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突破1.5 全称量词与存在量词
A组 基础巩固
1．（广东省珠海市2020-2021学年高二下学期期末数学试题）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定为特称命题，即得.
【详解】
命题“，”的否定是，,
故选：B
2．（2022·广西柳州·高一期末）命题“，”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据存在量词命题的否定直接得出结果.
【详解】
命题“”的否定为：
“”.
故选：A
3．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；
【详解】
解：命题“，”为存在量词命题，其否定为：，；
故选：C
4．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据命题是真命题，由，恒成立求解.
【详解】
因为命题“，”是真命题，
所以，恒成立，
所以，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，
故选：B
5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））下列命题中为真命题的是（ ）
A．，；
B．“”是“”的充分不必要条件；
C．已知p，q为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；
D．命题“若，则”的否命题是“若，则”
【答案】C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质可判断A；根据充分条件、必要条件的概念即可判断B；根据复合命题的真假可判断C；由否命题的概念即可判断D.
【详解】
因为恒成立，故A错误；
若“”，则“”不成立，而若“”，则“”成立，故“”是“”的必要不充分条件，故B错误；
由于“”为假命题，所以至少一个为假命题，故，至少一个为真命题，
所以“”为真命题，故C正确；
命题“若，则”的否命题是“若，则”，故D错误；
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
参变分离后，令新函数，转化为求函数的最小值，利用二次函数性质求解.
【详解】
由题意，，，
令，则，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以.
所以实数可取的最小整数值是.
故选：A
7．（2022·全国·高一期末）若“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用参数分离法得到，，再求出在上的最值即可．
【详解】
为真命题，
∴，，
∵在区间上单调递增，
，即，
∴实数的取值范围为．
故选B
8．（2022·江西吉安·高二期末（文））命题“，”的否定是______．
【答案】，
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定形式，即可求解.
【详解】
全称命题的否定是特称命题，命题“，”的否定是：“”．
故答案为：，
9．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（文））命题“任意，”为真命题，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
分离常数，将问题转化为求函数最值问题.
【详解】
任意，恒成立恒成立，故只需，记，，易知，所以.
故答案为：
10．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知命题“，”为假命题，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到，为真命题，则，从而求出参数的取值范围；
【详解】
解：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，解得；
故答案为：
B组 能力提升
11．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）（多选题）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则； B．若，则；
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件； D．命题“”的是真命题.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据交集、并集的定义判断A，B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，利用特例判断D；
【详解】
解：对于A：若，则，故A正确；
对于B：若，则且，所以，故B正确；
对于C：由，即，所以或或或，故充分性不成立，由可以得到，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D：当时，，故D错误；
故选：ABC
12．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）（多选题）下列命题是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数
B．有一个实数x，使
C．命题“，”的否定是“，”
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据全称命题与存在性命题的真假判定方法，以及全称命题与存在性命题的关系，逐一判定，即可求解.
【详解】
对于A中，2是一个素数，其中2是偶数，所以A是假命题；
对于B中，对于方程，其中，
所以不存在实数，使得成立，所以B是假命题；
对于C中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”，所以C是真命题；
对于D中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”，所以D是真命题.
故选：CD.
13．（2022·江苏·高一）判断下列命题的真假：
(1)，；
(2)，；
(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(4)平面上任意两条直线必有交点．
【答案】(1)假命题
(2)真命题
(3)真命题
(4)假命题
【解析】
【分析】
解方程，即可判断（1）（2），根据垂直平分线的性质判断（3），根据平面内两直线的位置关系判断（4）；
(1)
解：若，解得，因为不是整数，故命题“，”为假命题；
(2)
解：若，解得，因为，故命题“，”为真命题；
(3)
解：根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；故命题：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；”为真命题；
(4)
解：平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行时，两直线没有交点，故命题“平面上任意两条直线必有交点．”为假命题；
14．（2021·江苏·高一期中）已知命题：“，不等式成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）m>5；（2）a≥9.
【解析】
【分析】
（1）进行参变分离，进而通过求函数的最值解得答案；
（2）根据充分不必要条件的定义即可得到答案.
【详解】
（1）由题意恒成立，设
因为，所以，所以.
（2）因为是的充分不必要条件，
所以.
15．（2021·河南·西平县高级中学高一阶段练习）已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据命题为真转化为不等式恒成立，利用判别式求解；
（2）分类讨论的正负求出集合B,再根据中只有一个整数建立不等式求解.
【详解】
（1）由条件知，恒成立，
只需的.
解得，也即.
（2）若，使得成立，
也即,,
当，只需，此时.
当，只需，此时.
因此，当时，若使得只有一个整数，则只需
解得.
当，由于，
因此必有整数，与条件不符，矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
16．（2021·湖北省水果湖高级中学高一阶段练习）已知命题：任意成立；命题：存在成立.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）只需，然后求解的取值范围；
（2）分真假、假真两种情况讨论求解.
【详解】
解：（1）若命题为真命题，则，解得，
故实数的取值范围
（2）若命题为真命题，则，解得或
∵命题中恰有一个为真命题，
∴命题一真一假
①当真假时，，解得：
②当假真时，，解得：或.
综上，实数的取值范围.
【点睛】
本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.
17．（2021·广东深圳·高一期中）设，命题p：，命题q：.
（1）若命题p是真命题，求的取值范围；
（2）若命题 p与q至少有一个为假命题，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）根据命题为真转化为，即可求解；
（2）由题意转化为命题 p与q不能同时为真，先求命题 p与q同时为真时的范围，再求其补集即可.
【详解】
（1）若命题p是真命题时，，
即，
所以，
（2）若命题q：为真时，
则，
解得，
若命题 p与q至少有一个为假命题，
即命题 p与q不能同时为真，
若命题 p与q同时为真时，
则，解得，
所以命题 p与q不能同时为真时，或，
【点睛】
本题主要考查了含量词命题的真假判定，考查了命题的否定，属于中档题.
18．（2020·全国·高一课时练习）已知命题存在实数，使成立.
（1）若命题P为真命题，求实数a的取值范围；
（2）命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由存在实数，使成立得，得实数的取值范围；
（2）由对勾函数单调性得，得，由已知得假假，两范围的补集取交集即可．
【详解】
解：（1）存在实数，使成立或，
实数a的取值范围为；
（2）任意实数，使恒成立，，，，
由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围.
【点睛】
本题考查了简易逻辑的判定、对勾函数的单调性，以及二次函数的取值和判别式△的关系，考查了推理能力，属于基础题．
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突破1.5 全称量词与存在量词
A组 基础巩固
1．（广东省珠海市2020-2021学年高二下学期期末数学试题）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．（2022·广西柳州·高一期末）命题“，”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江·太湖高级中学高二学业考试）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））下列命题中为真命题的是（ ）
A．，；
B．“”是“”的充分不必要条件；
C．已知p，q为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题；
D．命题“若，则”的否命题是“若，则”
6．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
7．（2022·全国·高一期末）若“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江西吉安·高二期末（文））命题“，”的否定是______．
9．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期末（文））命题“任意，”为真命题，则实数a的取值范围是______.
10．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知命题“，”为假命题，则实数m的取值范围为______．
B组 能力提升
11．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）（多选题）下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则； B．若，则；
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件； D．命题“”的是真命题.
12．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）（多选题）下列命题是真命题的是（ ）
A．所有的素数都是奇数
B．有一个实数x，使
C．命题“，”的否定是“，”
D．命题“，”的否定是“，”
13．（2022·江苏·高一）判断下列命题的真假：
(1)，；
(2)，；
(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
(4)平面上任意两条直线必有交点．
14．（2021·江苏·高一期中）已知命题：“，不等式成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
15．（2021·河南·西平县高级中学高一阶段练习）已知命题“，”为真命题.
（1）求实数的取值的集合；
（2）若，使得成立，记实数的范围为集合，若中只有一个整数，求实数的范围.
16．（2021·湖北省水果湖高级中学高一阶段练习）已知命题：任意成立；命题：存在成立.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
17．（2021·广东深圳·高一期中）设，命题p：，命题q：.
（1）若命题p是真命题，求的取值范围；
（2）若命题 p与q至少有一个为假命题，求的取值范围.
18．（2020·全国·高一课时练习）已知命题存在实数，使成立.
（1）若命题P为真命题，求实数a的取值范围；
（2）命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.
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