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突破1.3 集合的基本运算
A组 基础巩固
1．（广东省珠海市2020-2021学年高二下学期期末数学试题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由并集的定义即可得出答案,
【详解】
，，所以.
故选：C.
2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据解一元二次不等式的解法，结合集合并集的定义进行求解即可.
【详解】
∵，，∴.
故选：B.
3．（2022·广东广州·高二期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用数轴表示出两集合的范围，进而得到.
【详解】
在数轴上分别表示出集合与集合，
如图所示：
.
故选：B.
4．（2022·云南玉溪·高二期末）已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用交集的运算计算即可.
【详解】
集合，，则=，
故选：C
5．（2022·浙江省义乌中学高一期末）已知集合，集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据交集的定义求出，即可得出答案.
【详解】
解：因为集合，集合，
所以，
所以中元素的个数为3个.
故选：C.
6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据补集运算的概念，即可得答案.
【详解】
由题意得.
故选：C
7．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求得解.
【详解】
解：图中阴影部分所表示的集合为.
故选：B
8．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出集合、，再求可得答案.
【详解】
集合，，
，则.
故选：A.
9．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先化简集合A，再根据补集的运算得到，再根据交集的运算即可得出答案.
【详解】
因为，
所以或.
所以
故选：B.
10．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知集合，，则 __________ .
【答案】
【解析】
【分析】
由并集的定义即可求解.
【详解】
由题，，
故答案为：
11．（2022·上海闵行·二模）设全集，集合，则___________；
【答案】
【解析】
【分析】
先计算方程，求出，从而求出补集.
【详解】
由解得：，
所以，故
故答案为：
12．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）若集合，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出集合A和集合B的补集，再求两集合的交集即可
【详解】
依题意，，，
则，
故．
故答案为：
13．（2022·上海交大附中高三开学考试）设全集，集合，在______
【答案】
【解析】
【分析】
利用集合的补运算求即可.
【详解】
由，，则.
故答案为：.
14．（2021·江西宜春·高一阶段练习）已知函数，集合为函数的定义域，集合为函数的值域，若定义且，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分别求得定义域和值域，根据集合的新定义计算即可得出结果.
【详解】
要使函数有意义，则，解得，
所以，函数的值城，
且,且.
.
故答案为：.
15．（2021·天津一中高一阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，设集合，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意为对应方程的两根，结合韦达定理可得，由集合补集运算的定义，即得解
【详解】
由题意，不等式的解集为
故为对应方程的两根
由韦达定理，
故集合，
故答案为：
16．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过解一元二次不等式，求解函数值域，结合，，用列举法表示集合，再结合补集的定义，即得解
【详解】
由题意，，又
又
由于，又
故故答案为：
B组 能力提升
17．（2022·江苏·高一）(多选)已知集合，．若，则实数m的值为（ ）
A．0 B．1
C．3 D．3
【答案】AD
【解析】
【分析】
依题意可得，即可得到或，即可求出，再代入检验即可；
【详解】
解：因为，所以．因为，，所以或，解得或或.
当时，，，符合题意；
当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当时，，，符合题意．综上，或；
故选：AD
18．（2022·江苏·高一单元测试）（多选题）整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，其中．以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则整数a，b属同一类
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据题意可知，一个类即这些整数的余数相同，进而求出余数即可.
【详解】
对A，，即余数为1，正确；
对B，，即余数为3，错误；
对C，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；
对D，由题意能被5整除，则分别被5整除的余数相同，正确.
故选：ACD.
19．（2021·山东潍坊·高一阶段练习）（多选题）在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论，其中正确的结论为（ ）
A． B．
C． D．若，则整数a，b属于同一类
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据“类”的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项．
【详解】
对于A ：因为，所以，故选项A正确；
对于B：因为，所以，故选项B错误；
对于C：根据“类”的概念知正确，故选项C正确；
对于D：若，设，即，不妨令，，，，，，5,6，
则，，，所以与属于同一类，故选项D正确；
故选：ACD
20．（2021·广东·华南师大附中高一期中）（多选题）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（ ）
A．对于任意集合A，都有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据P（A）的定义判断ACD，结合n（A）的定义判断B，由此可得正确选项.
【详解】
对于任意集合A，都有，所以，A对，
由已知可得，，又，
所以，B对，
∵ ，
所以，
所以，C错误，
对于任意的，则，又，所以，所以，
D对，
故选：ABD.
21．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）已知集合，，.
(1)求，；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，或；
(2).
【解析】
【分析】
（1）直接利用集合并集、交集和补集的定义求解；
（2）分析即得解.
(1)
解：因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2所以．
因为A＝{x|3≤x<7}，
所以或
则或.
(2)
解：因为A＝{x|3≤x<7}，C＝{x|}，且，
所以.
所以a的取值范围为．
22．（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）已知集合.
(1)求，；
(2)若，且AC，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）解不等式求得集合，由此求得，进而求得.
（2）根据是的子集列不等式组，由此求得的取值范围.
(1)
，所以，
所以.
(2)
由于，且AC，
所以，
所以的取值范围是.
23．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）已知全集为R，集合，.
(1)求A∪B;
(2)求;
(3)若，且,求a的取值范围.
【答案】(1).
(2)或.
(3)或.
【解析】
【分析】
（1）解出集合B，即可求出A∪B；
（2）先求，再求；
（3）先求出或，根据，列不等式，求出a的范围.
(1)
.
所以.
(2)
因为，，
所以，
所以或.
(3)
因为，所以或.
因为，且，
所以或，
解得：或.
即a的取值范围或.
24．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，．
(1)求集合；
(2)当时，求；
(3)若，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题干条件以及补集的定义可得解；
（2）根据题干条件以及交集的定义可得解；
（3）根据（1）可得或，结合，分析即得解
(1)
由题意，
故或
(2)
当时，
故
(3)
由（1）或
若，则
解得
25．（2022·上海市大同中学高一期末）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）当时，代入集合中，写出集合，再解出集合，取交集即取公共的部分即可.
（2）由题意知，分为两种情况与，分别求出a的取值范围再取并集即可.
(1)
当时，，，故.
(2)
由知，①当时，. ②当时，.综上.
26．（2021·湖南师大附中高一阶段练习）已知集合，，，集合，.
(1)若集合，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用集合交集的定义得到，，代入方程求解即可；
（2）利用子集的定义，分，，，，，
由根与系数的关系，列式求解即可.
(1)
因为集合，，，，
又集合，
所以，，
将代入方程，可得，
解得或，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意.
综上所述，或；
(2)
若，则，
当时，方程无解，
则，解得；
当时，则，无解；
当时，则，无解；
当，时，则，无解.
综上所述，实数的取值范围为.
27．（2021·北京·清华附中高一期中）设，集合，若个互不相同的非空集合，同时满足下面两个条件，则称是集合的“规范子集组”
①；
②对任意的，要么，要么中的一个是另一个的子集．
(1)直接写出集合的一个“规范子集组”
(2)若是集合的“规范子集组”，
（ⅰ）求证：中至多有1个集合对，满足且；
（ⅱ）求的最大值
【答案】(1)
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】
（1）根据题意写出答案即可；
（2）（ⅰ）利用反证法证明即可；
（ⅱ）设，当时，令，当时，令，这样取出的个集合满足题意，用数学归纳法证明，将分为三类：①全集；②不为全集，且与的交集不为空集；③与的交集为空集，讨论从而可得出答案.
(1)
解：设，令，则满足且，
所以的一个“规范子集组”为；
(2)
（ⅰ）证明：利用反证法证明：
解：假设“存在两个不同的集合对；”
依题意即互补，不妨设对“规范k-子集组”来讲：
一方面，时，，
另一方面，其中存在两个不同的集合对；满足，
不妨设，即，再由“”，得，
此时，要么，要么是的真子集，
若，则，
故，这与与矛盾；
若是的真子集，则是的真子集，
此时，且彼此都不是对方的子集，
综上，假设“存在两个不同的集合对；”不成立，所以原结论成立，证毕.
（ⅱ）解：设，
当时，令，
当时，令，
这样取出的个集合满足题意，
下面用数学归纳法证明，
当时，结论成立；
假设当时，结论成立，
当时，考虑中不为全集且元素个数最多的集合（记为，并设中有个元素），则，
将分为三类：
①全集；
②不为全集，且与的交集不为空集；
③与的交集为空集.
由的选取，知②中的集合均为的子集，且依然满足条件，由归纳假设可知②中的集合的个数不超过，
而③中的集合均为的子集，有归纳假设可知集合的个数不超过，
所以，
即当时，结论成立，
所以均有，
即的最大值为.
【点睛】
本题考查了集合新定义问题，考查了分类讨论思想，和数据分析能力，对逻辑推理能力要求比较高，难度较大.
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突破1.3 集合的基本运算
A组 基础巩固
1．（广东省珠海市2020-2021学年高二下学期期末数学试题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽·合肥一中高二期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东广州·高二期末）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·云南玉溪·高二期末）已知集合，，则=（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江省义乌中学高一期末）已知集合，集合，则中元素的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（理））已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·河南安阳·高二阶段练习（理））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知集合，，则 __________ .
11．（2022·上海闵行·二模）设全集，集合，则___________；
12．（2022·安徽省利辛县第一中学高一阶段练习）若集合，，则______．
13．（2022·上海交大附中高三开学考试）设全集，集合，在______
14．（2021·江西宜春·高一阶段练习）已知函数，集合为函数的定义域，集合为函数的值域，若定义且，，则___________.
15．（2021·天津一中高一阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，设集合，则___________.
16．（2021·上海·模拟预测）已知集合，，则__________.
B组 能力提升
17．（2022·江苏·高一）(多选)已知集合，．若，则实数m的值为（ ）
A．0 B．1
C．3 D．3
18．（2022·江苏·高一单元测试）（多选题）整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即，其中．以下判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则整数a，b属同一类
19．（2021·山东潍坊·高一阶段练习）（多选题）在整数集中，被7除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，给出如下四个结论，其中正确的结论为（ ）
A． B．
C． D．若，则整数a，b属于同一类
20．（2021·广东·华南师大附中高一期中）（多选题）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（ ）
A．对于任意集合A，都有 B．若，则
C．若，则 D．若，则
21．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）已知集合，，.
(1)求，；
(2)若，求的取值范围.
22．（2021·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）已知集合.
(1)求，；
(2)若，且AC，求a的取值范围.
23．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）已知全集为R，集合，.
(1)求A∪B;
(2)求;
(3)若，且,求a的取值范围.
24．（2022·全国·高一专题练习）已知集合，．
(1)求集合；
(2)当时，求；
(3)若，求的取值范围．
25．（2022·上海市大同中学高一期末）已知集合，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围．
26．（2021·湖南师大附中高一阶段练习）已知集合，，，集合，.
(1)若集合，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
27．（2021·北京·清华附中高一期中）设，集合，若个互不相同的非空集合，同时满足下面两个条件，则称是集合的“规范子集组”
①；
②对任意的，要么，要么中的一个是另一个的子集．
(1)直接写出集合的一个“规范子集组”
(2)若是集合的“规范子集组”，
（ⅰ）求证：中至多有1个集合对，满足且；
（ⅱ）求的最大值
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