中小学教育资源及组卷应用平台
突破2.1 等式的性质与不等式的性质
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高一专题练习）下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．且 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐一判断即可
【详解】
对于选项A，∵，∴，又， 成立，故A正确；
对于选项B，当，时，结论明显错误，故B错误
对于选项C，当时，，所以结论错误，故C错误
对于选项D，当时，，所以结论错误，故D错误
故选：A
2．（2022·江西宜春·高二期末（理））若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】A
【解析】
【分析】
对于A,可利用作差法判断；对于B,C,D，举反例即可判断正误.
【详解】
对于A，若，则，
故A正确；
对于B，当时，，故B不正确；
对于C，不妨取 ，则，故C错误；
对于D，若，，不妨取 ，则，D错误，
故选：A
3．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，求出的值，根据的范围，即可求出答案.
【详解】
设，
所以，解得：，
因为，所以，
故选：A.
4．（2022·江西九江·高二期末（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】
由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
5．（2021·广东·高一单元测试）克糖水中含克糖，若再加入克糖，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意得出加糖前后糖水中糖的浓度的表达式，结合题意可得出不等关系，进而可得出结果.
【详解】
克糖水中含克糖，糖水中糖的浓度为，
再加入克糖后，糖水中糖的浓度为，
加糖后，糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度变大了，则有.
故选：B.
【点睛】
本题考查不等关系的求解，属于基础题.
6．（2021·辽宁朝阳·高一期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据生活常识可知，糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，即可解出．
【详解】
因为糖水变甜即代表糖水中糖的浓度变大，，所以．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于容易题．
7．（2021·全国·高一专题练习）若且，则下列选项中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
对于A.取，代入验证即可判断出A不正确;对于B.取，代入验证即可判断出B不正确;对于C. a, b∈R, 由可得,利用平方差得,判断出C正确;对于D.取,代入验证即可判断出D不正确.
【详解】
解：对于A.取，满足,此时，故A不正确;
对于B.取，满足，此时，故B不正确;
对于C. a, b∈R, 由可得,即，即,故C正确;
对于D.取,满足，此时,故D不正确.
故选：C.
8．（2020·上海中学高一期中）已知则下列命题中真命题的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
利用不等式的性质判断ACD，采用举例的方式判断B，由此得到最终结果.
【详解】
A．因为，且，所以，故正确；
B．取，此时，故错误；
C．因为，所以，所以，所以，
又，所以，故错误；
D．因为，正数越大其倒数越小，所以，故正确，
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题中容易判断错误的是②，此处要考虑使用基本不等式的条件，“一正、二定、三相等”是否满足.
9．（2022·广西钦州·高二期末（理））已知，则的值______0（选填“>，<，≥，≤”）．
【答案】≤
【解析】
【分析】
先平方，整理可得，结合的符号可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以.
当时，等号成立
故答案为：
10．（2021·新疆·皮山县高级中学高二阶段练习（文））已知，，则的大小关系为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先比较的大小，由比较其中根号中的被开方数大小即得．
【详解】
，
，
显然，因此，所以，又，
所以．
故答案为：．
11．（2022·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】
直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．
【详解】
,
则解得，则，
又，
∴，
即，
故答案为：．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、满足，，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，利用待定系数法求出的值，然后根据不等式的性质即可求解.
【详解】
解：设，则，解得，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
故答案为：.
B组 能力提升
13．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期末）（多选题）若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；
对于B，等价于，又，故成立，故B正确；
对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；
对于D，等价于，成立，故D正确.
故选：BCD.
14．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）（多选题）已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
直接由不等式的性质依次判断4个选项即可.
【详解】
由，，知，，A、C正确；
，故，B错误；，故，D错误.
故选：AC.
15．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，则
C．若，则
D．若，则一定有
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据“糖水不等式”，即可判断A；
举反例，如，即可判断B；
若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；
利用不等式的性质即可判断D.
【详解】
解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A错误；
对于B，当时，，与题设矛盾，故B错误；
对于C，若，则，
根据“糖水不等式”， ，即，故C正确；
对于D，若，则，
所以，
所以，故D正确.
16．（2022·全国·高一专题练习）已知，证明：.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
利用作差法即得.
【详解】
∵，
，
， ，
.
17．（2022·全国·高一专题练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）可知，而，即可得证；
（2）可知，而，即可得证；
(1)
证明： ，
，
又，
；
(2)
证明：，
，
又，
．
18．（2022·湖南·高一课时练习）求证：
(1)若，且，则；
(2)若，且，同号，，则；
(3)若，且，则．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）将变为，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；
（2）由以及，可得，再根据，同号，得，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；
（3）由可得，继而可得,利用不等式的性质可得结论.
(1)
证明：因为，所以，
又，故，
即；
(2)
证明：因为，，所以 ，
因为，同号，所以 ，，
故，即 ，所以；
(3)
证明：因为，所以 ，
又，所以 ，
故.
19．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知，，求证：；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的性质即可证明.
（2）利用（1）的结论，根据不等式的性质即可求解.
【详解】
（1）因为，所以．
又，所以，
即，因此．
（2）因为，根据（1）的结论，得．
又，则，即．
20．（2021·广西·桂林中学高二开学考试）（1）若，试比较与的大小；
（2）已知，.求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用作差法，即可比较代数式的大小.
（2）利用不等式的性质求的取值范围即可.
【详解】
（1）由题设，，
∴.
（2）由题设，，而，
∴.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破2.1 等式的性质与不等式的性质
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高一专题练习）下列命题正确的是（ ）
A． B．
C．且 D．
2．（2022·江西宜春·高二期末（理））若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
3．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江西九江·高二期末（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·广东·高一单元测试）克糖水中含克糖，若再加入克糖，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·辽宁朝阳·高一期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），下列不等式中表示糖水变甜的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高一专题练习）若且，则下列选项中，一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020·上海中学高一期中）已知则下列命题中真命题的个数是（ ）
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·广西钦州·高二期末（理））已知，则的值______0（选填“>，<，≥，≤”）．
10．（2021·新疆·皮山县高级中学高二阶段练习（文））已知，，则的大小关系为___________.
11．（2022·江西省铜鼓中学高二阶段练习（理））已知实数，，满足则的取值范围是________．（用区间表示）
12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数、满足，，则的取值范围为______．
B组 能力提升
13．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高二期末）（多选题）若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
14．（2022·浙江·温州市第八高级中学高二期中）（多选题）已知实数x，y满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）（多选题）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖（a>0，b>0，且a>b），若再添加c克糖（c>0）后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：.趣称之为“糖水不等式”.根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（ ）
A．若，则与的大小关系随m的变化而变化
B．若，则
C．若，则
D．若，则一定有
16．（2022·全国·高一专题练习）已知，证明：.
17．（2022·全国·高一专题练习）利用不等式的性质证明下列不等式：
(1)若，，则；
(2)若，，则．
18．（2022·湖南·高一课时练习）求证：
(1)若，且，则；
(2)若，且，同号，，则；
(3)若，且，则．
19．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知，，求证：；
（2）已知，，求证：．
20．（2021·广西·桂林中学高二开学考试）（1）若，试比较与的大小；
（2）已知，.求的取值范围.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
