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突破1.4 充分条件与必要条件
A组 基础巩固
1．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
根据充分与必要条件的概念，举例判断即可
【详解】
当时，满足，但不满足；又当时，满足，但不满足.故“”是“”的既不充分也不必要条件
故选：D
2．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】
对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；
对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；
对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是；
对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是.
故选：C
3．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三期中（文））命题 ；命题 ，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
首先判断两个集合的关系，即可判断选项.
【详解】
设，，
因为，所以是的必要不充分条件.
故选：B
4．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）设x，y都是实数，则“且”是“或”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据充分性和必要性进行判断即可.
【详解】
由题意知：且能推出或，满足充分性；反过来或不能推出且，不满足必要性，
故“且”是“或”的充分非必要条件.
故选：A.
5．（2021·江西·高一阶段练习）一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意首先求出的取值范围，再根据充分不必要的含义求解即可.
【详解】
由题意，不妨设，
因为，且有一个正实数根和一个负实数根，
所以的图像开口向下，即，
故
对于选项ABCD，只有C选项：是的充分不必要条件.
故选：C.
6．（2021·江苏·高一期中）下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知，即方程有实数解，当时，符合题意，当时，由解得的范围即为“是集合的真子集”成立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项.
【详解】
若“是集合的真子集”
所以，
所以方程有实数解，
当时，由可得，符合题意，
当时，由可得，
所以且，
综上所述：的充要条件为；
即“是集合的真子集”成立充要条件为；
所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集，
由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确；
故选：D.
7．（2022·全国·高一期末）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.
【详解】
解：不等式成立的充分条件是，
设不等式的解集为A，则，
当时，，不满足要求；
当时，，
若，则，解得.
故选：A.
8．（2021·河北省博野中学高一阶段练习）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】
因为“不等式在上恒成立”，所以当时，原不等式为在上不是恒成立的，所以，
所以“不等式在上恒成立”，等价于，解得.
A选项是充要条件，不成立；
B选项中，不可推导出，B不成立；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的必要不充分条件，正确；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，D不正确.
故选：C.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
9．（2021·全国·高一专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
解不等式，根据已知条件可得出集合间的包含关系，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
解不等式可得.
因为“”是“”的充分不必要条件，则 ，
由题意可得，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则求解：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含．
10．（2021·全国·高一课时练习）“”是“”的______条件（选填“充分非必要”、“不要非充分”或“充要”）.
【答案】充分非必要
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
当时，则，则，由不等式的性质可得，即“”“”；
若，当时，，即“”“”.
因此，“”是“”的充分非必要条件.
故答案为：充分非必要.
11．（2021·全国·高一课时练习）若命题p：，命题q：，则p是q的________条件．
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】
根据，即可得到答案.
【详解】
，解得，
因为，所以命题p：是命题q：的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
12．（2021·上海市延安中学高一期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果.
【详解】
是的必要条件
，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：
13．（2021·江苏·高一期中）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
解一元二次不等式求得，根据是的必要不充分条件求得的取值范围.
【详解】
由，解得.
所以.
由于是的必要不充分条件，所以，
解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查根据必要不充分条件求参数，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
B组 能力提升
14．（2022·广东肇庆·高一期末）（多选题）下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据充分条件与必要条件的知识，结合不等式或方程的知识对选项逐一判断即可选出答案.
【详解】
对于A，“”成立，“”不一定成立，A错误；
对于B，“”可以推出“”，
取，得，但，
所以“”不能推出“”，B正确；
对于C，的两个根为或，C正确；
对于D，“”不能推出“”，同时“”也不能推出“”，D错误．
故选:BC．
15．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）“不等式在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.
【详解】
因为“不等式在上恒成立”，所以等价于二次方程的判别式，即.
所以A选项是充要条件，A不正确；
B选项中，不可推导出，B不正确；
C选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，故C正确；
D选项中，可推导，且不可推导，故是的充分不必要条件，故D正确.
故选：CD.
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．
16．（2021·江苏·高一单元测试）（多选题）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣2 B． C． D．
【答案】BC
【解析】
根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
【详解】
由题意得，
当时，，
当时，，
因为p是q的必要不充分条件，所以 A，
所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或，
故选：BC.
【点睛】
本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.
17．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设命题:实数满足，命题:实数满足，其中.
(1)若，且为真，求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)2
(2)1【解析】
【分析】
（1）由复合命题的真值表可得；
（2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得.
(1)
当a=1时，命题p:2又p∧q为真，所以，故实数x的取值范围是2(2)
命题p:2故实数a的取值范围是118．（2023·全国·高三专题练习）已知，，其中.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)是否存在m，使得是q的必要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
分别求出命题与命题，再根据充分条件与必要条件即可解出答案.
(1)
命题.
命题.
若p是q的充分条件，则
即
(2)
:或.
是q的必要条件,则
即或；解得：或；又
故不存在使是q的必要条件.
【点睛】
本题考查充分必要条件.属于基础题.解本类题型常用“小范围可以推大范围，大范围不能推小范围”来解决.
19．（2022·江苏·高一）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据，由BA求解;
（2）根据是的充分条件，由AB求解.
(1)
解：因为，，且 ，
所以BA，则，
解得，
所以实数的取值范围是；
(2)
因为是的充分条件，
所以AB，
则，
解得，
所以的取值范围是 .
20．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知命题p：实数x满足（其中）；命题q：实数x满足．
(1)若，为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的充分条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由得命题p：，然后由为真命题求解；
（2）由得，再根据是的充分条件求解.
(1)
当时，，解得：，
由为真命题，
，解得；
(2)
由（其中）可得，
因为是的充分条件，则，
解得：．
21．（2022·全国·高一）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
【答案】(1)存在，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）假设存在，即，根据根与系数的关系求解即可；
（2）由题意转化为B A，根据集合的包含关系列出不等式组求解即可.
(1)
假设存在满足条件的实数a，则，即，.
因为，是关于x的方程的两个不同的实数根，所以，
即，解得，即当时，“”是“”的充要条件.
(2)
由题意可知，关于x的方程的两根分别为和.
因为“”是“”的必要不充分条件，所以B A .
当，即时，，
则解得；
当，即时，，
则解得.
综上，a的取值范围是或.
22．（2020·湖北十堰·高一期中）设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足.
(1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，化简命题p，命题q，再根据为真命题，则p真且q真求解；
（2）化简两个命题，，根据p是q的必要不充分条件，由求解.
(1)
解：当时，若命题p为真命题，
则不等式为，解得；
若命题q为真命题，则由，解得.
∵为真命题，则p真且q真，
∴实数x的取值范围是.
(2)
由，解得，
又，
∴.
设，，
∵p是q的必要不充分条件，
∴，
∴，解得.
∴实数a的取值范围是.
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突破1.4 充分条件与必要条件
A组 基础巩固
1．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·四川·射洪中学高二期中）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三期中（文））命题 ；命题 ，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）设x，y都是实数，则“且”是“或”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
5．（2021·江西·高一阶段练习）一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( )
A． B． C． D．
6．（2021·江苏·高一期中）下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高一期末）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·河北省博野中学高一阶段练习）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·高一专题练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·全国·高一课时练习）“”是“”的______条件（选填“充分非必要”、“不要非充分”或“充要”）.
11．（2021·全国·高一课时练习）若命题p：，命题q：，则p是q的________条件．
12．（2021·上海市延安中学高一期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为___________.
13．（2021·江苏·高一期中）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是________.
B组 能力提升
14．（2022·广东肇庆·高一期末）（多选题）下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”的必要条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“或”是“”的充要条件
D．“”是“”的必要不充分条件
15．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）“不等式在上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
16．（2021·江苏·高一单元测试）（多选题）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣2 B． C． D．
17．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（文））设命题:实数满足，命题:实数满足，其中.
(1)若，且为真，求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知，，其中.
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)是否存在m，使得是q的必要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
19．（2022·江苏·高一）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若是的充分条件，求的取值范围.
20．（2022·江西抚州·高二期末（理））已知命题p：实数x满足（其中）；命题q：实数x满足．
(1)若，为真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q的充分条件，求实数的取值范围．
21．（2022·全国·高一）已知集合，，其中，是关于x的方程的两个不同的实数根.
(1)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围.
22．（2020·湖北十堰·高一期中）设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足.
(1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
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