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突破3.2 函数的基本性质
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高一单元测试）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州·高二学业考试）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西咸阳·高一期末）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西西安·高二期末（文））设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]
8．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期中（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高一专题练习）函数在是增函数，若，则有 （ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·江苏·高一）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
13．（2022·云南·高一阶段练习）已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高一专题练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
15．（2021·福建·莆田华侨中学高三阶段练习）设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·贵州遵义·高一期末）已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．2
18．（2022·全国·高三专题练习）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( )
A． B． C． D．
19．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2021·全国·高一专题练习）函数是定义在上的偶函数，是奇函数，且当时，，则（ ）
A．1 B． C． D．2020
21．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是________.
22．（2021·辽宁·沈阳二十中高二期末）若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．
23．（2022·云南楚雄·高一期末）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.
B组 能力提升
24．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为
C．最大值为2 D．没有最小值
25．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
26．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
27．（2022·江苏·高一）（多选题）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2022·全国·高一）（多选题）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2
C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数
29．（2022·湖北·沙市中学高一期末）（多选题）已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（ ）
A． B． C． D．
30．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列哪个函数是其定义域上的偶函数（ ）
A． B． C． D．
31．（2022·湖南·长沙市明德中学高二期中）（多选题）下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
32．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习）（多选题）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线x＝－1对称 B．在上为增函数
C． D．
34．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）（多选题）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
35．（2022·福建泉州·高二期末）（多选题）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
36．（2022·江苏南京·高二期末）（多选题）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图像关于对称 D．
37．（2022·福建福州·模拟预测）（多选题）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解
38．（2021·江西省铜鼓中学高一阶段练习）已知函数，
(1)证明：在上单调递减，并求出其最大值与最小值：
(2)若在上的最大值为，且，求的最小值.
39．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）已知函数．
(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数在区间上的值域.
40．（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）已知函数.
(1)请判断函数在和内的单调性，并证明在的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
41．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知函数，且为奇函数．
(1)求实数b的值；
(2)求函数的值域．
42．（2022·福建·三明一中高二阶段练习）已知为上的奇函数，当时，．
(1)求；
(2)求的解析式；
(3)画的草图，并通过图象写出的单调区间．
43．（2021·四川·攀枝花七中高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
44．（2021·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）设函数的定义域为R，并且满足，且当时，
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并给出证明；
(3)如果，求的取值范围；
45．（2021·重庆市第七中学校高一阶段练习）定义在上的函数满足：对于，成立；当时，恒成立.
(1)判断并证明函数的奇偶性，判断并证明的单调性；
(2)当时，解关于的不等式.
46．（2021·全国·高一课前预习）（1）若对于任意实数，函数都有，求证：为奇函数；
（2）若对于任意实数，函数都有，求证：为偶函数；
（3）设函数定义在上，求证：是偶函数，是奇函数.
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突破3.2 函数的基本性质
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高一单元测试）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】讨论a的取值，可知a=0符合题意，当 时，结合二次函数的性质可得不等式组，求得a的范围,综合可得答案.
【详解】当a=0时，函数在R上单调递增，
所以在上单调递增，则a＝0符合题意；
当 时，函数是二次函数，又在上单调递增，
由二次函数的性质知， ，解得.
综上，实数a的取值范围是,
故选:A.
2．（2022·贵州·高二学业考试）函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接由二次函数的单调性求解即可.
【详解】由知，函数为开口向上，对称轴为的二次函数，则单调递增区间是.
故选：B.
3．（2022·陕西咸阳·高一期末）若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合二次函数的对称轴和单调性求得的取值范围.
【详解】函数的对称轴为，
由于在上是减函数，所以.
故选：B
4．（2022·陕西西安·高二期末（文））设函数在区间上的最大值和最小值分别为M，m则（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
【答案】C
【分析】将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.
【详解】因为f(x)= =2+，
所以f(x)在[3，4]上是减函数.
所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.
所以.
故选：C.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．
【详解】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，
所以，解得．
故选：B
6．（2022·陕西·无高一阶段练习）已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先画出图象，结合图象得到或，解不等式即可.
【详解】
画出的图象如图所示，要使不等式成立，必有或，
由可得；由可得，综上可得.
故选：C.
7．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（ ）
A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]
【答案】D
【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可.
【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得解得.
故选：D.
8．（2022·陕西·西安市雁塔区第二中学高二期中（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】探讨给定函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答.
【详解】因在上单调递增，在上单调递增，
因此，函数在R上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
9．（2022·河南·高三阶段练习（文））若函数是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析出和的单调性，依题意列不等式组，即可解出m的范围.
【详解】在R上单调递增，在上单调递增.
要使函数是定义在R上的增函数，
只需，解得：或.
所以实数m的取值范围是.
故选：B
10．（2019·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的单调区间及增减性，可得到，求解即可.
【详解】函数，开口向下，对称轴为
函数在区间上是增函数， 所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
11．（2022·全国·高一专题练习）函数在是增函数，若，则有 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性，结合不等式的性质判断即可
【详解】，
又函数在上是增函数，故
故选：C.
12．（2022·江苏·高一）已知在定义域上是减函数，且，则的取值范围为（ ）
A．（0，1） B．（-2，1） C．（0，） D．（0，2）
【答案】A
【分析】根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为在定义域上是减函数，
所以由，
故选：A
13．（2022·云南·高一阶段练习）已知是定义在上的减函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围.
【详解】∵是定义在上的减函数，且，
则，解得.
故选：A.
14．（2022·全国·高一专题练习）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【分析】由奇函数和偶函数的定义依次判断即可.
【详解】A选项：设，，则为偶函数，A错误；
B选项：设，则，与关系不定，即不确定的奇偶性，B错误；
C选项：设，则，则为奇函数，C正确；
D选项：设，则，则为偶函数，D错误．
故选：C.
15．（2021·福建·莆田华侨中学高三阶段练习）设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由奇偶性和单调性求解即可
【详解】为奇函数，
∴，
又∵
∴，，，
又∵，且函数在区间上是增函数，
∴，
∴，，
故选：A.
16．（2022·贵州遵义·高一期末）已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的正负即可判断.
【详解】由图知，的定义域为，
令时，或，
由为奇函数，为偶函数，
所以为奇函数，关于原点对称，
对A，B：当时，，，所以，故A，B错误；
对C：由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；
对D：由图知，当时，，，，
当时，，，，
结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确；
故选：D.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是偶函数，且函数的图像关于点对称，当时，，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】先由题给条件求得函数的最小正周期为8，再利用周期、对称轴的性质即可求得的值.
【详解】根据题意，函数是偶函数，则函数的对称轴为，
则有，又由函数的图像关于点成中心对称，
则，则有，则，
则有，则函数是周期为8的周期函数，
则
故选：A．
18．（2022·全国·高三专题练习）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据f(x)是偶函数以及求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和即可将自变量的范围转化到[1，2]之间.
【详解】∵函数是偶函数，
∴，
又∵，
，
，
，
∴函数的周期为4，
∴.
故选：D.
19．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
20．（2021·全国·高一专题练习）函数是定义在上的偶函数，是奇函数，且当时，，则（ ）
A．1 B． C． D．2020
【答案】B
【分析】依题意得到函数是周期为4的周期函数，继而分别求得，进而求得结果.
【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则有，
又是奇函数，则，
所以
即，则有，
所以函数是周期为4的周期函数，
则，，
故.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意探究得到函数是周期为4的周期函数.
21．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间是________.
【答案】
【分析】先求出函数的定义域，再根据的单调性即可得出.
【详解】令，解得或，所以函数的定义域为，
而函数的对称轴是，
故函数的单调递增区间是.
故答案为：.
22．（2021·辽宁·沈阳二十中高二期末）若不等式对一切都成立，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用参变分离法将不等式转化为，令，将不等式恒成立问题转化为成立，求解函数的最大值.
【详解】解：因为不等式对一切恒成立，所以对一切恒成立，
令，可知成立，当，函数单调递减，
所以，所以.
故答案为：.
23．（2022·云南楚雄·高一期末）已知函数满足，，且，.若，则的取值范围是_______.
【答案】
【分析】先判断出是奇函数且为减函数，把原不等式转化为，即可解得.
【详解】因为函数满足，所以，即，所以是奇函数；
，且，不妨取，因为，所以，所以是减函数.
因为，可得，
即，所以，
解得，
所以的取值范围是
故答案为：
B组 能力提升
24．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上单调递减 B．单调递增区间为
C．最大值为2 D．没有最小值
【答案】ABC
【分析】先求出函数定义域，令，根据二次函数的性质，由已知解析式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】由得，即函数的定义域为，
令，则的图象是开口向下，对称轴为x＝－1的抛物线，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，故A，B正确；
，当x＝－3时，，当x＝1时，，则，故C正确，D错误.
故选：ABC.
25．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）如图所示是函数的图象，图中正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（ ）
A．函数的定义域为
B．函数的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的，都有唯一的自变量与之对应
【答案】BD
【分析】利用函数的图象判断.
【详解】由图象知：
A.函数的定义域为，故错误；
B.函数的值域为，故正确；
C. 函数在，上递增，但在定义域内不单调，故错误；
D.对于任意的，都有唯一的自变量与之对应，故正确；
故选：BD
26．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【分析】分离常数得，若在单调递增，则满足，检验选项即可求解.
【详解】在上单调递增,则满足:,即,故，满足，，满足，
故选:AC
27．（2022·江苏·高一）（多选题）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断可得出结论.
【详解】对于A选项，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于B选项，由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，故B正确；
对于C选项，因为函数、在在上均为增函数，
故函数在上单调递增，故C正确；
对于D选项，对于函数，，，
则，故函数在上不是增函数，故D错误.
故选：BC.
28．（2022·全国·高一）（多选题）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是( )
A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2
C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数
【答案】AB
【分析】根据分段函数的表达式分别进行判断即可．
A：分别求x≤1和x＞1时f(x)的范围即可；
B：代入f(x)＝x＋2计算即可；
C：分类讨论f(x)＝－1时x取值即可；
D：分别判断x≤1和x＞1时单调性即可.
【详解】当时，是增函数，则此时(1)，
当，为减函数，则此时，综上的最大值为3，故A正确；
，故B正确；
当时，由时，得，此时≤1，成立，故C错误；
当时，是增函数，故D错误，
故选：AB．
29．（2022·湖北·沙市中学高一期末）（多选题）已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】画出函数的图象，由图象可知函数在上为增函数，再利用函数的单调性简化不等式，即可得到结果．
【详解】因为函数，画出函数图象如图所示：
所以函数在上为增函数，
由得，
即
解得，
故选：B C D．
30．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列哪个函数是其定义域上的偶函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】先求得函数定义域，根据偶函数的定义，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A：定义域为R，令，则，
所以为定义域上偶函数，故A正确；
对于B：定义域为R，令，则，
所以为定义域上偶函数，故B正确；
对于C：令，解得，定义域为，定义域关于原点对称，令，
则，
所以为定义域上偶函数，故C正确；
对于D：定义域为，不关于原点对称，故不是偶函数，故D错误.
故选：ABC
31．（2022·湖南·长沙市明德中学高二期中）（多选题）下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据各项函数的定义域，结合函数的奇偶性和单调性分别对选项进行判断即可．
【详解】函数的定义域为，而函数在其定义域内不具有单调性，故A不符合题意；
函数的定义域为，由幂函数的性质，可知函数在上单调递增，且为奇函数，故B符合题意；
由正切函数的性质可知，函数的定义域为，且函数在其定义域内不具有单调性，故C不符合题意；
由二次函数的性质可知，函数在上单调递增，函数在上单调递增，又当时，，所以函数在其定义域上是增函数；令设任意的，则，所以，所以函数为奇函数，故D符合题意.
故选：BD.
32．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一阶段练习）（多选题）我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.
【详解】A选项，定义域为，在上显然单调递增，但，即不是偶函数，其图象不关于轴对称，A排除；
B选项，定义域为，在上显然单调递增，且，
所以是偶函数，图象关于轴对称，即B正确；
C选项，定义域为，在上显然单调递减，C排除；
D选项，的定义域为，在上显然单调递增，且，所以是偶函数，图象关于轴对称，即D正确.
故选：BD.
33．（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线x＝－1对称 B．在上为增函数
C． D．
【答案】AD
【分析】根据题意结合偶函数的性质可得的图象关于直线x＝－1对称，且在上为减函数，然后逐个分析判断即可
【详解】因为为偶函数，且函数在上为增函数，
所以的图象关于直线x＝－1对称，且在上为减函数，所以A正确，B不正确；
因为的图象关于直线x＝－1对称，，所以C不正确；
因为的图象关于直线x＝－1对称，所以，，又在上为增函数，所以，即，所以D正确.
故选：AD.
34．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）（多选题）在复习了函数性质后，某同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数为奇函数，则图象关于点成中心对称.现在已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．对任意，都有
【答案】BCD
【分析】若定义域为，通过对称中心可代入函数，整理可得A和C选项，结合题意可得关于原点对称，得D选项正确，将1代入可求得B选项
【详解】函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以，所以，故A错误，C正确；
结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；
代入1得，且所以，故B正确
故选：BCD
35．（2022·福建泉州·高二期末）（多选题）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的图象关于直线成轴对称
C．在区间上，为减函数
D．
【答案】AC
【分析】根据对称性，周期性的定义可得关于成轴对称，关于成中心对称，以为周期的周期函数，再由题意可得函数在区间上单调递增，即可判断；
【详解】解：因为是定义在上的奇函数，所以，
又，即关于对称，故B不正确；
所以，即，
所以，
所以是以为周期的周期函数，
因为在区间上，有，
所以在上单调递增，
因为，即，
所以的图象关于点成中心对称，故A正确；
因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，
所以在上单调递减，故C正确；
因为，故D错误；
故选：AC
36．（2022·江苏南京·高二期末）（多选题）已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图像关于对称 D．
【答案】BCD
【分析】根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小.
【详解】由题设，，即，则关于对称，C正确；
，即，关于对称，
所以，即周期为4，
且，即为偶函数，A错误；
则，B正确；
又，且，都有，即在上递增，
综上，在上递增，则上递减，故，D正确.
故选：BCD
37．（2022·福建福州·模拟预测）（多选题）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解
【答案】ABD
【分析】由题干条件可以得到关于对称，关于对称，周期为8，从而求出，A正确；根据周期与奇偶性判断出B选项，先根据奇偶性与单调性得到在单调递增，再根据周期求出在上单调递增，画出与的函数图象，判断出交点个数，从而得到D选项正确.
【详解】为偶函数，故，令得：，
为奇函数，故，令得：，其中，所以，A正确；
因为为奇函数，所以关于对称，又为偶函数，则关于对称，所以周期为，故，所以，从而为奇函数，B正确；
在上单调递增，又关于对称，所以在上单调递增，且周期为8，故在上单调递增，C错误；
根据题目条件画出与的函数图象，如图所示：
其中单调递减且，所以两函数有6个交点，故方程仅有6个实数解，D正确.
故选：ABD
【点睛】抽象函数对称性与周期性的判断如下：
若，则函数关于对称；
若，则函数关于中心对称；
38．（2021·江西省铜鼓中学高一阶段练习）已知函数，
(1)证明：在上单调递减，并求出其最大值与最小值：
(2)若在上的最大值为，且，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析；，.
(2)
【分析】（1）根据函数单调性的定义证明，再结合单调性求最值即可；
（2）根据（1）得，进而利用基本不等式“1”的用法求解即可.
(1)
解：设是区间上的任意两个实数，且，
则
，
因为且，
所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
所以，.
(2)
解：由（1）知在上的最大值为，
所以，即
所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
39．（2021·福建省德化第一中学高一阶段练习）已知函数．
(1)试判断函数在区间上的单调性，并证明；
(2)求函数在区间上的值域.
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）利用函数的单调性求值域.
(1)
解：函数在上的为增函数，理由如下：
任取，且，有
∵，∴
∴即
∴函数在区间上单调递增
(2)
由（1）可知函数在区间上单调递增，
∴，又∵时，，∴
∴
∴函数的值域为.
40．（2021·陕西·西工大附中分校高一期中）已知函数.
(1)请判断函数在和内的单调性，并证明在的单调性；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)在上递减，在递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用单调性的定义判断证明即可；
（2）问题转化为存在，，所以只要求出的最大值即可求解.
(1)
在上递减，在递增，
证明：任取，且，则
因为，所以，，
所以，即，
所以在上单调递增，
(2)
由存在，使得成立，
得存在，使得成立，
由（1）可知在上递减，
所以当时，取得最大值，即，
所以，即实数的取值范围为
41．（2022·陕西西安·高二期末（文））已知函数，且为奇函数．
(1)求实数b的值；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由为奇函数得.
(2)配方法求出二次函数的值域.
（1）由题意可知，又∵为奇函数，∴，即．
（2）由（1）知，∴
，．∴函数的值域为．
42．（2022·福建·三明一中高二阶段练习）已知为上的奇函数，当时，．
(1)求；
(2)求的解析式；
(3)画的草图，并通过图象写出的单调区间．
【答案】(1)0
(2)
(3)作图见解析，增区间为和，减区间为
【分析】（1）利用奇函数，直接代入求得；
（2）利用代入法求出x<0时的解析式，即可得到的解析式；
（3）先作出的图象，利用图象法求出单调区间.
(1)
因为为上的奇函数，当时，，
所以.
(2)
因为为上的奇函数，所以.
令x=0得：，所以.
任取，则.
所以.
由，所以.
综上所述：
(3)
作出的图象如图所示：
从图象可以看出：的增区间为和，减区间为.
43．（2021·四川·攀枝花七中高一期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请根据图象．
(1)补充完整图象并写出函数的增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若函数，求函数的最小值．
【答案】(1)图见解析，递增区间为和
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的对称性即可补充完整图象，由图象即可写出函数的增区间；
（2）当时，，则，然后由偶函数的定义即可得，从而可得的解析式；
（3）由（2），结合二次函数在闭区间上最值的求解方法即可得答案.
(1)
解：因为函数是定义在上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
由对称性即可补充完整图象，如图所示：
由图可知，函数的递增区间为和；
(2)
解：根据题意，当时，，所以，
因为函数是定义在上的偶函数，所以，
所以，
(3)
解：当时，，对称轴为，
当，即时，在上递增，所以；
当，即时，在上递减，所以；
当，即时，在上递减，在上递增，所以，
综上，函数的最小值．
44．（2021·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）设函数的定义域为R，并且满足，且当时，
(1)求的值；
(2)判断函数的单调性，并给出证明；
(3)如果，求的取值范围；
【答案】(1)0；
(2)函数是定义在上的减函数，详见解析；
(3).
【分析】（1）利用赋值法，求的值；
（2）利用函数单调性的定义，即得；
（3）由题可得函数的奇偶性，再利用函数的单调性将不等式进行转化，即可求解．
(1)
令，则，
∴；
(2)
函数是定义在上的减函数，
设，且，则，
∴，
∵当时，
∴，即
∴，
∴函数是定义在上的减函数；
(3)
∵
∴,又，
∴，
∴函数是奇函数，
∵，
∴，
∴，又函数是定义在上的减函数，
∴，即，
∴的取值范围为.
45．（2021·重庆市第七中学校高一阶段练习）定义在上的函数满足：对于，成立；当时，恒成立.
(1)判断并证明函数的奇偶性，判断并证明的单调性；
(2)当时，解关于的不等式.
【答案】(1)奇函数且单调递减，证明见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）令可得，令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性.
（2）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集.
(1)
为奇函数，证明如下：
由已知，对于有成立．
令，则, 可得．
令，则．
所以，对有，故是奇函数．
在上单调递减，证明如下：
任取且，则，由已知有，
又，得
所以在上是减函数．
(2)
因为，
所以．即，
因为在上是减函数，
所以， 即，又，
所以.
讨论如下：
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为；
当时，即时，原不等式的解集为.
46．（2021·全国·高一课前预习）（1）若对于任意实数，函数都有，求证：为奇函数；
（2）若对于任意实数，函数都有，求证：为偶函数；
（3）设函数定义在上，求证：是偶函数，是奇函数.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）令，可求得，再令，可证明，即可得证；
（2）令，得，令，得，从而可得，即可得证；
（3）设，，根据函数奇偶性的定义证明，，即可得证.
【详解】证明：（1）设，则，所以，
又设，则，所以，
所以是奇函数；
（2）令，得，
令，得，
所以，即，
所以是偶函数；
（3）对任意，必有，
所以的定义域也是，
设，，
则与的定义域也是，显然是关于原点对称的区间，
而，，
所以是偶函数，是奇函数，
故是偶函数，是奇函数.
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