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专题2.2 基本不等式
考情分析
经验分享
【基本不等式(或)均值不等式】
知识点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
重难点突破(一) 基本不等式的简单应用
例1.（1）、（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
（2）、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
【变式训练1-1】、（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知，则的最小值为________________.
【变式训练1-2】、（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高二期末）(多选题)已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
重难点突破(二) 利用基本不等式求最值
例2.（1）、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数的最小值为______.
（2）、（2022·全国·高一专题练习）若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【变式训练2-1】、（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．6
【变式训练2-2】．（福建省三明市2021-2022学年高二下学期普通高中期末质量检测数学试题）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
重难点突破(三) 不等式变形技巧：“1”的代换
例3.（1）（2021·全国高一单元测试）正实数 满足：，则的最小值为_____.
(2)．（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【变式训练3-2】.（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）（多选题）已知正实数满足，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最小值为9
D．的最小值为
重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b都是正数．
(1)若，证明：；
(2)当时，证明：．
【变式训练4-1】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用
例5．（2022·北京海淀·高二期末）某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．
【变式训练5-1】.（2022·四川乐山·高一期末）小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
例6．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（理））某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
重难点突破(六) 利用基本不等式解决恒成立问题
例7.（2021·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
重难点突破(七) 基本不等式的综合应用（压轴题）
例8．（2022·天津市第四中学模拟预测）若，，则的最小值为___________.
【变式训练8-1】、（2022·浙江·三模）已知实数，则的最小值为_________．
四、过关检测
1．（2022·福建漳州·高二期末）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北邢台·高二期末）（多选题）已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为9
3．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域（墙面不挂彩带）.若每个区域面积为24m2，则围成四个区域的彩带总长最小值为________.
4．（2022·四川成都·高一期末）已知.
(1)若x ，求的最大值；
(2)若x ，求的取值范围.
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专题2.2 基本不等式
考情分析
经验分享
【基本不等式(或)均值不等式】
知识点一：基本不等式
1.对公式及的理解.
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.
知识点二：基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，.
所以，（当且仅当时取等号“=”）.
知识点三：基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.
易证，那么，即.
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.
知识点诠释：
在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
知识点四：用基本不等式求最大（小）值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
【基本不等式的变形与拓展】
1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）．
2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）；
(3)若,则（当且仅当时取“=”）．
3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．
5．一个重要的不等式链：．
6．函数图象及性质
(1)函数图象如右图所示：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：；单调递减区间：．
7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”；
(2)求最值的条件“一正,二定,三相等”；
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、题型分析
重难点突破(一) 基本不等式的简单应用
例1.（1）、（2022·四川甘孜·高一期末）的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
【分析】
利用均值不等式求解即可.
【详解】
因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
（2）、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为3 B．的最大值为1
C．的最小值为2 D．的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据基本不等式判断．
【详解】
因为正实数m、n，
所以，
当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；
由 ，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；
因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；
，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确.
故选：ABD
【变式训练1-1】、（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）已知，则的最小值为________________.
【答案】
【解析】
【分析】
由，然后结合基本不等式即可求解．
【详解】
因为，则，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
【变式训练1-2】、（2022·浙江·绍兴市教育教学研究院高二期末）(多选题)已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】
解：对于A：当时，满足，但是，故A错误；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于C：因为，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BCD
重难点突破(二) 利用基本不等式求最值
例2.（1）、（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）函数的最小值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求解即可
【详解】
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为4，
故答案为：4
（2）、（2022·全国·高一专题练习）若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.
【详解】
实数，，，
整理得，当且仅当时取，故选项A错误；
(，
当且仅当时取，故选项B错误；
，，
，当且仅当时取，
但已知,故不等式中的等号取不到，
，故选项C错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项D正确，
故选：D
【变式训练2-1】、（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知，函数的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．6
【答案】A
【解析】由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A
【变式训练2-2】．（福建省三明市2021-2022学年高二下学期普通高中期末质量检测数学试题）已知正实数a，b满足，则的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得， 代入得，令，根据基本不等式可求得答案.
【详解】
解：因为，所以，所以 ，
所以，
令，则，且 ，
所以，当且仅当，即，时，取等号，
所以的最小值是.
故选：A.
重难点突破(三) 不等式变形技巧：“1”的代换
例3.（1）（2021·全国高一单元测试）正实数 满足：，则的最小值为_____.
【答案】9
【分析】
根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.
【详解】
，当且仅当 时取等号．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
(2)．（2023·全国·高三专题练习）已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用换元法和基本不等式即可求解.
【详解】
令，，则，
即，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：A.
【变式训练3-1】、（2022·四川资阳·高一期末）已知正实数x，y满足，则最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】
利用基本不等式的性质直接求解即可.
【详解】
正数，满足：，
，
当且仅当，即，时 “”成立，
故答案为：.
【变式训练3-2】.（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）（多选题）已知正实数满足，则（ ）
A．
B．的最小值为
C．的最小值为9
D．的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据等式的变形，结合为正实数，可判断A项，变形等式，结合的取值范围，利用一元二次函数可判断B项，利用基本不等式中“1”的用法可求解C项，利用基本不等式，结合题干中的等式验证等号成立的条件，可判断D项.
【详解】
解：因为，则，即，
又为正实数，则，所以，，故A项正确；
因为，所以，
又，所以，故B项错误；
因为，且为正实数，即，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故C项正确；
因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误.
故选：AC.
重难点突破(四) 不等式的证明技巧与综合处理技巧
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知a，b都是正数．
(1)若，证明：；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据可得，再结合化简，利用基本不等式证明即可
（2）根据证明的不等式逆推即可
(1)
证明：由，得，即
，
当且仅当时“=”成立．
所以．
(2)
要证，
只需证，
即证，
即证，
因为，所以上式成立，
所以成立．
【变式训练4-1】（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设a，b，c均为正数，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据基本不等式得到三个同向不等式，再相加即可得证；
（2）根据均值不等式可证不等式成立.
(1)
因为，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
即，当且仅当时，等号成立.
(2)
因为,
所以，当且仅当时，等号成立，
即，即，
所以，当且仅当时，等号成立.
重难点突破(五) 均值不等式在实际问题中的应用
例5．（2022·北京海淀·高二期末）某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．
【答案】4880
【解析】
【分析】
设，则可表示出这个简易工作房总造价为，利用基本不等式即可求出.
【详解】
设，，则，
则这个简易工作房总造价为，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.
故答案为：4880.
【变式训练5-1】.（2022·四川乐山·高一期末）小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短，则最短的篱笆长度为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设矩形的长、宽分别为x，y，篱笆的长为l，则，且，然后利用基本不等式可求得答案
【详解】
设矩形的长、宽分别为x m(x≤18 )，y m，篱笆的长为l m，则，且，
则，当且仅当(m)，符合题意，
即长、宽分别略为、时，篱笆的最短长度为，
故选：C．
例6．（2022·江西·南昌市八一中学高二期末（理））某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格毎提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少？
(2)为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价．
【答案】(1)元
(2)改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
【解析】
【分析】
（1）设每件定价为元，则，解之即得所求；
（2）依题意可列（），分离参数可得有解，应用均值不等式求不含参数这一边的最值即得所求
(1)
设每件定价为元，
则，
整理得，
要满足条件，每件定价最多为元；
(2)
由题得当时：有解，
即：有解．
又，
当且仅当时取等号，
即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件
重难点突破(六) 利用基本不等式解决恒成立问题
例7.（2021·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围．
【详解】
解：，
，当且仅当时“”成立，
又不等式恒成立，
，
的取值范围是．
故选：B．
【变式训练7-1】、（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．ab的最大值为
C．的最小值为4 D．的最小值为
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得，，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.
【详解】
由题意，不等式的解集为，
可得，且方程的两根为和，
所以，所以，，
所以，所以A正确；
因为，，所以，可得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为，所以C错误；
由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确．
故选：C．
重难点突破(七) 基本不等式的综合应用（压轴题）
例8．（2022·天津市第四中学模拟预测）若，，则的最小值为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】
因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故答案为：8
【变式训练8-1】、（2022·浙江·三模）已知实数，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得，利用基本不等式及与的关系计算可得；
【详解】
解：因为，
所以
因为，所以，
所以原式，当且仅当时取等号．
故答案为：
四、过关检测
1．（2022·福建漳州·高二期末）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由于，所以，则，然后利用基本不等式可求出其最小值
【详解】
由于，所以
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：A.
2．（2022·河北邢台·高二期末）（多选题）已知，，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为9
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式判断A、B、D的正误，注意等号成立条件，将化为关于的二次函数形式求最值判断C.
【详解】
因为，，，
所以，即，，当且仅当时等号成立，则A，B正确．
，当时取得最大值，则C错误．
，当且仅当时等号成立，则D正确．
故选：ABD
3．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域（墙面不挂彩带）.若每个区域面积为24m2，则围成四个区域的彩带总长最小值为________.
【答案】48m
【解析】
【分析】
设每个区域的长和宽分别为m和m,根据题意可得,则彩带总长为,再运用基本不等式求解的最小值即可.
【详解】
设每个区域的长和宽分别为m和m,根据题意可得,
则彩带总长为，当且仅当，
即且时等号成立，
所以每个区域的长和宽分别为6m和4m时,彩带总长最小，且最小值为48m.
故答案为：48m
4．（2022·四川成都·高一期末）已知.
(1)若x ，求的最大值；
(2)若x ，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知条件，利用基本不等式求得，即可确定最大值，注意取值条件.
（2）由且得到，并代入目标式，应用二次函数性质求范围.
(1)
由x ，则，故，
当且仅当时等号成立，即的最大值为.
(2)
由，则，又，
所以，
由，
所以.
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