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专题3.1 函数的概念及其表示
考情分析
考点梳理
【基础知识梳理】
一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
函数 映射
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为( ∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
三、分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x 1，g(t)＝2t 1，h(m)＝2m 1均表示相等函数.
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
三、题型突破
(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
例1．（1）、（2021·重庆·西南大学附中高一期中）下列图形是函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2021·四川省绵阳第一中学高一期中）下列是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．，对应法则
B．，，对应法则
C．，对应法则
D．，，对应法则
（3）、（2015·广东东莞·高一期中）下列对应是从集合到的映射的是
A．，，对应法则是开平方
B．，，对应法则是，
C．，，对应法则是取倒数
D．，，对应法则是
（4）、（2021·全国高一课时练习）如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】、（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2021·全国高一课时练习）下列图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．．
【变式训练1-3】、（2020·安徽蚌埠·高一阶段练习）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-4】、（2022·山东青岛·高一期末）（多选题）下面选项中，变量是变量的函数的是（ ）
A．表示某一天中的时刻，表示对应的某地区的气温
B．表示年份，表示对应的某地区的GDP (国内生产总值)
C．表示某地区的学生某次数学考试成绩，表示该地区学生对应的考试号
D．表示某人的月收入，表示对应的个税
(二)、求函数的定义域.
1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
考点精讲：求具体函数的定义域
例2．（1）、（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数的定义域为________．
（2）、（2022·新疆喀什·高一期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【变式训练2-1】．（2021·全国高一单元测试）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】、（2022·江苏·高一）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
考点精讲：求抽象函数的定义域
例3．（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】、（2020·河北唐山一中高一期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是______．
(三)、判断函数为同一（相等）函数
判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
例4．（1）、（2022·江苏·高一）与函数表示同一函数是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式训练4-1】．（2020·福建省泰宁第一中学高一月考）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】、（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
(四)、求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
考点精讲：求函数的解析式——待定系数法
例5．（1）、（2021·山东威海·高一期中）已知函数是一次函数，满足，则__________．
（2）、（2022·全国·高一专题练习）设是一次函数，且，求的解析式.
【变式训练5-1】、（2021·江苏高一专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】、（2021·全国高一课时练习）已知函数是一次函数，且，求的表达式．
【变式训练5-3】、（2020·全国）已知是一次函数，且，求的解析式；
考点精讲：求函数的解析式——换元法
例 6．（1）、（2020·江苏省通州高级中学）已知，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
（2）、（2021·上海高一专题练习）若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】、（2020·全国高一课时练习）若，则的解析式为
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】、（2020·重庆高一期中）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
考点精讲：求函数的解析式——方程组法或消去法
例7．（1）、（2020·全国高一课时练习）已知函数满足对任意有，求.
（2）、（2020·河南洛阳一高）已知，则（ ）
A． B．﹣3x C．﹣3x+1 D．
（3）、（2020·全国高一单元测试）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-1】、（2023·全国·高三专题练习）若，则______．
(五)、求函数值域
求函数值域的基本方法
1．观察法：
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
2．利用常见函数的值域：
一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.
3．分离常数法：
将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
4．换元法：
对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
5．配方法：
对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
6．数形结合法：
作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．
7．单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．
8．判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
例8．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.
例9．（2022·全国·高一专题练习）求函数的值域.
【变式训练9-1】．（2020·安徽马鞍山二中高一月考）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-2】．（2020·江苏高一课时练习）函数的值域是（ ）
A．， B． C．， D．
例10．（2022·全国·高一）已知函数的定义域为集合.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
(六)、分段函数求值
分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求函数值：
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
2．求函数最值：
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
3．求参数：
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
4．解不等式：
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求的值；
(2)对函数，若存在点，使得，求实数的值．
例12、（1）、（2020·邵阳市第十一中学）（多选题）已知，且，则（ ）
A． B．3 C．4 D．5
（2）、（2020·太原市·山西实验中学）已知实数，函数若，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
四、课堂训练
1．（2019·青海·西宁四中高一阶段练习）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是
A．B．C． D．
2．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）（多选题）下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．， B．，
C．， D．，
3．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的解集为______.
4．（2021·全国·高一课时练习）若对任意实数，均有，求.
5．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的定义域
(1)；
(2)；
(3)（）.
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专题3.1 函数的概念及其表示
考情分析
考点梳理
【基础知识梳理】
一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
函数 映射
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为( ∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
三、分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x 1，g(t)＝2t 1，h(m)＝2m 1均表示相等函数.
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
三、题型突破
(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
例1．（1）、（2021·重庆·西南大学附中高一期中）下列图形是函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义，对四个选项一一判断.
【详解】按照函数的定义，一个自变量只能对应一个函数值.
对于A：当x=0时，，不符合函数的定义.故A错误；
对于B：当x=0时，，不符合函数的定义.故B错误；
对于C：每一个x都对应唯一一个y值，符合函数的定义.故C正确；
对于D：当x=1时，y可以取全体实数，不符合函数的定义.故D错误；
故选:C
（2）、（2021·四川省绵阳第一中学高一期中）下列是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．，对应法则
B．，，对应法则
C．，对应法则
D．，，对应法则
【答案】B
【分析】根据对应法则和函数的概念依次判断选项即可.
【详解】A：当，，但，所以集合A中的
一个元素在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故A错误；
B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；
C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；
D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，
所以在集合B中五对应元素，不是函数，故D错误；
（3）、（2015·广东东莞·高一期中）下列对应是从集合到的映射的是
A．，，对应法则是开平方
B．，，对应法则是，
C．，，对应法则是取倒数
D．，，对应法则是
【答案】B
【详解】试题分析：，当为奇数时，，当为偶数时，，所以正确，取倒数无意义，所以不正确，的定义域是，而，所以不满足映射的定义，所以不正确．
考点：映射的定义
（4）、（2021·全国高一课时练习）如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据函数的定义逐一判断即可得出答案.
【详解】
解：①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，
即A中每一个元素在对应法则下，在中都有唯一的元素与之对应，
对于④⑤，A的每一个元素在中有个元素与之对应，∴不是A到的函数，
对于⑥，A中的元素、在中没有元素与之对应，∴不是A到的函数，
综上可知， 是函数的个数为.
故选：A.
【变式训练1-1】、（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，
A，C，D满足函数的定义，
故选：B
【变式训练1-2】、（2021·全国高一课时练习）下列图形中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．．
【答案】B
【分析】
根据函数的定义可判断.
【详解】
根据函数的定义：对于定义域内每一个，都有唯一一个与之对应，
在B选项中，存在，有两个与之对应，故不是函数图象.
故选：B.
【变式训练1-3】、（2020·安徽蚌埠·高一阶段练习）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A选项：集合A中的在集合B中有3、4两个数与它对应，判断A选项错误；B选项：集合A中的在集合B中没有元素与它对应，判断B选项错误；C选项：集合A中的在集合B中有3、5两个数与它对应，判断C选项错误；D选项：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，判断D选项正确.
【详解】解：A选项：集合A中的在集合B中有3、4两个数与它对应，故A选项错误；
B选项：集合A中的在集合B中没有元素与它对应，故B选项错误；
C选项：集合A中的在集合B中有3、5两个数与它对应，故C选项错误；
D选项：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，故D选项正确.
故选：D
【点睛】本题考查映射的定义，是基础题.
【变式训练1-4】、（2022·山东青岛·高一期末）（多选题）下面选项中，变量是变量的函数的是（ ）
A．表示某一天中的时刻，表示对应的某地区的气温
B．表示年份，表示对应的某地区的GDP (国内生产总值)
C．表示某地区的学生某次数学考试成绩，表示该地区学生对应的考试号
D．表示某人的月收入，表示对应的个税
【答案】ABD
【分析】根据函数的定义，进行判断
【详解】ABD均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C选项错误.
故选：ABD
(二)、求函数的定义域.
1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
考点精讲：求具体函数的定义域
例2．（1）、（2022·陕西渭南·高二期末（文））函数的定义域为________．
【答案】
【分析】根据题意列关于的不等式组即可求解.
【详解】由题要使得有意义，则，
故且，
从而的定义域为，
故答案为：.
（2）、（2022·新疆喀什·高一期末）函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可得，解之即可.
【详解】由题意知，
，解得，
即函数的定义域为.
故选：B
【变式训练2-1】．（2021·全国高一单元测试）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据所给函数，利用函数有意义列出不等式组，再求解即得.
【详解】
函数有意义，则必有，解得且．
函数的定义域为．
故选：C
【变式训练2-2】、（2022·江苏·高一）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据定义域的定义进行求解即可
【详解】使得函数的表达式有意义，
则且，解得
故选：D
考点精讲：求抽象函数的定义域
例3．（1）、（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据求解即可
【详解】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，所以的定义域为.又因为，即，所以函数的定义域为.
故选：C.
【变式训练3-1】、（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用抽象函数的定义域求法求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，则，
所以，解得，
所以的定义域为，
故选：B
【变式训练3-2】、（2020·河北唐山一中高一期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是______．
【答案】
【分析】
根据抽象函数的定义域的求法，结合函数，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域是，即，
则函数满足，解得，
即函数的定义域是.
故答案为：.
【点睛】
求抽象函数定义域的方法：
1、已知函数的定义域为，求复合函数的定义域时：可根据不等式解得，则的取值范围即为所求定义域；
2、已知复合函数的定义域为，求函数的定义域，求出函数的值域，即为的定义域.
(三)、判断函数为同一（相等）函数
判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
例4．（1）、（2022·江苏·高一）与函数表示同一函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简所给函数，根据相同的函数定义域、对应关系相同即可求解.
【详解】对于，函数，与函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B，函数，与函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于C，函数，与函数的定义域相同，但对应关系不同，不是同一函数；
对于D，函数，与函数的定义域不相同，不是同一函数．
故选：B
（2）、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】CD
【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；
对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.
故选：CD
【变式训练4-1】．（2020·福建省泰宁第一中学高一月考）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.
【详解】
对于选项A：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.
【变式训练4-2】、（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【分析】根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.
【详解】对于A，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；
对于B，，，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；
对于C，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；
对于D，与的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.
故选：ACD
(四)、求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
考点精讲：求函数的解析式——待定系数法
例5．（1）、（2021·山东威海·高一期中）已知函数是一次函数，满足，则__________．
【答案】或
【分析】根据题意设，利用待定系数法求解即可.
【详解】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故答案为：或.
（2）、（2022·全国·高一专题练习）设是一次函数，且，求的解析式.
【答案】或
【分析】利用待定系数法及复合函数从内到外的处理的原则即可求解.
【详解】设，则
,
所以，解得或，
所以函数的解析式为或.
【变式训练5-1】、（2021·江苏高一专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，（），利用两边恒等求出即可得结果．
【详解】
设，（）
∴，
即，
所以，解得，，
∴，故选B．
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
【变式训练5-2】、（2021·全国高一课时练习）已知函数是一次函数，且，求的表达式．
【答案】．
【分析】
设，根据，列出方程组，求得的值，即可得到答案.
【详解】
由题意，设一次函数的解析式为，
因为，可得，
整理得，即，解得，
所以函数的表达式为.
【变式训练5-3】、（2020·全国）已知是一次函数，且，求的解析式；
【答案】或.
【分析】
由是一次函数可设，再根据列方程组求出参数值，可得的解析式
【详解】
∵为一次函数，设
∴
又∵
∴，解得或
故或
【点睛】
本题考查了一次函数；用一般形式表示出一次函数，再根据条件列方程组求参数并得到函数解析式
考点精讲：求函数的解析式——换元法
例 6．（1）、（2020·江苏省通州高级中学）已知，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】
求出，即得解.
【详解】
令，
所以，
所以.
故选：B
（2）、（2021·上海高一专题练习）若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用换元法求得解析式，即可得出所求.
【详解】
令，则，，即，
则.
故选：A.
【变式训练6-1】、（2020·全国高一课时练习）若，则的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将已知解析式配方，可得，再通过替换法求得解析式．
【详解】
令，所以
所以
故选C.
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，属于一般题．
【变式训练6-2】、（2020·重庆高一期中）已知函数，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用换元法求函数解析式.
【详解】
令,则，所以
即 .
故选：B
【点睛】
本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.
考点精讲：求函数的解析式——方程组法或消去法
例7．（1）、（2020·全国高一课时练习）已知函数满足对任意有，求.
【答案】.。
【分析】
用代换，得，解方程组求出.
【详解】
①
用代换，得②
由①＋②得，
即，
.
【点睛】
本题考查方程组法求函数解析式，是基础题.
（2）、（2020·河南洛阳一高）已知，则（ ）
A． B．﹣3x C．﹣3x+1 D．
【答案】A
【分析】
采用方程组法，将替换为再写一组，联立两个方程消去即可求解
【详解】
因为①，所以②，联立①②解得．
故选：A
【点睛】
本题考查方程组法求解析式，属于基础题
（3）、（2020·全国高一单元测试）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且，则f（x）＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
在原等式中把与互换后用解方程组的方法求得．
【详解】
∵，①，
∴，②
①②联立方程组可解得（）．
故选：B．
【点睛】
本题考查求函数解析式，解题方法是方程组法．
【变式训练7-1】、（2023·全国·高三专题练习）若，则______．
【答案】
【分析】将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.
【详解】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
(五)、求函数值域
求函数值域的基本方法
1．观察法：
通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域．
2．利用常见函数的值域：
一次函数的值域为；反比例函数的值域为；指数函数的值域为；对数函数的值域为；正、余弦函数的值域为；正切函数的值域为.
3．分离常数法：
将形如(a≠0)的函数分离常数，变形过程为：
，再结合x的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域.
4．换元法：
对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数，可以令，得到，函数可以化为(t≥0)，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t的取值范围的限制．
5．配方法：
对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．
6．数形结合法：
作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．
7．单调性法：
函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域．
8．判别式法：
将函数转化为二次方程：若函数y＝f(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a(y)x2＋b(y)x＋c(y)＝0，则在a(y)≠0时，由于x，y为实数，故必须有Δ＝b2(y)－4a(y)·c(y)≥0，由此确定函数的值域．
利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.
例8．（2022·全国·高三专题练习）求函数的值域.
【答案】
【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域.
【详解】因为，
所以当时，；
当时，原函数化为，
所以，整理得，
解得即或，
∴综上，函数的值域为.
例9．（2022·全国·高一专题练习）求函数的值域.
【答案】.
【分析】变形函数式，利用均值不等式求解作答.
【详解】，
因，即，则，
当且仅当，即 时等号成立，于是得，
所以原函数的值域为.
（2）．78．（2021·全国·高一课时练习）求函数的值域．
【答案】
【分析】令，可得出，利用二次函数的基本性质可求得结果.
【详解】设，则，，
所以原函数可以化为
所以，
所以原函数的值域是．
【变式训练9-1】．（2020·安徽马鞍山二中高一月考）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
运用配方法求出函数的最小值，结合二次函数的单调性、函数的定义域和值域进行求解即可.
【详解】
，
当时，；当或时，.
因此当时，函数在区间上的最小值为，
最大值为，所以，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】
本题考查了已知二次函数的定义域和值域求参数取值范围问题，考查了数学运算能力.
【变式训练9-2】．（2020·江苏高一课时练习）函数的值域是（ ）
A．， B． C．， D．
【答案】D
【分析】
利用配方法，结合根号下非负，即可得得范围，再开方即可.
【详解】
因为
所以
所以，
即函数的值域为
故选：D
【点睛】
本题主要考查了配方法求函数值域，属于基础题.
例10．（2022·全国·高一）已知函数的定义域为集合.
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，即可求得实数的取值范围；
（2）由题意可知，对任意的恒成立，对的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
(1)
解：由题得恒成立，所以，所以.
(2)
解：由题得在上恒成立，即，
当，即时，在上单调递增，
则时，，所以；
当，即，在上单调递减，在上单调递增，
则时，，所以；
当，即时，在上单调递减，
则时，，又，所以此时无解.
综上所述：.
(六)、分段函数求值
分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求函数值：
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
2．求函数最值：
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
3．求参数：
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
4．解不等式：
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)求的值；
(2)对函数，若存在点，使得，求实数的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据分段函数的解析式，分别求得，即可得解；
（2）根据分段函数的解析式，分三种情况讨论，即可得解.
(1)
解：由，
得，
所以
(2)
解：由，
当时，则，解得（舍去），
当时，则，解得，
当时，则恒成立，
综上所述，实数的值为或.
例12、（1）、（2020·邵阳市第十一中学）（多选题）已知，且，则（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】AD
【分析】
分与两种情况讨论，解方程即可，要注意的范围.
【详解】
当时，，解得或（舍），
当时，，解得.
综上，或5.
故选：AD
（2）、（2020·太原市·山西实验中学）已知实数，函数若，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】
对分两种情况讨论得解.
【详解】
如果，则，
所以，
因为，所以舍去.
如果，则，
所以.
故选：B
四、课堂训练
1．（2019·青海·西宁四中高一阶段练习）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】逐一分析各个选项中的对应是否满足映射的概念，即前一个集合中的每一个元素在后一个集合中是否都有唯一确定的元素和它对应．
【详解】如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应，则此对应构成映射．
故选项D构成映射，
对于选项A：：不能构成映射，因为前边的集合中的元素2在后一个集合中没有元素和它对应，故此对应不是映射．
对于选项B集合B中4在集合A中对应两个数3，4，故此对应不是映射．
对于选项C：集合B中5在集合A中对应两个数1，4，所以C是错误的．
故选D．
【点睛】本题考查映射的概念，即一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应，则此对应构成映射．
2．（2021·重庆市石柱中学校高一阶段练习）（多选题）下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【分析】两函数定义域相同，对应关系相同，则它们是同一函数，据此逐项分析即可.
【详解】A：，，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函数；
B：定义域为R，的定义域为，故两函数不为同一函数；
C：，，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函数；
D：定义域满足，即[1，＋∞)；定义域满足，即(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故两函数不为同一函数.
故选：AC.
3．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的解集为______.
【答案】####{x|x=1或x=-6}##{x|x=-6或x=1}
【分析】利用换元法求函数的解析式，结合解一元次方程的根的方法即可求解.
【详解】，令，则，
，
，
由，得，解得或，
的解集为．
故答案为：.
4．（2021·全国·高一课时练习）若对任意实数，均有，求.
【答案】.
【分析】利用方程组方法即可求解.
【详解】利用方程组法求解即可；
∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案为： .
5．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的定义域
(1)；
(2)；
(3)（）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，解不等式组可得答案，
（2）由题意得，解不等式组可得答案，
（3）由解析式得，解不等式组可得答案，
(1)
因为
所以，解得或
所以函数的定义域为；
(2)
因为，
所以，解得：或
所以函数的定义域为；
(3)
因为（）
所以解得：
所以函数（）的定义域为；
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