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突破1.2 集合的基本关系
A组 基础巩固
1．（2022·江西·九江实验中学模拟预测）已知集合，且中的至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（2022·江苏·高一）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
3．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022·全国·高一专题练习）已知，，若，则的值为( )
A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．
5．（2022·江苏·高一）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·北京·人大附中高三阶段练习）若，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
9．（2021·全国·高一专题练习）已知a，b为实数，集合，集合，若，则实数的值是（ ）
A． B．0 C． D．1
10．（2022·全国·高一专题练习）同时满足：①，②，则的非空集合M有（ ）
A．6个 B．7个
C．15个 D．16个
11．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知集合，，则满足条件 的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
12．（2022·安徽·亳州二中高二期末）设集合，则集合的子集个数为________.
13．（2022·全国·高一）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”，则的取值为____________．
14．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）设集合，.若，则_______.
15．（2022·全国·高三专题练习（理））设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.
B组 能力提升
16．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）（多选题）设，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高一专题练习）已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
18．（2022·全国·高一专题练习）已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
19．（2021·上海市奉贤中学高一期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
20．（2021·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知集合.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得，？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
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突破1.2 集合的基本关系
A组 基础巩固
1．（2022·江西·九江实验中学模拟预测）已知集合，且中的至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】
【分析】
分情况讨论集合的情况.
【详解】
当集合中无偶数，则，或，
当集合中只有一个偶数，则，或，或，或，
共有个，
故选：D.
2．（2022·江苏·高一）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（ ）
A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合相等求解.
【详解】
解：因为，
所以，
解得或，
的取值集合为，
故选：C
3．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据真子集的定义进行求解即可.
【详解】
因为集合的所有非空真子集为：，
所以有，
故选：D
4．（2022·全国·高一专题练习）已知，，若，则的值为( )
A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
A＝{－1，1}，若，则＝±1，据此即可求解﹒
【详解】
，，
若，则＝1或－1，故a＝1或－1．
故选：A．
5．（2022·江苏·高一）设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据集合的描述确定、的元素，进而判断它们的包含关系即可.
【详解】
由且，即，而，
所以为的子集，则.
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合交集运算法则进行计算.
【详解】
由已知，，又表示整数，表示奇数，故，
故选：B
7．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
明确和的含义，可判断A,B;说明是数集，而是点集，判断C;
当在时不成立，判断D;
【详解】
对于A, 是单元素集合，元素为0，而是空集，二者不相等，故A错误；
对于B，空集为任何一个集合的子集，故正确；
对于C， 的元素为0,1，而的元素为点，二者没有包含关系，故错误；
对于D, 当 表示不同的点，故 在时不相等，故错误，
故选：B
8．（2021·北京·人大附中高三阶段练习）若，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项.
【详解】
解：因为，所以，解得，所以，
故选：C.
9．（2021·全国·高一专题练习）已知a，b为实数，集合，集合，若，则实数的值是（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合相等得到方程组，求出的值，即可得解；
【详解】
解：因为集合，集合，且，
所以，所以，，
所以.
故选：C.
10．（2022·全国·高一专题练习）同时满足：①，②，则的非空集合M有（ ）
A．6个 B．7个
C．15个 D．16个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给条件确定M中元素，再根据M是所给集合的子集，得到所有的M即可求解.
【详解】
时，；时，；时，；时，；，，
∴非空集合M为，，，，，，，共7个．
故选：B
11．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知集合，，则满足条件 的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合A，B，根据条件 确定集合的个数即可.
【详解】
因为，,
且
所以集合C的个数为
故选：C
12．（2022·安徽·亳州二中高二期末）设集合，则集合的子集个数为________.
【答案】8##8个
【解析】
【分析】
根据集合中的，确定中的元素，根据元素的个数求子集的个数.
【详解】
由，可得，因为，则或或；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
所以，集合含有3个元素，则集合的子集个数为个.
13．（2022·全国·高一）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”，则的取值为____________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据题中定义，结合子集的定义进行求解即可.
【详解】
当时，，显然，符合题意；
当时，显然集合中元素是两个互为相反数的实数，而集合中的两个元素不互为相反数，所以集合、之间不存在子集关系，不符合题意，
故答案为：
14．（2022·上海市复兴高级中学高三阶段练习）设集合，.若，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可知集合是集合的子集，进而求出答案.
【详解】
由知集合是集合的子集，
所以，
故答案为：.
15．（2022·全国·高三专题练习（理））设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.
【详解】
集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，
若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，
若集合中只含个偶数，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；
若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.
因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；
若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；
若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；
若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.
综上所述，满足条件的集合的个数为.
故答案为：.
B组 能力提升
16．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）（多选题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.
【详解】
依题意集合B的元素为集合A的子集，
所以
所以，，
所以AD错误，BC正确.
故选：BC
17．（2022·全国·高一专题练习）已知集合.
(1)若，求，的值；
(2)若，且，求，的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；
（2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解.
(1)
解：若，
则有，解得；
(2)
解：，
因为，
所以，解得.
18．（2022·全国·高一专题练习）已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）由题得，解即得解；
（2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解.
(1)
解：由题得.
若是的子集，则，
所以.
(2)
解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，
得，即，符合要求；
③若为双元素集合，，则.
综上所述，或.
19．（2021·上海市奉贤中学高一期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论
(1)
由题可知，
(1)当时， ，
(2) 当时，，
（3）当或时，
所以
(2)
（1）当时，，
（2）当时，
（3）当或时，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或 或 ，
解得或（舍去）,
所以或.
(3)
证明：，
，
，
，即
，
又，
所以，
所以
20．（2021·福建省龙岩第一中学高一开学考试）已知集合.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使得，？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由包含关系可构造不等式组求得结果；
（2）由集合相等关系可得方程组，由方程组无解知不存在.
(1)
，，解得：，即实数的取值范围为；
(2)
由得：，方程组无解，不存在满足题意的.
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