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突破1.5 全称量词与存在量词
一、考情分析
二、经验分享
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为： x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为： x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
三、题型分析
重难点1 全称命题与存在命题真假的判断
例1．（2021·河北·高碑店市第三中学高二阶段练习）（多选题）下列命题中，不是真命题是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于1
B．，
C．的充要条件是
D．，
【答案】BCD
【解析】
【分析】
理解命题，对选项依次判断
【详解】
对于A，若均小于等于1，则，可知A正确
对于B，当时，，故B错误，
对于C，当时，满足，但无意义，故C错误，
对于D，由二次函数性质知D错误，
故选：BCD
【变式训练1-1】、（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）（多选题）下列命题中，真命题有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“若，则x，y中至少有一个大于3”的否命题
C．R，
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】AC
【解析】
【分析】
直接推导可判断A；写出否命题取值验证可判断B；特值法可判断C；根据存在量词命题的否定可判断D.
【详解】
对于A选项，，所以不是充分条件；又，所以是必要不充分条件，A选项正确；对于B选项，“若，则x，y中至少有一个大于3”的否命题为“若，则x，y都不大于3”.取，显然为假命题，故B选项错误；对于C选项，取可知C选项正确；命题“，”的否定是“，”，故D不正确，
故选：AC.
例2．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）写出下列命题p的否定，并判断其真假.
(1)p：，.
(2)p：不论m取何实数，方程必有实数根.
(3)p：有的三角形的三条边相等.
(4)p：等腰梯形的对角线垂直．
【答案】(1)：，；假命题．
(2)：存在一个实数，方程没有实数根；假命题．
(3)：所有的三角形的三条边不都相等；假命题．
(4)：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直；真命题．
【解析】
【分析】
（1）（2）（3）（4）根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题进行求解判断即可．
(1)
解：：，；所以：，；
显然当时，即为假命题．
(2)
解：：不论取何实数值，方程必有实数根；
所以：存在一个实数，方程没有实数根；
若方程没有实数根，则判别式，此时不等式无解，即为假命题．
(3)
解：：有的三角形的三条边相等；
：所有的三角形的三条边不都相等，为假命题．正三角形的三条边相等，则命题是真命题，所以是假命题．
(4)
解：：等腰梯形的对角线垂直；则是假命题，
所以：存在一个等腰梯形，它的对角线互相不垂直，是假命题，是真命题．
【变式训练2-1】、（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)：任意两个等边三角形都是相似的；
(2)：，.
【答案】(1)存在两个等边三角形不是相似的，假命题
(2)，真命题
【解析】
【分析】
根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
(1)
解：命题“任意两个等边三角形都是相似的”是一个全称命题
根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定“存在两个等边三角形不是相似的”，
命题为假命题.
(2)
解：根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题的否定为.
因为，所以命题为真命题.
重难点2 含有一个量词命题的否定
例3．（1）、（2022·江西上饶·高二期末（理））命题“”的否定形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定的定义，写出否定形式.
【详解】
原命题的否定为：，所以C正确.
故选：C.
（2）、（2022·江苏南通·高二期末）命题“”的否定是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用含有一个量词的命题的否定直接求解作答.
【详解】
命题“”是全称量词命题，其否定是“”.
故答案为：
【变式训练3-1】、（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））已知命题，，则（ ）
A．命题，为假命题
B．命题，为真命题
C．命题，为假命题
D．命题，为真命题
【答案】C
【解析】
【分析】
全称命题的否定为特称命题，再判断命题的真假即可得出答案.
【详解】
有题意知，命题，，又因为方程的，所以命题为假命题.
故选：C.
【变式训练3-2】．（2022·广东茂名·高一期中）命题“，”的否定是___________．
【答案】，
【解析】
【分析】
“”改为“”，“”改为“”，即可得解.
【详解】
命题“，”的否定是： ，.
故答案为：，.
重难点3 全称命题与存在命题的应用
例4．（1）、（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据命题是真命题，由，恒成立求解.
【详解】
因为命题“，”是真命题，
所以，恒成立，
所以，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，
故选：B
（2）、（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据命题为真可转化为方程有2个不等实根，利用判别式求解即可.
【详解】
因为命题“”为真命题，
所以方程有2不等实根，
故，解得或，
故答案为：
【变式训练4-1】、（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）若命题“时，”是假命题，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
全称命题的否定是特称命题，将问题转化为不等式能成立求参数的取值范围
【详解】
因为“，”是假命题，
则其否定“，”为真命题
则
而当时，取得最小值
所以
故选：B
【变式训练4-2】、（2022·河北沧州·高一开学考试）若命题“”是真命题，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式恒成立求解即可.
【详解】
对于任意恒成立，即大于3的数恒大于.
故答案为：.
例5．（2021·山东·济宁市育才中学高一阶段练习）已知命题“使不等式成立”是假命题
（1）求实数m的取值集合A；
（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出命题的否定“，不等式”成立是真命题，然后根据或求解即可；
（2）本题可根据题意得出集合是集合的真子集，然后列出不等式求解即可.
【详解】
（1）因为命题 “，不等式”成立是假命题，
所以命题的否定 “，不等式”成立是真命题，
所以或，解得或，
集合；
（2）因为，即，
所以，
因为是集合的必要不充分条件，
所以令集合，则集合是集合的真子集，
即，解得，所以实数的取值范围是.
例6．（2022·江苏·高一）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由命题的真假转化为方程无实根，再利用判别式进行求解；
（2）先根据为非空集合求出，再将充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解.
(1)
解：由题意，得关于的方程无实数根，
所以，解得，
即；
(2)
解：因为为非空集合，
所以，即，
因为是的充分不必要条件，
则，即，
所以，
四、课堂训练
1．（2022·河南河南·高一期末）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；
【详解】
解：命题“，”为全称量词命题，其否定为“，”；
故选：A
2．（2022·全国·高一）已知命题，则____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】
解：因为命题，
所以根据特称命题的否定为全称命题，可得.
故答案为：.
3．（2022·全国·高一专题练习）对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，；
(5)任意三角形都有内切圆；
(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
(5)答案见解析
(6)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，利用配方法可判断原命题否定的真假；
（2）利用存在量词命题的否定可写出原命题的否定，解方程可判断原命题的真假，进可得出其否定的真假；
（3）利用存在量词命题的否定可写出原命题的否定，判断原命题的真假，可得出其否定的真假；
（4）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，利用特殊值法可判断原命题否定的真假；
（5）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，直接判断原命题否定的真假；
（6）利用全称量词命题的否定可写出原命题的否定，直接判断原命题否定的真假.
(1)
解：原命题的否定为：，.
因为，故原命题的否定为假命题.
(2)
解：原命题的否定为：，.
因为当时，，原命题为假命题，原命题的否定为真命题.
(3)
解：原命题的否定为：，.
当时，，原命题为真命题，原命题的否定为假命题.
(4)
解：原命题的否定为：，.
取，则，原命题的否定为真命题.
(5)
解：原命题的否定为：有些三角形没有内切圆.原命题的否定为假命题.
(6)
解：原命题的否定为：存在两个直角三角形不是相似三角形，原命题的否定为真命题.
4．（2022·全国·高三专题练习）1.已知命题“，不等式”成立是假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，“，不等式”成立是真命题，进而求出集合A；
（2）根据题意，可以判断集合是集合的真子集，进而求出a的范围.
(1)
因为命题“，不等式”成立是假命题，所以命题的否定“，不等式”成立是真命题，即，解得，集合.
(2)
因为集合，又由题知集合是集合的真子集，即，解得，实数的取值范围是.
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一、考情分析
二、经验分享
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为： x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为： x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)；
(2)存在量词命题p： x∈M，p(x)，它的否定﹁p： x∈M，﹁p(x)．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
三、题型分析
重难点1 全称命题与存在命题真假的判断
例1．（2021·河北·高碑店市第三中学高二阶段练习）（多选题）下列命题中，不是真命题是（ ）
A．若且，则，至少有一个大于1
B．，
C．的充要条件是
D．，
【变式训练1-1】、（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）（多选题）下列命题中，真命题有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“若，则x，y中至少有一个大于3”的否命题
C．R，
D．命题“，”的否定是“，”
例2．（2021·湖北·武汉市钢城第四中学高一阶段练习）写出下列命题p的否定，并判断其真假.
(1)p：，.
(2)p：不论m取何实数，方程必有实数根.
(3)p：有的三角形的三条边相等.
(4)p：等腰梯形的对角线垂直．
【变式训练2-1】、（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高二期末（理））写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)：任意两个等边三角形都是相似的；
(2)：，.
重难点2 含有一个量词命题的否定
例3．（1）、（2022·江西上饶·高二期末（理））命题“”的否定形式是（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2022·江苏南通·高二期末）命题“”的否定是_________．
【变式训练3-1】、（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（文））已知命题，，则（ ）
A．命题，为假命题
B．命题，为真命题
C．命题，为假命题
D．命题，为真命题
【变式训练3-2】．（2022·广东茂名·高一期中）命题“，”的否定是___________．
重难点3 全称命题与存在命题的应用
例4．（1）、（2023·全国·高三专题练习）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）命题“”为真命题，则实数的取值范围是_______．
【变式训练4-1】、（2022·山西省长治市第二中学校高二阶段练习）若命题“时，”是假命题，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】、（2022·河北沧州·高一开学考试）若命题“”是真命题，则的取值范围是__________.
例5．（2021·山东·济宁市育才中学高一阶段练习）已知命题“使不等式成立”是假命题
（1）求实数m的取值集合A；
（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
例6．（2022·江苏·高一）已知命题，使为假命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设为非空集合，若是的充分不必要条件，求实数a的取值围．
四、课堂训练
1．（2022·河南河南·高一期末）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2022·全国·高一）已知命题，则____________
3．（2022·全国·高一专题练习）对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，；
(5)任意三角形都有内切圆；
(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．
4．（2022·全国·高三专题练习）1.已知命题“，不等式”成立是假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
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