A
【变式训练2-2】、（2020·云南弥勒市一中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由，分别令解出检验即可.
【详解】
集合，，令得；令得；
令得；又，故集合
故选：B．
【点睛】
本题考查由元素与集合的关系求解具体集合，属于基础题
重难点3 集合的表示方法
对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．
但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．
例3．（1）、（2021·全国·高一课时练习）用描述法表示下列集合．
（1）小于5的正有理数组成的集合：______；
（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：______；
（3）偶数集：______；
（4）抛物线上的所有点组成的集合：______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据各项集合的自然语言描述，直接应用描述法写出集合即可.
【详解】
（1）由描述可得：集合为.
（2）第一、三象限角平分线上的所有点都在上，故集合为.
（3）由偶数可表示为，故集合为.
（4）由描述知：集合为.
故答案为：，，，.
（2）、（2021·全国·高一课时练习）若、、且、，集合，则用列举法可表示为______.
【答案】
【解析】
【分析】
分别讨论正负即可求出.
【详解】
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以用列举法可表示为.
故答案为：.
【变式训练3-1】、（2020·运城市景胜中学高一开学考试）根据要求写出下列集合.
（1）已知，用列举法表示集合.
（2）已知集合，用列举法表示集合A．
（3）已知方程组，分别用描述法、列举法表示该集合.
（4）已知集合B={(x，y)|2x+y-5=0，x∈N，y∈N}，用列举法表示该集合.
（5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.
【答案】（1）{2}；（2）{2，4，8，16}；（3）{(x，y)|x=1，y=2}，{(1，2)}；（4）{(0，5)，(1，3)，(2，1)}；（5）{(x，y)|xy=0}.
【分析】
分别求出各集合的元素或元素特点，即可表示出.
【详解】
（1），，解得，
的解为，
用列举法表示集合为；
（2），则可取的值有1，2，4，8，16，的可能值有7，6，4，0，，
，，，
；
（3）方程组的解为，
用描述法表示该集合为，列举法表示该集合为；
（4）当时，；当时，；当时，，
用列举法表示该集合为；
（5）坐标轴上的点满足或，即，
则该集合可表示为.
【点睛】
本题考查集合的表示方法，属于基础题.
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一课时练习）集合用列举法表示为______.
【答案】{2,3}##{3,2}
【解析】
【分析】
直接解方程，用列举法表示出集合即可﹒
【详解】
方程的两个解为2或3，故集合
故答案为：
重难点4 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。
例4．（1）、（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）集合，且，则实数m=________.
【答案】1或##或1
【解析】
【分析】
由题意可得，求出，
【详解】
因为，且，
所以，
由，得，解得或
故答案为：1或
（2）．（2021·全国高一课时练习）设a，，若集合，则_______.
【答案】2
【分析】
由集合相等的定义，分类讨论求出，，代入求解即可.
【详解】
由易知，
由两个集合相等定义可知
若，得，经验证，符合题意；
若，由于，则方程组无解
综上可知，，，故.
故答案为：2
【变式训练4-1】、（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合与集合相等列式即可求解
【详解】
因为
所以解之得：
故答案为：
【变式训练4-2】、（2021·重庆·西南大学附中高一阶段练习）（多选题）下列选项中两个集合相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用集合相等判断.
【详解】
A. 因为，故两个集合相等；
B. 因为的元素是， 的元素为0，故两个集合不相等；
C. 因为 且，故两个集合相等；
D. ，故两个集合相等；
故选：ACD
重难点5 与集合中的元素个数有关问题的
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例5．（2020·辽宁·本溪高中高一阶段练习）已知集合，若中只有一个元素，则的值是（ ）
A． B．0或 C．1 D．0或1
【答案】B
【解析】
【分析】
集合只含有一个元素，说明方程只有一个解.时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式，所以解出即可，这样的值就都求出来了.
【详解】
集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解；
（1）当时，方程化为，只有一个解；
（2）当时，若只有一个解，只需，即；
综上所述，可知的值为或.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题.
【变式训练5-1】、（多选题）（2020·江苏省通州高级中学高一月考）集合中有且仅有一个元素，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】AC
【分析】
分，和两种情况讨论，可得，或.
【详解】
当时，可得，符合题意；
当时，因为方程有唯一解，
所以.
故选：AC.
【点睛】
此题的关键是是否为零决定方程是一次方程还是二次方程，影响到根的个数.
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）且；（2）或
【解析】
【分析】
（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；
（2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解；
【详解】
（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且.
故实数的取值范围是且
（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
【变式训练6-1】、（2021·全国·高一课时练习）用集合表示关于的方程的根组成的集合．
（1）若集合是空集，求实数的取值范围；
（2）若集合中仅有一个元素，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或1．
【解析】
【分析】
（1）集合是空集，转化为关于的方程无解，列出不等式组，求解即可；
（2）分，两种情况讨论，当时，即，即得解
【详解】
（1）若集合是空集，则关于的方程无解，
则有
即．
（2）当时，原方程变为，
所以，此时集合中仅有一个元素2．
当时，要使一元二次方程有两个相等的实根，
需要，即．
此时方程的解为，集合中仅有一个元素4．
综上所述，或1．
四、课堂训练
1．（2022·广西·高二学业考试）已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（ ）
A．{x|x=1} B．{x|x=2} C．{1，2} D．{1，2，3}
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的知识确定正确选项.
【详解】
由于集合是由三个元素构成，
所以.
故选：D
2．（2021·湖北武汉·高一期中）（多选题）下列关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据元素与集合间的关系逐项判断即可.
【详解】
因为是整数集，故，所以A正确；
因为是实数集，故，所以B错误；
因为是有理数集，故，所以C错误；
因为是自然数集，故，所以D正确，
故选：AD.
3．（2021·全国·高一课时练习）用列举法表示下列集合．
（1）不超过11的所有素数组成的集合：______；
（2）：_______；
（3）：_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据各集合的描述，列举出集合中的元素即可.
【详解】
（1）由题设，符合条件所有素数的集合为.
（2）由题设，且，则：
时，；
时，；
时，；
时，；
时，；
∴集合为.
（3）由集合的描述知：为均符合要求，
∴集合为.
4．（2022·江苏·高一）已知集合，其中为常数，且.
(1)若是空集，求的范围；
(2)若中只有一个元素，求的值；
(3)若中至多只有一个元素，求的范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】
（1）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则，根据判别式即可求解；
（2）分a＝0和a≠0讨论即可；
（3）综合（1）（2）即可得出结论.
(1)
若是空集，则方程无解，
此时，即，
(2)
若中只有一个元素，则方程有且只有一个实根，
当时方程为一元一次方程，满足条件
当，此时，解得：.
∴或；
(3)
若中至多只有一个元素，则为空集，或有且只有一个元素
由①②得满足条件的的取值范围是：或.
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