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专题2.2 基本不等式
A组 基础巩固
1．（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用均值不等式求解即可.
【详解】
因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
2．（2022·湖北·高二学业考试）已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得的最小值判断.
【详解】
解：因为正实数、满足，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：D
3．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等式计算求解.
【详解】
因为、，所以，即，所以，即，当仅当，即时，等号成立.
故选：A.
4．（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得，再利用基本不等式“1”的代换求最值.
【详解】
因为，，，所以，
∴，
当且仅当取得等号，则的最小值为9.
故选：C
5．（2022·四川成都·高二期末（理））下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
A.利用基本不等式判断； B.利用二次函数的性质判断； C. 利用二次函数的性质判断； D.利用基本不等式判断.
【详解】
A.当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立；故错误；
B. ，故错误；
C. ，故错误；
D. ，当且仅当，即时，等号成立，故正确
故选：D
6．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）函数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为，所以，当且仅当，即时取等号；
故选：D
7．（湖北省恩施州高中教育联盟2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题）若，，则的最小值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【解析】
【分析】
化简，再根据基本不等式求最小值即可
【详解】
因为，，所以
(当且仅当时，等号成立)，所以的最小值是20.
故选：C
8．（2022·四川自贡·高一期末（文））某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形 三角形 弓形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
【答案】C
【解析】
【分析】
画出图形，结合二次函数及基本不等式判断方案1、2，利用特殊情况判断方案3；
【详解】
解：方案1：设米，则米，
则菜园面积，
当时，此时菜园最大面积为；
方案2：依题意，则，所以，当且仅当时取等号，
所以，即当且仅当，时取等号；
方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径米，
此时菜园最大面积；
故选：C．
9．（2022·全国·模拟预测）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，，则当三角形面积最大值时AB边上的高为（ ）
A．8 B． C．12 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
代入公式，结合基本不等式可得当时三角形的面积取得最大值，再计算AB边上的高即可
【详解】
由题意得，，，则
，
当且仅当，且，即时，等号成立，此时三角形的面积取得最大值，所以AB边上的高为
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
平均速度等于总路程除以总时间
【详解】
设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则
，，，
∴，，
故选:D.
11．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由基本不等式的乘“1”法计算最小值.
【详解】
因为，所以
，
当且仅当时，取等号，的最小值是.
故选：D
12．（2022·江苏·高一）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图形，求出圆的半径以及 .再利用勾股定理求得 ,结合直角三角形的直角边长小于斜边长，可得答案.
【详解】
设，可得圆的半径为，
又由，
在直角中，可得，
因为，所以，当且仅当时取等号．
故选：D.
13．（2021·安徽·高一期中）已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得，化简后利用基本不等式求出的最小值，然后将问题转化为，从而可求出实数的取值范围
【详解】
∵，，，
∴，
当且仅当，即，时取等号.
∵不等式恒成立，
∴，解得.
故选：A.
14．（2023·全国·高三专题练习）当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求解.
【详解】
，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为
故选：B
15．（2021·河南驻马店·高二期中（理））已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解即可.
【详解】
解：由题设，，
当且仅当时等号成立，
∴要使恒成立，只需，
∴，
∴.
故选：B.
16．（2022·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意，利用基本不等式求出的最大值，即可得解；
【详解】
解：因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；
故选：C
17．（北京市昌平区2021--2022学年高二下学期期末质量抽测数学试题）已知，且，则的最小值为_________ .
【答案】6
【解析】
【分析】
根据基本不等式，即可求解.
【详解】
解：∵
∴，（当且仅当，取“=”）
故答案为：6.
18．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）已知函数在处取得最小值，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】
利用均值不等式求最值即可.
【详解】
解：由于，，
故函数，
当且仅当，即时，等号成立，
故时函数取得最小值为．
故答案为：
19．（2022·湖北·一模）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.
【答案】6
【解析】
【分析】
设矩形空地的长为m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.
【详解】
设矩形空地的长为m，则宽为m，
依题意可得，试验区的总面积，
当且仅当即时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为.
故答案为：6
B组 能力提升
20．（福建省山海联盟校教学协作体2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题）(多选题)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.
【详解】
A：由重要不等式知：，而，故，正确；
B：由，则，故，错误；
C：由，则，错误；
D：，故，正确.
故选：AD
21．（2022·河北保定·高二期末）（多选题）已知a，b，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对AC，利用基本不等式可求解；对B，根据可判断；对D，利用可判断.
【详解】
对A，因为，当且仅当时等号成立，所以，故A正确；
对B，，所以，故B错误；
对C，，当且仅当等号成立，所以，故C正确；
对D，因为，所以，所以，当且仅当等号成立，故D正确.
故选：ACD.
22．（2022·湖南·周南中学高二期末）（多选题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据列不等式判断AD，再根据基本不等式判断BC即可
【详解】
∴.∴，解得，
同理，则A不正确.D正确：
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，则B正确：
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，则C正确.
故选：BCD.
23．（2022·全国·模拟预测）（多选题）现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．两个图形的面积之和的最小值为
B．两个图形的面积之积的最大值为
C．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是
D．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为
【答案】AB
【解析】
【分析】
设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y，分别表示出正方形和三角形的面积，即可依次判断每个选项的正误.
【详解】
设将长为10的细绳截成两段后的长分别为x，y．将长度为x的细绳围成正方形，其面积为．将长度为y的细绳围成三边长的比例为3:4:5的直角三角形，即三边长分别为，，，其对应的面积为．两个图形的面积之和．
又，所以，当时，S取到最小值，最小值为，故选项A正确；
两个图形的面积之积．由基本不等式得，则，即Z的最大值为，当且仅当时，等号成立，故选项B正确；
令，解得，故选项C错误；
正方形与三角形周长之比为，显然不存在最大值，故选项D错误.
故选：AB．
24．（2022·湖北武汉·高二期末）（多选题）已知，，且，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是1 B．的最小值是
C．的最小值是4 D．的最小值是9
【答案】BC
【解析】
【分析】
对AC，利用基本不等式可直接求出；对B，将代入即可求出；对D，化为展开利用基本不等式可求出.
【详解】
对A，因为，，则，解得，当且仅当等号成立，取得最大值为，故A错误；
对B，由可得，则，
，当时，取得最小值为，故B正确；
对C，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是4，故C正确；
对D，，当且仅当等号成立，所以的最小值是，故D错误.
故选：BC.
25．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）（多选题）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
【答案】CD
【解析】
【分析】
取可判断A；构造借助均值不等式可判断B；构造借助均值不等式可判断C；令，则，借助均值不等式可判断D
【详解】
对于A，若，则，A错误；
对于B，∵，∴，，
∴
（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；
对于C，∵，∴，，又，
（当且仅当，即时取等号），C正确；
对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．
故选：CD
26．（2022·河南南阳·高二期中（文））已知，，，且．
(1)证明：；
(2)证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由，然后利用均值不等式即可求解；
（2）由基本不等式有，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，然后结合已知条件即可证明.
(1)
证明：因为，，，且，
所以，
又，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故而得证；
(2)
证明：因为，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
又因为， 即，
所以，当且仅当时等号成立，
故而得证.
27．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数的图象经过点．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据所给的条件，得到a，b，c之间的关系，利用基本不等式即可；
（2）所求的代数式转化为可以利用基本不等式的形式，再用基本不等式即可证明.
(1)
因为函数 的图象经过点，
所以，
所以
，
当且仅当，即， ，时等号成立，
所以 的最小值为；
(2)
因为
= ，
当且仅当时取等号，
所以，
即.
28．（2022·四川达州·高一期末（理））（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
【答案】（1）8 ；（2）证明见解析 ．
【解析】
【分析】
(1) 可化为，再由基本不等式求其最值；(2) 由条件可得，结合基本不等式完成证明.
【详解】
解：（1）因为，所以，则，
当且仅当，即时，等号成立．所以最小值8．
（2）因为，得．
则．
所以成立，当且仅当，时等号成立，
所以.
29．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））已知，，且.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先通过基本不等式求出的最小值，进而解出不等式即可；
（2）先进行变形，然后通过基本不等式证得答案.
(1)
已知，，且.
则，
当且仅当时，取到最小值，所以，即，解得.
(2)
，当且仅当，即时，等号成立.所以.
30．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为（单位：），经过市场调查了解到：每月土地占地费（单位：万元）与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为万元和万元.记两项费用之和为.
(1)求关于的解析式；
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
【答案】(1)
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元
【解析】
【分析】
（1）依题意设出，，然后根据已知求出，然后可得；
（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.
(1)
∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比，
∴可设，
∵每月库存货物费（单位：万元）与（4x+1）成正比，
∴可设，
又∵在距离车站5km处建仓库时，与分别为12.5万元和7万元，
∴，.
∴
∴.
(2)
当且仅当，即x＝6.5时等号成立，
∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．
31．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一开学考试）已知正数a，b满足
(1)求ab的最大值；
(2)求的最小值．
【答案】(1)1；
(2).
【解析】
【分析】
（1）结合条件等式，利用基本不等式求的最值；
（2）由条件，化简后利用基本不等式求其最值.
(1)
因为，，
所以，当且仅当，即时等号成立．
∴当时，有最大值1．
(2)
因为，，
所以
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最小值.
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专题2.2 基本不等式
A组 基础巩固
1．（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2022·湖北·高二学业考试）已知正实数、满足，则的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）若、，且，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·周南中学高一阶段练习）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
5．（2022·四川成都·高二期末（理））下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）函数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（湖北省恩施州高中教育联盟2021-2022学年高一下学期期末联考数学试题）若，，则的最小值是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
8．（2022·四川自贡·高一期末（文））某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形 三角形 弓形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2
9．（2022·全国·模拟预测）数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，与古希腊数学家海伦公式完全一致，所以这个公式也被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的周长为24，，则当三角形面积最大值时AB边上的高为（ ）
A．8 B． C．12 D．
10．（2023·全国·高三专题练习）小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·江苏·高一）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·安徽·高一期中）已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高三专题练习）当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·河南驻马店·高二期中（理））已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（北京市昌平区2021--2022学年高二下学期期末质量抽测数学试题）已知，且，则的最小值为_________ .
18．（2022·上海市进才中学高二阶段练习）已知函数在处取得最小值，则__________.
19．（2022·湖北·一模）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.
B组 能力提升
20．（福建省山海联盟校教学协作体2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题）(多选题)若，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·河北保定·高二期末）（多选题）已知a，b，，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2022·湖南·周南中学高二期末）（多选题）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·全国·模拟预测）（多选题）现将一条长为10的细绳截成两段，分别围成一个正方形以及一个三边长的比例为3:4:5的三角形，则下列说法正确的是（ ）
A．两个图形的面积之和的最小值为
B．两个图形的面积之积的最大值为
C．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长的取值范围是
D．若两个图形的面积之和大于，则正方形周长与三角形周长之比的最大值为
24．（2022·湖北武汉·高二期末）（多选题）已知，，且，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是1 B．的最小值是
C．的最小值是4 D．的最小值是9
25．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）（多选题）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则的最小值为
C．若，则
D．若实数a，b满足，则的最小值为2
26．（2022·河南南阳·高二期中（文））已知，，，且．
(1)证明：；
(2)证明：．
27．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数的图象经过点．
(1)求的最小值；
(2)求证：．
28．（2022·四川达州·高一期末（理））（1）已知，求的最小值；
（2）已知，且，证明：．
29．（2022·山西·怀仁市第一中学校模拟预测（文））已知，，且.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：.
30．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为（单位：），经过市场调查了解到：每月土地占地费（单位：万元）与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为万元和万元.记两项费用之和为.
(1)求关于的解析式；
(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．
31．（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高一开学考试）已知正数a，b满足
(1)求ab的最大值；
(2)求的最小值．
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