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突破3.2 函数的基本性质
考情分析
考点梳理
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2、函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 （1）对于任意的，都有；（2）存在，使得 （3）对于任意的，都有；（4）存在，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
3、函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；
（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
4、函数的奇偶性
（1）．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
5、函数的周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.
注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
3．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；
②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为；
④若，则函数的周期为；
⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；
⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；
⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为
6．奇偶函数图象的对称性
①若是偶函数，则的图象关于直线对称；
②若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
三、题型突破
重难点突破1 判断或证明函数的单调性
1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；
③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。
2．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．
例1．（1）、（2022·全国·高一专题练习）下列四个函数在是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据各个函数的性质逐个判断即可
【详解】对A，二次函数开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故A不对．
对B，为一次函数，，在是减函数，故B不对．
对C，，二次函数，开口向下，对称轴为，在是增函数，故C不对．
对D，为反比例类型，，在是增函数，故D对．
故选：D
（2）．（2021·全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出函数的对称轴，再由二次函数的图象和条件列出关于的不等式．
【详解】
解：函数的对称轴为：，
函数在区间上是增函数，
，解得，
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象及单调性的应用，属于基础题．
【变式训练1-1】、（2021·全国）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围
【详解】
解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
【变式训练1-2】、（2021·徐州市第三十六中学）（多选题）下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据基本初等函数的单调判断即可；
【详解】解：对于A：在定义域上单调递减，故A错误；
对于B：在上单调递增，故B正确；
对于C：在上单调递减，在上单调递增，故C错误；
对于D：在定义域上单调递增，故D正确；
故选：BD
例2．（1）、（2022·江苏·高一）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性，列不等式组，即可求出a的范围.
【详解】要使函数在R上单调递增，
只需，解得：.
所以实数a的取值范围是.
故答案为：
（2）、（2022·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断当时，单调递减，故根据分段函数在上单调递减，列出相应的不等式，解得答案.
【详解】当时，单调递减，
在上递减，
且，
解得，
故选：.
【变式训练2-1】、（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.
【详解】由题意，解得，
故选：B
【变式训练2-2】、（2022·全国·高三专题练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
【答案】D
【分析】由题意是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可.
【详解】根据题意，任意实数都有成立，
所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是：,.
故选：D.
例3．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）根据定义证明函数在区间上单调递增.
【答案】证明见解析
【分析】利用单调性的定义，按照取值、作差、化简、定号、得结论的步骤，即可得证
【详解】证明：，且，
则
==
==
，，则，
，，
，即，
函数在区间上单调递增.
例4、（2022·山西·太原五中高二阶段练习）已知函数．
(1)判断在区间上的单调性，并用定义法证明；
(2)已知不等式恒成立，求正数的取值范围．
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2).
【分析】（1）在所给区间内取，作函数值之差即，对式子进行化简，判断的正负即可得出结论；
（2）根据函数的单调性，将不等式转化为，分离参数，利用换元法构造函数，求解函数的最大值即可.
(1)
证明：，，且，
则，
，
由，，得，
又由，得，
于是，即，
所以在区间上单调递增.
(2)
因为恒成立，且，，
由（1）得在区间上单调递增，
故恒成立．
等价于在上恒成立，
令，所以，
则有在恒成立，
令，，则
所以，所以正数的取值范围为.
【变式训练4-1】．（2021·四川甘孜·高一期末）判断并证明在的单调性.
【答案】函数在单调递增
【分析】根据函数单调性的定义进行证明即可
【详解】根据函数单调性的定义：
任取，所以
因为，所以，所以
所以原函数单调递增。
【变式训练4-2】、（2022·贵州遵义·高一期末）已知函数
(1)当，证明函数在上单调递减；
(2)当时，，求的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)利用证明函数单调性的定义，由，，可证明函数在上单调递减.
(2)通过讨论参数，分别求出，，时的值即可.
(1)
证明：若，则
，
当时，，所以
所以，函数在上单调递减.
(2)
①当时，，不满足条件；
②当时，易知函数在定义域内单调递增，则满足：，
联立，即解得，不满足条件；
③当时，令，
所以，函数在上单调递减；同理可证，函数在上单调递增，
所以，函数最小值应在处取得，
当时，函数在的最小值为，所以，解得，符合条件；
当时，函数在的最小值为，所以，解得，不符合条件；
当时，函数在的最小值为，所以，解得：，不符合条件；
综上，.
重难点突破2 单调性的应用
例5．（1）、（2021·贵州·高二学业考试）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.
【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，
所以的单调递减区间为.
故选：B
（2）、（2021·四川自贡·高一期中）若是定义在上的减函数，且．则的取值区间为_______
【答案】
【分析】根据函数的单调性求解即可.
【详解】因为是定义在上的减函数，且，
所以，解得.
故答案为：
【变式训练5-1】、（2022·全国·高一专题练习）函数的单调减区间为__________.
【答案】##
【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.
【详解】函数是由函数和组成的复合函数，
，解得或，
函数的定义域是或，
因为函数在单调递减，在单调递增，
而在上单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．
故答案为：.
【变式训练5-2】、（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）（多选题）函数s=f（t）的图象如图所示（图象与t正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数s=f（t）的定义城为[-3，-1]∪[0，+∞）
B．函数s=f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[2，4]时，有三个不同的t值与之对应
D．当时，
【答案】ABD
【分析】直接由函数定义域和值域对应关系可判断，结合单调性定义可判断D.
【详解】由函数图象可知，函数s=f（t）的定义域为[-3，-1]∪[0，+∞），值域为（0，5]，故AB正确；
当时，有三个不同的t值与之对应，当时，有两个不同的t值与之对应，故C错；
因为函数s=f（t）在上单调递增，
所以当时，，故D正确；
故选：ABD
重难点突破3 判断或证明函数的奇偶性
1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；
2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.
例6．（1）、（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用偶函数的定义逐项判断即可.
【详解】
A．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
B．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
C．定义域为，关于原点对称，，为偶函数，符合；
D．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
故选：C.
（2）．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义即可判断.
【详解】，则，因为是偶函数，故为偶函数.
故选：A
(3)．（2021·浙江·高一期中）（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，对各选项的函数逐一判断即可．
【详解】A：是偶函数，故A错误；
B：是奇函数，且在是增函数，故B正确；
C：是奇函数，在为减函数，为增函数，故C错误；
D：是奇函数，且在是增函数，故D正确.
故选：BD.
【变式训练6-1】．（2021·陕西汉中·高二期末（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项.
【详解】因为 .
选项A： ，定义域为 ，定义域不对称，故A错.
选项B： ，定义域为 ，定义域不对称，故B错.
选项C： ，定义域为 ，定义域不对称，故C错.
选项D： ，定义域为 ，定义域对称，为奇函数.故D正确.
故选：D.
【变式训练6-2】．（2021·广东·华南师大附中高一期中）（多选题）下列函数中为奇函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据奇函数的定义判断各选项是否为奇函数,
【详解】对于A，因为，所以函数为偶函数，A错，
对于B，因为，所以函数为奇函数，B对，
对于C，因为，所以函数为奇函数，C对，
对于D，因为，所以函数为偶函数，D错，
故选：BC.
【变式训练6-3】．（2022·黑龙江实验中学高二期末）（多选题）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】BD
【分析】根据奇函数、偶函数的定义逐一判断即可
【详解】对于A选项，因为且
，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误
对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确
对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误
对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确
故选：BD
重难点突破4 奇偶性的应用
例7．（1）、（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由奇函数得到上单调递减且，再由单调性解不等式即可求得的取值范围.
【详解】由题意知，在上单调递减且；由可得或，
则或，解得或.
故选：C.
（2）、（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
【分析】把不等式化成不等式组，再利用函数的奇偶性、单调性求解作答.
【详解】因为奇函数，且在上是增函数，，
则在上是增函数，且，
不等式化为： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
【变式训练7-1】．（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）函数的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先考虑的图象经过原点，可得，判断为偶函数时，求得，进而判断C；再讨论，，，，，分别判断A、B、D．
【详解】解：若的图象经过原点，可得，即，
，
若的图象关于轴对称，可得为偶函数，即，可得，即，故C不可能成立；
当，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为连续函数，故A可能成立；
当，，即有，，可得为奇函数，其图象关于原点对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故B可能成立；
若，则，
当，，即有，，可得为偶函数，其图象关于轴对称，
且时，为增函数，时，为增函数，故D可能成立．
故选：C．
【变式训练7-2】．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据函数的单调性结合分类讨论可求的解.
【详解】等价于或或，
因为为偶函数，且，故即为，
即为，
而在区间上单调递增，故即，
同理的解为或，
故的解为，
而的解为，
故的解为.
故答案为：
重难点5 单调性与奇偶性的综合应用
例8．（2020·合肥一六八中学高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据函数奇偶性可得且；当时，，根据可求得，又满足，可得分段函数解析式；（2）由解析式可得函数的图象，根据图象可得不等式，解不等式求得取值范围.
【详解】
（1）是定义在上的奇函数 且
当时，
又满足
（2）由（1）可得图象如下图所示：
在区间上单调递增 ，解得：
的取值范围为：
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性求解分段函数解析式、根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，易错点是忽略区间两个端点之间的大小关系，造成取值范围缺少下限.
例9．（2019·北京北师大二附中高一期中）函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）计算，；
（2）当时，求的解析式．
【答案】(1)f(0)=0,f(-1)=-1；（2）
【分析】
（1）根据已知条件，得到f(-x)=-f(x),进而得到f(0)，同时利用对称性得到f(-1)的值．
（2）令则则，结合性质得到结论．
【详解】
（1），
（2）令则则，又函数f(x)是奇函数
所以
【点睛】
本题主要是考查函数奇偶性和函数的解析式的运用．解决该试题的关键是利用奇函数的对称性得到x<0的解析式，进而分析得到特殊的函数值．属于基础题．
例10．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））设是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由函数奇偶性得；再设，则，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质，即可求出结果；
（2）先由题意，将不等式化为，再由函数单调性，得到，推出，求出，即可得出结果.
（1）由题意知，.设，则，故，又因为是奇函数，故，所以；
（2）由，不等式，等价于，因为，所以其在上是增函数，所以，即，因为，所以，所以，解得故实数的取值范围是.
例11．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知函数是奇函数，且.
(1)求实数的值；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
(3)当时，解关于的不等式：.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）由题意可得，求出，再由可求出，
（2）任取，且，然后求，化简变形可得结论，
（3）由（2）可知在上单调递增，所以原不等式可化为，解不等式可得结果
(1)
因为函数是奇函数，
所以，即，
，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，解得，
(2)
证明：由（1）可知
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以在上单调递增；
(3)
当时，，
由（2）可知在上单调递增，
因为，
所以，即，解得（舍去），或，
所以不等式的解集为
重难点5 抽象函数的单调性与奇偶性
例12．（2020·全国高三专题练习）设是定义在上的函数，且对任意，恒有.
（1）求的值；
（2）求证：为奇函数；
（3）若函数是上的增函数，已知,且，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）
【分析】
（1）通过令，即可得到的值；
（2）先判断定义域，然后考虑令，根据题设条件得到，即可完成证明；
（3）利用条件将变形为两个函数值之间的大小关系，利用函数的单调性列出不等式求解出实数的范围.
【详解】
（1）令，所以，所以；
（2）因为的定义域为关于原点对称，
令，所以，
所以，所以是奇函数；
（3）令，所以，
又因为，所以，所以，
又因为函数是上的增函数，所以，所以，即.
【点睛】
本题考查抽象函数的求值、奇偶性证明以及根据函数单调性解不等式，难度一般.抽象函数在求值或者证明时，一般选用“令值”的方式，将抽象的等式关系转变为待求的值或者待证明的问题.
例13．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析；
(2).
【分析】（1）令，可得，令，，从而即可证明；
（2）由已知条件，可得为增函数，又原不等式等价于恒成立，则在上恒成立，令，分离参数即可求解.
(1)
解：令，可得，
令，则，所以，
所以，
所以为奇函数；
(2)
解：，即，
所以，
又当时，成立，所以为增函数，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以当时，，
所以，即.
例14．（2020·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在上是增函数；
(3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见详解.
(2)证明见详解.
(3)
【分析】（1）利用赋值法构造奇偶性的定义即可证明；
（2）利用定义证明单调性即可；
（3）根据已得知的单调性，将其转化为一次函数的问题即可求实数的取值范围．
(1)
因为有，
令，得，所以，
令可得：，
所以，
故为奇函数．
(2)
由（1）可知是定义在，上的奇函数，
由题意设，则
由题意时，有，
是在上为单调递增函数；
(3)
由（1）（2）可知是上为单调递增函数,所以在上的最大值为
所以要使，对所有，恒成立，只要，
由，可得
解得
所以实数的取值范围为
【点睛】本题考查了函数的性质的应用及不等式的求解，转化思想，和赋值法解决抽象函数的问题，属于中档题．
重难点6 周期函数
例15．（1）、（2022·福建·莆田一中高一期末）（多选题）已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（ ）
A． B．函数为周期函数
C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象既有对称轴又有对称中心
【答案】BD
【分析】由与的关系式及的周期性、奇偶性，即可求、判断B；利用奇函数性质求在上的解析式，结合的周期性及求上的解析式判断C，利用对称性判断、是否成立判断D.
【详解】因为周期为4，则的周期为4，又是奇函数，
所以，A错误，B正确；
令，即，则，即；
令，即，则，即；
所以，
根据周期性在上的图象与在相同，
所以，当，即时，，C错误；
由是周期为4的奇函数，则且，
所以，故关于对称，
，所以关于对称，D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：根据的周期性及奇函数性质求上的解析式，结合判断的性质，注意对称性证明：判断是否存在、.
（2）、（2021·全国·高一专题练习）对于定义在区间上的函数，若满足对，且时都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”且，，又当，恒成立，有下列命题
①
②
③，
④
其中正确的所有命题的序号为______.
【答案】①③④
【解析】先求得，由对称性得可判断①，利用恒成立中令，，由新定义得，从而可得，可判断②，由“非减函数”的定义可判断③，由得时，，再结合可求得④中的四个函数值，从而判断④．
【详解】又，，则，关于点对称，则，故①正确；
由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，则，故②错误；
由“非减函数”定义，∵，∴时，，③正确；
由，，同理可得，，由，，，则，则，故④正确.
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是理解新定义，利用新定义的性质解题．考查了不等式的性质，旨在考查学生的逻辑推理能力，分析求解能力，创新意识．
【变式训练15-1】．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．
【答案】0
【分析】根据题意可得关于对称，也关于(1,0)对称，进一步得到周期为4，再求出的值，最后可求出的值.
【详解】解：因为为偶函数，
所以＝，即＝，
所以函数关于对称，所以＝，
又因为为奇函数，
所以＝－，
所以函数关于(1,0)对称，＝－＝－，
即＝－，
所以＝－，＝－＝，
即＝，
所以的周期为4，
在＝－中令 ，得，所以 ，即，
又因为，所以，即，所以，
所以当时，，
所以，
所以，
，
，
，
所以则0.
故答案为：0.
【变式训练15-2】．（2022·湖北恩施·高二期末）是定义在上的偶函数，是奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可得，可得出的值，求出的值，推导出函数是以为周期的周期函数，利用函数的周期性和对称性可求得的值.
【详解】因为是奇函数，所以，则，
所以，，解得，所以，，
又是偶函数，所以，
故，则是以为周期的周期函数，
因此，
故选：A.
课堂训练
1．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由，利用一次函数的性质判断.
【详解】A. 由一次函数的性质知：在上为增函数，故错误；
B. 由二次函数的性质知：在的图像开口向下，对称轴为，
所以函数在递增，在 上递减，故错误；
C. 由反比例函数的性质知：在 上递增，在递增，
则在上为增函数，故错误；
D. 由知：函数在上为减函数，故正确；
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【答案】B
【分析】由f（x）＝xln（x）为偶函数，则设g（x）＝ln（x）是奇函数，由g（0）＝0，可求出答案.
【详解】解：∵函数f（x）＝xln（x）为偶函数，x∈R，
∴设g（x）＝ln（x）是奇函数，
则g（0）＝0，
即ln0，则1，则a＝1．
故选：B．
3．（2022·贵州遵义·高一期末）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BC
【分析】分，和三种情况讨论，结合二次函数的性质，从而可得出答案.
【详解】解：当时，，
所以当时，，
若，则，
所以此时，即存在最小值，
若，则当时，，无最小值，
若，则当时，为减函数，
则要使存在最小值时，
则，解得，
综上或.
故选：BC.
4．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）已知函数
(1)证明：为偶函数；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
【答案】(1)证明见解析
(2)为上的增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇偶性的定义证明即可；
（2）首先得到的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
（1）
证明：的定义域为，
又，故为偶函数；
（2）
解：，所以为上的增函数，
证明： 任取，，且，
∵，∴，又，
∴，即，
∴为上的增函数；
（3）
解：不等式，
等价于
即，
∵为上的增函数，
∴，解得，故不等式的解集为.
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突破3.2 函数的基本性质
考情分析
考点梳理
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2、函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 （1）对于任意的，都有；（2）存在，使得 （3）对于任意的，都有；（4）存在，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
3、函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；
（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
4、函数的奇偶性
（1）．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
5、函数的周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.
注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
3．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；
②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为；
④若，则函数的周期为；
⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；
⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；
⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为
6．奇偶函数图象的对称性
①若是偶函数，则的图象关于直线对称；
②若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
三、题型突破
重难点突破1 判断或证明函数的单调性
1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；
③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。
2．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．
例1．（1）、（2022·全国·高一专题练习）下列四个函数在是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（2021·全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围
A． B． C． D．
【变式训练1-1】、（2021·全国）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2021·徐州市第三十六中学）（多选题）下列函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（1）、（2022·江苏·高一）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是________.
（2）、（2022·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2022·辽宁·沈阳二中高二期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】、（2022·全国·高三专题练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
， B． C．， D．
例3．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）根据定义证明函数在区间上单调递增.
例4、（2022·山西·太原五中高二阶段练习）已知函数．
(1)判断在区间上的单调性，并用定义法证明；
(2)已知不等式恒成立，求正数的取值范围．
【变式训练4-1】．（2021·四川甘孜·高一期末）判断并证明在的单调性.
【变式训练4-2】、（2022·贵州遵义·高一期末）已知函数
(1)当，证明函数在上单调递减；
(2)当时，，求的值.
重难点突破2 单调性的应用
例5．（1）、（2021·贵州·高二学业考试）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2021·四川自贡·高一期中）若是定义在上的减函数，且．则的取值区间为_______
【变式训练5-1】、（2022·全国·高一专题练习）函数的单调减区间为__________.
【变式训练5-2】、（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）（多选题）函数s=f（t）的图象如图所示（图象与t正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）
A．函数s=f（t）的定义城为[-3，-1]∪[0，+∞）
B．函数s=f（t）的值域为（0，5]
C．当s∈[2，4]时，有三个不同的t值与之对应
D．当时，
重难点突破3 判断或证明函数的奇偶性
1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；
2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.
例6．（1）、（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
(3)．（2021·浙江·高一期中）（多选题）下列函数中，既是奇函数又在区间是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1】．（2021·陕西汉中·高二期末（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】．（2021·广东·华南师大附中高一期中）（多选题）下列函数中为奇函数的有（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】．（2022·黑龙江实验中学高二期末）（多选题）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
重难点突破4 奇偶性的应用
例7．（1）、（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【变式训练7-1】．（2022·黑龙江·铁人中学高二期末）函数的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.
重难点5 单调性与奇偶性的综合应用
例8．（2020·合肥一六八中学高一期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
例9．（2019·北京北师大二附中高一期中）函数是定义在上的奇函数，当时，．
（1）计算，；
（2）当时，求的解析式．
例10．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））设是定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
例11．（2022·北京市第十一中学高二期末）已知函数是奇函数，且.
(1)求实数的值；
(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递增；
(3)当时，解关于的不等式：.
重难点5 抽象函数的单调性与奇偶性
例12．（2020·全国高三专题练习）设是定义在上的函数，且对任意，恒有.
（1）求的值；
（2）求证：为奇函数；
（3）若函数是上的增函数，已知,且，求实数的取值范围.
例13．（2022·安徽·高一期中）已知函数满足，当时，成立，且．
(1)求，并证明函数的奇偶性；
(2)当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
例14．（2020·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.
(1)证明：为奇函数；
(2)证明：在上是增函数；
(3)设，若，对所有，恒成立，求实数m的取值范围.
重难点6 周期函数
例15．（1）、（2022·福建·莆田一中高一期末）（多选题）已知是周期为4的奇函数，且当时，，设，则（ ）
A． B．函数为周期函数
C．函数在区间上单调递减 D．函数的图象既有对称轴又有对称中心
（2）、（2021·全国·高一专题练习）对于定义在区间上的函数，若满足对，且时都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”且，，又当，恒成立，有下列命题
①
②
③，
④
其中正确的所有命题的序号为______.
【变式训练15-1】．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，．若，则______．
【变式训练15-2】．（2022·湖北恩施·高二期末）是定义在上的偶函数，是奇函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
四、课堂训练
1．（2022·北京·人大附中高二阶段练习）下列函数中，在上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝xln（x）为偶函数，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
3．（2022·贵州遵义·高一期末）设函数，存在最小值时，实数的值可能是（ ）
A．2 B．-1 C．0 D．1
4．（2022·重庆·巫山县官渡中学高一期末）已知函数
(1)证明：为偶函数；
(2)判断的单调性并用定义证明；
(3)解不等式
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