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突破2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
A组 基础巩固
1．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式，根据集合间的包含关系可得.
【详解】
解不等式得，，记；
解不等式得，，记.
因为，所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2022·全国·高一专题练习）是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.
【详解】
设命题，命题；
所以，但推不出，故是的必要不充分条件．
故选：B.
3．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期中（文））不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.
【详解】
解：，
则不等式的解集为：
故选：B.
4．（2022·广东广州·高一期末）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法求解即可．
【详解】
解：
解得：.
故选：C.
5．（2022·全国·高一）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接解一元二次不等式即可得答案.
【详解】
解：原式化为，即，故不等式的解集为.
故选:D
6．（2021·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）不等式的解集为（ ）
A．[－1，2] B．[－2，1]
C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可得，即得.
【详解】
由可得，，
∴，解得且，
故原不等式的解集为.
故选：D.
7．（2022·全国·高一）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.
【详解】
不等式，即，
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；
当时，不等式解集为，此时不符合题意；
当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；
故实数m的取值范围为．
故选：C
8．（2022·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解.
【详解】
方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，
，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
综上：实数m的取值范围为
故选：D
9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得答案.
【详解】
由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，
设，则，，
对于 ，当且仅当时取等号，
则，
故 ，
故选：A
10．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题知对恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】
解：因为不等式对恒成立，
所以对恒成立，
所以，当时，对恒成立．
当时，由题意，得，即，解得，
综上，的取值范围为．
故选：C
11．（2022·四川乐山·高一期末）不等式的解集为______________．
【答案】或
【解析】
【分析】
由题可得，进而即得.
【详解】
由，得，
所以或，
故不等式得解集为或．
故答案为：或．
12．（2022·新疆喀什·高一期末）不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】
解：∵，∴，即，
解得：，即.
故答案为：.
13．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期中（文））不等式的解集是___________
【答案】
【解析】
【分析】
解含有绝对值的不等式，可以采用分类讨论的方法或利用绝对值的几何意义解题﹒
【详解】
不等式可化为，
∴，或；
解之得：或，
即不等式的解集是.
故答案为：.
14．（2021·河北省博野中学高一阶段练习）不等式的解集是____________.
【答案】##
【解析】
【分析】
根据题意将化为，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.
【详解】
可化为，
，等价于，
解得，
所以不等式的解集是，
故答案为：.
15．（2022·福建·厦门一中高一期中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题知不等式恒成立，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】
解：因为函数的定义域是.
所以不等式恒成立．
所以，当时，不等式等价于，显然恒成立；
当时，则有，即，解得.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为:
16．（2022·云南·昆明一中高一期末）已知对恒成立，则实数的取值范围___________.
【答案】
【解析】
【分析】
将不等式分离参数，换元构造函数，利用单调性求得最小值，可得结论.
【详解】
因为对恒成立，
即在时恒成立，令，
则代换为，令，
由对勾函数可知，在上单增，所以，
所以.
故答案为：
17．（2022·上海·格致中学高一期末）若关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式，利用所得不等式求得结果.
【详解】
不等式对一切实数x恒成立，
，解得：
故答案为：.
18．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知a为常数，若关于x的不等式的解集为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，2是方程的两个根，借助韦达定理计算作答.
【详解】
因关于x的不等式的解集为，则，2是方程的两个根，
因此有，解得，
所以.
故答案为：
19．（2021·辽宁·高一期中）不等式的解集是，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用一元二次方程根与系数的关系可得，由此化简要求的不等式为，从而求出它的解集．
【详解】
∵不等式的解集是，
∴，解得，
由，可得，即，
∴，
∴不等式的解集是.
故答案为：．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知，关于的不等式对于一切实数恒成立，又存在实数，使得成立，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分析可得，根据一元二次不等式的性质及二次方程的解法，可得，代入所求，化简整理，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】
由题意得当时，，不符合题意，
当时，可得，解得，
又存在实数，使得成立，
所以，解得，
所以，且，
又，可得，
所求，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为
故答案为：
21．（2021·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.
【详解】
依题意，，是方程的两个根，且，
于是得，解得：，
因此，不等式为：，解得，
所以不等式 的解集是.
故答案为：
22．（2022·江苏南通·高一期末）不等式对于任意的x，y∈R恒成立，则实数k的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件将命题转化为关于x的一元二次不等式恒成立，再利用关于y的不等式恒成立即可计算作答.
【详解】
因为对于任意的x，y∈R恒成立，
于是得关于x的一元二次不等式对于任意的x，y∈R恒成立，
因此，对于任意的y∈R恒成立，
故有，解得，
所以实数k的取值范围为.
故答案为：
B组 能力提升
23．（2022·全国·高一）（多选题）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解.
【详解】
因为不等式的解集为，
所以，故，此时，所以A正确, B正确；
，解得：或.所以D正确；C错误.
故选：ABD
24．（2021·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）（多选题）下列不等式解集为空集的有（ ）
A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0 C．|x+1|+|x+2|＜1 D．|x+|＜2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求解不等式的解集即可得到结果．
【详解】
对于A，因为，所以无解，解集为；
对于B，的解集为{﹣1}；
对于C，因为，所以的解集为；
对于D，因为，所以的解集为；
故选：ACD．
25．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）（多选题）已知关于x的不等式的解集为则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】
由题意可知，是方程，从而可求出的关系，然后逐个分析判断
【详解】
因为关于x的不等式的解集为
所以，是方程，
所以A错误，，则，
对于B，由，得，因为，所以，所以不等式的解集为，所以B正确，
对于C，因为，，所以，所以C正确，
对于D，不等式可化为，因为，所以，解得，所以原不等式的解集为，所以D错误，
故选：BC
26．（2022·福建厦门·高一期末）（多选题）已知，关于x的不等式的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
分，，，，，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】
当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式等价于，解得或；
当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式等价于，解得或.
故选：BCD
27．（2022·重庆八中高二阶段练习）（多选题）集合也可以写成（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先将题中集合化为最简形式，再将选项中各集合化简并与题中集合比较即可.
【详解】
对于集合，解不等式，即，解得，所以.
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，解不等式，即，得，即，故B正确；
对于C选项，与集合比较显然错误，故C错误；
对于D选项，等价于，故D正确.
故选：ABD
28．（2021·福建·福州三中高一期中）（多选题）已知不等式的解集是，则（ ）
A． B． C． D．不等式的解集是
【答案】AC
【解析】
【分析】
结合不等式的解集与方程的根之间的关系，求得且，逐项判定，即可求解.
【详解】
解：因为不等式的解集是，
所以是方程的两个根，所以，且，所以A正确；
所以，所以，所以B错误；
当时，此时，所以C正确；
把代入不等式，可得，
因为，所以，即，此时不等式的解集显然不是，所以D不正确.
故选：AC.
29．（2022·浙江·杭十四中高一期末）（多选题）已知关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且，对四个选项逐个求解或判断即可.
【详解】
因为关于的不等式解集为，
所以和是方程的两个实根，且，故A正确；
所以，，所以，
因为，又，所以，故B正确；
不等式可化为，因为，所以，故C错误；
不等式可化为，又，
所以，即，解得，故D正确.
故选：ABD.
30．（2022·江西上饶·高一期末）（多选题）下列关于不等式的解集讨论正确的是（ ）
A．当时，的解集为
B．当时，的解集为
C．当时，的解集为
D．无论a取何值时，的解集均不为空集
【答案】CD
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解法逐一判断可得选项.
【详解】
解：对于A，当时，原不等式为，解得，故A不正确；
对于B，当时，原不等式为，解得或，故B不正确；
对于C，当时，原不等式为，解得或，故C正确；
对于D，由二次函数，开口向上，所以无论a取何值时，不等式均有解，故D正确；
故选：CD.
31．（2022·辽宁·高一阶段练习）（多选题）已知，若方程的两个根是，则的值可以是（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据基本不等式及韦达定理可解得结果.
【详解】
由的两个实根是，，即，，
∴，
又，
∴，即，当且仅当时等号成立.
∴，可能值为C、D.
故选：CD.
32．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据题意，通过讨论与0的大小关系，求出解集即可.
【详解】
根据题意，易知．
当时，函数的图象开口向上，故不等式的解集为或．
当时，函数的图象开口向下，若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为；若，不等式的解集为．
故选：ABC．
33．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知函数，
(1)求不等式的解集；
(2)恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）即，求解一元二次不等式的解集即可；
（2）将原式整理为恒成立，通过判别式，即可求得m的范围.
(1)
解：即，
整理得，
解得：，
∴的解集为.
(2)
∵，
即恒成立，
恒成立，
只需，
即，
解得：，所以m的取值范围为
34．（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式．
【答案】或
【解析】
【分析】
将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解
【详解】
，
解得或，
所以不等式的解集为或，
35．（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式．
【答案】
【解析】
【分析】
等价转化为，即可求解
【详解】
,等价转化为，
解得
所以不等式的解集为．
36．（2022·全国·高一专题练习）解以下一元二次不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)或；
(3)
(4)
【解析】
【分析】
（1）（3）（4）对不等式的左边分解因式求解，
（2）由，得，然后对不等式的左边分解因式求解，
(1)
由，得，
解得，
所以不等式的解集为
(2)
由，得，
则，解得或，
所以不等式的解集为或
(3)
由，得，
解得，
所以不等式的解集为
(4)
由，得，得，
所以不等式的解集为
37．（2022·山西运城·高二期末）已知函数，
(1)当时，求不等式的解集.
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解法解出即可；
（2）由可得，然后分、、三种情况讨论求解即可.
(1)
当时，，
解得为，所以解集为
(2)
由可得，
①当，即时，不等式解集为；
②当，即时，不等式可化为，此时解集为；
③当，即时，不等式解集为
综上所述，当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
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突破2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
A组 基础巩固
1．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2022·全国·高一专题练习）是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·甘肃·民勤县第一中学高二期中（文））不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·广东广州·高一期末）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·高一）不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
6．（2021·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）不等式的解集为（ ）
A．[－1，2] B．[－2，1]
C．[－2，1)∪(1，3] D．[－1，1)∪(1，2]
7．（2022·全国·高一）若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·甘肃庆阳·高一期末）关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·四川乐山·高一期末）不等式的解集为______________．
12．（2022·新疆喀什·高一期末）不等式的解集是___________.
13．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期中（文））不等式的解集是___________
14．（2021·河北省博野中学高一阶段练习）不等式的解集是____________.
15．（2022·福建·厦门一中高一期中）函数的定义域是，则实数a的取值范围为________．
16．（2022·云南·昆明一中高一期末）已知对恒成立，则实数的取值范围___________.
17．（2022·上海·格致中学高一期末）若关于x的不等式对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围是___________.
18．（2022·上海·曹杨二中高一期末）已知a为常数，若关于x的不等式的解集为，则______．
19．（2021·辽宁·高一期中）不等式的解集是，则不等式的解集是______.
20．（2022·全国·高三专题练习）已知，关于的不等式对于一切实数恒成立，又存在实数，使得成立，则的最小值为___________.
21．（2021·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知不等式的解集是，则不等式 的解集是________.
22．（2022·江苏南通·高一期末）不等式对于任意的x，y∈R恒成立，则实数k的取值范围为________．
B组 能力提升
23．（2022·全国·高一）（多选题）若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为
24．（2021·江苏·南京市金陵中学河西分校高一阶段练习）（多选题）下列不等式解集为空集的有（ ）
A．x2+2x+2≤0 B．x2+2x+1≤0 C．|x+1|+|x+2|＜1 D．|x+|＜2
25．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）（多选题）已知关于x的不等式的解集为则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
26．（2022·福建厦门·高一期末）（多选题）已知，关于x的不等式的解集可能是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2022·重庆八中高二阶段练习）（多选题）集合也可以写成（ ）
A． B．
C．或 D．
28．（2021·福建·福州三中高一期中）（多选题）已知不等式的解集是，则（ ）
A． B． C． D．不等式的解集是
29．（2022·浙江·杭十四中高一期末）（多选题）已知关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
30．（2022·江西上饶·高一期末）（多选题）下列关于不等式的解集讨论正确的是（ ）
A．当时，的解集为
B．当时，的解集为
C．当时，的解集为
D．无论a取何值时，的解集均不为空集
31．（2022·辽宁·高一阶段练习）（多选题）已知，若方程的两个根是，则的值可以是（ ）
A．1 B．
C． D．
32．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B． C． D．或
33．（2022·四川自贡·高一期末（文））已知函数，
(1)求不等式的解集；
(2)恒成立，求实数的取值范围.
34．（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式．
35．（2022·全国·高一专题练习）解关于的不等式．
36．（2022·全国·高一专题练习）解以下一元二次不等式
(1)
(2)
(3)
(4)
37．（2022·山西运城·高二期末）已知函数，
(1)当时，求不等式的解集.
(2)求不等式的解集.
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