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突破1.2 集合间的基本关系
一、考情分析
二、经验分享
1．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即．
②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．
2．真子集
（1）子集的概念
如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．
如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：
（2）真子集的性质
对于集合，，，如果，，那么．
辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．
3．集合相等
如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．
4．集合相等
（1）．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．
（2）．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即；
（2）空集是任何非空集合的___________，即．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【知识拓展】
若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2.奇数集：.
三、题型分析
(一) 求集合的子集和真子集
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；若既有A B，又有B A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例1．（1）、（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2）、（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）设集合，则集合的子集个数为________
【变式训练1-1】、（2021·广东·江门市广雅中学高一阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为______．
【变式训练1-2】．（2020·贵州省铜仁第一中学高一期中）已知集合，3，，，，若，则实数__.
例2．（2021·海南·文昌中学高一阶段练习）若集合，，则集合之间的关系为（ ）
A．AB B．BA
C． D．
【变式训练2-1】．（2020·西安市第八十三中学高一月考）集合，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
(二) 空集
例3．（1）、（2022·全国·高一专题练习）下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(2)、（2022·全国·高一专题练习）（多选题）下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】．(多选题）（2020·深州长江中学）下列各式中，正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列关系式错误的是（ ）
A． B． C． D．
(三) 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例4．（1）、（2022·全国·高一专题练习）设，，，若，则（ ）.
A． B． C．.0 D．1
（2）、（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
【变式训练4-1】、（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知集合，若，则（ ）
A．1 B．0 C． D．无法确定
【变式训练4-2】、（2021·重庆市清华中学校高一阶段练习）设集合，则等于________．
(四) 子集和真子集个数问题
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【名师点睛】如果有限非空集合中有n个元素，则：
（1）集合的子集个数为；
（2）集合的真子集个数为；
（3）集合的非空子集个数为；
（4）集合的非空真子集个数为．
例5．（1）、（2021·江西·临川一中高一阶段练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
（2）、（2021·福建福州·高一期中）（多选题）已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】、（2021·河南·郑州市第二高级中学高一阶段练习）若集合只有两个子集，则集合______．
【变式训练5-2】、（2020·西安市第八十三中学高一月考）满足的集合有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．16个
(五) 根据两个集合之间的关系求参数范围
例6．（2019·金华市江南中学高一月考）35．（2021·重庆·高一阶段练习）已知集合．
(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
(2)若，且，求实数的取值集合．
例7．（2021·全国·高一课时练习）已知集合，.
（1）若 ，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围.
例8．（2021·全国·高一课时练习）设集合，．
(1)当时，求A的非空真子集个数；
(2)当时，求m的取值范围．
四、课堂训练
1．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知集合，，若，则实数a =（ ）
A． B．1 C．0或 D．0或1
2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，若，求实数的取值范围_______.
3．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
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突破1.2 集合间的基本关系
一、考情分析
二、经验分享
1．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即．
②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．
2．真子集
（1）子集的概念
如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．
如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：
（2）真子集的性质
对于集合，，，如果，，那么．
辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．
3．集合相等
如果集合是集合的___________（），且集合是集合的___________（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作．用Venn图表示如图所示．
4．集合相等
（1）．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．
（2）．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即；
（2）空集是任何非空集合的___________，即．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【知识拓展】
若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2.奇数集：.
三、题型分析
(一) 求集合的子集和真子集
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；若既有A B，又有B A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例1．（1）、（2022·河南·开封市东信学校模拟预测）集合的非空真子集的个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据真子集的定义即可求解.
【详解】
由题意可知，集合A的非空真子集为，共6个.
故选：B.
（2）、（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）设集合，则集合的子集个数为________
【答案】16
【解析】
【分析】
先化简集合A，再利用子集的定义求解.
【详解】
解：，
故A的子集个数为，
故答案为：16
【变式训练1-1】、（2021·广东·江门市广雅中学高一阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据集合A，写出其真子集，即可得答案.
【详解】
因为集合，
所以集合A的真子集为、、，
所以集合A在真子集个数为3.
故答案为：3
【变式训练1-2】．（2020·贵州省铜仁第一中学高一期中）已知集合，3，，，，若，则实数__.
【答案】1或3
【分析】
利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果.
【详解】
解：，，或，
解得，或或，
将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，
故或3.
故答案为：1或3
例2．（2021·海南·文昌中学高一阶段练习）若集合，，则集合之间的关系为（ ）
A．AB B．BA
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据子集的定义证得和，即可得出结论.
【详解】
设任意，则，当时，
所以；当时，
，所以．所以
又设任意，则
因为，，
且表示所有的偶数，表示所有的奇数．
所以与都表示所有的奇数．所以．
所以故．
故选：C.
【变式训练2-1】．（2020·西安市第八十三中学高一月考）集合，，之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别求出集合、、的元素，再根据集合包含关系和相等关系的定义即可求解.
【详解】
因为，所以，所以集合中的元素是的整数倍加这样的数，
，所以集合中的元素是的整数倍加这样的数，
因为，所以是偶数，所以集合中的元素是的偶数倍加这样的数，
所以，故选：D.
(二) 空集
例3．（1）、（2022·全国·高一专题练习）下列各式中关系符号运用正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.
【详解】
根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；
根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；
根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.
故选：C.
(2)、（2022·全国·高一专题练习）（多选题）下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.
【详解】
由空集的定义知：，A正确.
,B正确.
，C错误.
,D正确.
故选：ABD.
【变式训练3-1】．(多选题）（2020·深州长江中学）下列各式中，正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
利用集合间的关系及空集的性质，即可知各选项的正误.
【详解】
A中，集合与集合间没有从属关系，错误.
B中，是相等的集合，所以，正确.
C中，空集是任何集合的子集，正确.
D中，空集与一个非空集合不相等，错误.
故选：BC
【变式训练3-2】．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列关系式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.
【详解】
A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；
B选项根据子集的定义可知正确；
C选项由于符号用于集合与集合间，C错误；
D选项是整数集，所以正确.
故选：AC.
(三) 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例4．（1）、（2022·全国·高一专题练习）设，，，若，则（ ）.
A． B． C．.0 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两个集合相等，元素相同，得到，进而求出答案.
【详解】
由题意得：，所以
故选：A
（2）、（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知，.若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合与集合相等列式即可求解
【详解】
因为
所以解之得：
故答案为：
【变式训练4-1】、（2021·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）已知集合，若，则（ ）
A．1 B．0 C． D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：①，②，结合集合中元素的互异性以及集合相等的定义可求出结果.
【详解】
由可知，，
因为，所以或，
①当时，得或（舍），则，解得或（舍），
此时，符合题意，
此时；
②当时，得或（舍），则，解得或（舍），
此时，符合题意，
此时.
综上所述：.
故选：C
【变式训练4-2】、（2021·重庆市清华中学校高一阶段练习）设集合，则等于________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据，求得a，b即可.
【详解】
因为集合，
所以，
所以，
故答案为：1
(四) 子集和真子集个数问题
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【名师点睛】如果有限非空集合中有n个元素，则：
（1）集合的子集个数为；
（2）集合的真子集个数为；
（3）集合的非空子集个数为；
（4）集合的非空真子集个数为．
例5．（1）、（2021·江西·临川一中高一阶段练习）已知集合，，则满足的集合的个数为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．16
【答案】B
【解析】
先分别用列举法表示出，然后根据确定出中一定有的元素和可能有的元素，从而求解出满足的的个数.
【详解】
因为的解为或，所以；
又因为，且，所以中一定含有元素，可能含有元素，
所以的个数即为集合的子集个数：，
故选：B.
【点睛】
本题考查根据集合的子集关系求解符合条件的集合个数，解答问题的关键是确定出集合中一定包含的元素和可能包含的元素，难度一般.
（2）、（2021·福建福州·高一期中）（多选题）已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
因为集合，
对于A：满足，所以选项A符合题意；
对于B：满足，所以选项B符合题意；
对于C：满足，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，
故选：ABC.
【变式训练5-1】、（2021·河南·郑州市第二高级中学高一阶段练习）若集合只有两个子集，则集合______．
【答案】或
【解析】
【分析】
集合A只有两个子集，故A中只有一个元素，即方程只有一个解，然后分类讨论，或，分别计算即得解
【详解】
由题意，集合A只有两个子集，故A中只有一个元素
方程只有一个解；
当时，，，满足题意；
当时，；
；
解得，；
或．
故答案为：或．
【变式训练5-2】、（2020·西安市第八十三中学高一月考）满足的集合有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．16个
【答案】C
【分析】
根据子集的概念可知，集合X中必含有元素1，且最多含有4个元素，对集合X中元素个数分类，即可列举出满足题意的集合X，从而求出个数.
【详解】
解：由题意可以确定集合X中必含有元素1，且最多含有4个元素，
因此集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，
{1，2，3，4}，共8个.
故选：C．
(五) 根据两个集合之间的关系求参数范围
例6．（2019·金华市江南中学高一月考）（2021·重庆·高一阶段练习）已知集合．
(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
(2)若，且，求实数的取值集合．
【答案】(1)，，，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据集合包含关系和可直接得到结果；
（2）分别在和两种情况下，根据构造方程可求得结果.
(1)
，，可能的集合为：，，，；
(2)
当时，，满足；
当时，；若，则或或，
解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
例7．（2021·全国·高一课时练习）已知集合，.
（1）若 ，求实数a的取值范围；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 ，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
【详解】
（1）由题意，集合，，
又由 ，可得，
所以实数的取值范围是；
(2) 由集合，，
又由，
当时，，满足题意；
当时，，
所以，
综上可知：，
即实数的取值范围是.
例8．（2021·全国·高一课时练习）设集合，．
(1)当时，求A的非空真子集个数；
(2)当时，求m的取值范围．
【答案】(1)62
(2)
【解析】
【分析】
（1）由条件确定集合A中元素，即可求解；
（2）由，分类讨论，建立不等式求解即可.
(1)
（1）∵，
∴，
∴A的非空真子集的个数为．
(2)
分两种情况讨论：①当时，，则；
②当时，解得．
综上可得，m的取值范围为．
四、课堂训练
1．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知集合，，若，则实数a =（ ）
A． B．1 C．0或 D．0或1
【答案】C
【解析】
【分析】
分与两种情况讨论，根据，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：当时，，满足；
当时，，所以，解得，
综上实数的所有可能取值的集合为．
故选：C．
2．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，，若，求实数的取值范围_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系画出数轴即可计算.
【详解】
∵，
∴A和C如图：
∴a＜3.
故答案为：.
3．（2021·全国·高一课时练习）已知集合．
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围；
（2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围．
(1)
解：由题可知，，，
①若，则，即；
②若，则，解得：；
综合①②，得实数的取值范围是．
(2)
解：已知，，，
则，解得：，
所以实数的取值范围是．
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