中小学教育资源及组卷应用平台
突破3.3 幂函数
A组 基础巩固
1．（2022·河北·秦皇岛一中高二期末）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
2．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·全国·高一专题练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建·厦门一中高一期中）下列不等式成立的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＜b2 B．
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则
6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））若函数是幂函数，满足，则_________．
8．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．
9．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知幂函数的图象过点，则______．
10．（2022·上海交大附中高二期末）幂函数的图象与轴没有交点，则___________.
11．（2022·福建南平·高二期末）若函数是幂函数，则实数______.
12．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
13．（2021·四川·攀枝花七中高一阶段练习）函数是幂函数，对任意，且，满足，若函数（其中且）在上单调递增，则的取值范围是_______
14．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数，则其单调增区间为_____.
15．（2022·全国·高一）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②；③任取，，且．
16．（2021·四川省绵阳第一中学高一期中）给出下列四个结论：
①所有的幂函数都经过定点与；
②已知函数（且）在上是减函数，则的取值范围是；
③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称；
④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称.
其中正确结论的序号是______.
17．（2022·江苏镇江·高一期末）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
B组 能力提升
18．（2022·全国·高一单元测试）(多选题)下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）(多选题)幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
20．（2021·湖北孝感·高一期中）(多选题)下列说法正确的有（ ）
A．命题若，则的否定为命题若，则
B．幂函数在上为增函数的充要条件为
C．“正方形是平行四边形”是一个全称量词命题
D．至少有一个整数，使得为奇数
21．（2021·全国·高一期末）(多选题)下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．幂函数为奇函数
C．的单调减区间为
D．函数的图象与y轴的交点至多有1个
22．（2021·全国·高一专题练习）(多选题)已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
23．（2023·全国·高三专题练习）(多选题)下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．幂函数（）始终经过点和
D．若函数，则对于任意的，有
24．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中是真命题的有
A．幂函数的图象都经过点和
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当时，幂函数是增函数
D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小
25．（2021·江苏·高一课时练习）分别把下列各题中的3个数按从小到大的顺序用不等号连接起来：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，.
26．（2022·山西·高一期中）已知幂函数的图象过点．
(1)求m，n的值；
(2)求关于x的不等式的解集．
27．（2021·内蒙古·包头市第四中学高一期中）已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求m的值：
(2)当时，记，的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．
28．（2022·辽宁沈阳·高一期末）已知幂函数，且在区间上单调递减.
(1)求的解析式及定义域；
(2)设函数，求证：在上单调递减.
29．（2022·上海金山·高一期末）已知幂函数在其定义域上是严格增函数，且（）.
(1)求m的值；
(2)解不等式：.
30．（2022·贵州·六盘水市第五中学高一期末）已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破3.3 幂函数
A组 基础巩固
1．（2022·河北·秦皇岛一中高二期末）“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
2．（2023·全国·高三专题练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
3．（2022·全国·高一专题练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.
【详解】函数在上单调递减，其函数值集合为，
当时，的取值集合为，的值域，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，其函数值集合为，
因函数的值域为，则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：D
5．（2022·福建·厦门一中高一期中）下列不等式成立的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＜b2 B．
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则
【答案】D
【分析】由不等式的性质及幂函数的性质对各个选项进行分析可得正确答案.
【详解】对于A，若，，则，故A错误；
对于B，函数为增函数，故，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，
因为，，所以，，所以
所以，即成立，故D正确．
故选：D．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，容易判断为奇函数，且在R上单调递增，进而将原不等式转化为，最后根据单调性求得答案.
【详解】设，，则，即为奇函数，容易判断在R上单调递增（增+增），又可化为，，所以a >1－2a，∴ a >．
故选：A.
7．（2022·河南·济源市基础教育教学研究室高二期末（文））若函数是幂函数，满足，则_________．
【答案】
【分析】利用幂函数定义设，由，求解，从而得的解析式，即可求值.
【详解】解：函数是幂函数，设，
又，所以，即，所以，得
所以，则.
故答案为：.
8．（2023·全国·高三专题练习）幂函数在上单调递减，则的值为______．
【答案】2
【分析】利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.
【详解】解：因为函数是幂函数，
则有，解得或，
当时，函数在上单调递增，不符合题意，
当时，函数在上单调递减，符合题意.
所以的值为
故答案为：
9．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知幂函数的图象过点，则______．
【答案】1
【分析】根据给定条件，求出幂函数的解析式即可计算作答.
【详解】依题意，设，为常数，则，解得，即，
所以.
故答案为：1
10．（2022·上海交大附中高二期末）幂函数的图象与轴没有交点，则___________.
【答案】0
【分析】根据幂函数的定义求出，在验证，求解即可
【详解】根据幂函数的定义得，
解得或；
当时，，图象与轴有交点，不满足题意；
当时，，图象与轴没有交点，满足题意；
综上，，
故答案为：
11．（2022·福建南平·高二期末）若函数是幂函数，则实数______.
【答案】1
【分析】根据幂函数定义列方程求解可得.
【详解】因为是幂函数，所以，解得.
故答案为：1
12．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数 的图像关于y轴对称，且在上是减函数，实数满足，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】根据幂函数的性质求出的值，根据幂函数的单调性得到关于的不等式解出即可.
【详解】幂函数在上是减函数，
，解得，
，或．
当时，为偶函数满足条件，
当时，为奇函数不满足条件，
则不等式等价为，即，
在R上为增函数，
，解得：.
故答案为：.
13．（2021·四川·攀枝花七中高一阶段练习）函数是幂函数，对任意，且，满足，若函数（其中且）在上单调递增，则的取值范围是_______
【答案】
【分析】根据单调性定义可知在上单调递增，结合幂函数定义可求得，进而得到解析式；根据单调性可构造不等式组求得结果.
【详解】对任意，且，满足，
在上单调递增，又为幂函数，，解得：，，则；
在上单调递增，，解得：；
的取值范围为.
故答案为：.
14．（2021·重庆·西南大学附中高一期中）已知函数，则其单调增区间为_____.
【答案】##
【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性，即可得到答案；
【详解】，函数的定义域为，
令，则当单调递减，在单调递增，
，在定义域内单调递增，
在在单调递增，
故答案为：
15．（2022·全国·高一）写出一个同时具有下列性质①②③的函数______．
①；②；③任取，，且．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，利用幂函数的性质逐一验证即可.
【详解】取，函数为幂函数，满足①；，则函数为偶函数，满足②；③表示函数在上单调递增，由幂函数的性质可知满足③.
故答案为：（答案不唯一）
16．（2021·四川省绵阳第一中学高一期中）给出下列四个结论：
①所有的幂函数都经过定点与；
②已知函数（且）在上是减函数，则的取值范围是；
③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称；
④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称.
其中正确结论的序号是______.
【答案】③④
【分析】由幂函数的性质判断①，根据对数复合函数的区间单调性可得求参数范围判断②，由指对幂函数的对称性判断③、④.
【详解】①所有的幂函数都经过定点，但不一定过，错误；
②函数（且）在上是减函数，则，解得的取值范围是，错误；
③在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称，正确；
④在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确.
故答案为：③④
17．（2022·江苏镇江·高一期末）设幂函数同时具有以下两个性质：①函数在第二象限内有图象；②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立.请写出符合上述条件的一个幂函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用幂函数的图像、单调性得到指数满足的条件，写出一个满足题意的幂函数即可.
【详解】由题意可得，幂函数需满足在第二象限内有图象且在上是单调递减即可，所以，故满足上述条件的可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
B组 能力提升
18．（2022·全国·高一单元测试）(多选题)下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】解：对于A，函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，根据幂函数的性质，可得函数在区间上单调递增，故A正确；
对于B，函数的定义域为，且，
所以函数为奇函数，易知在上单调递增，故B正确；
对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，函数在区间上单调递减，故D错误.
故选：AB.
19．（2021·贵州·遵义航天高级中学高一阶段练习）(多选题)幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上单调递增
C．函数是偶函数
D．函数的图象关于原点对称
【答案】ABD
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得，即可得到，从而判断可得；
【详解】解：因为幂函数在上是增函数，
所以，解得，所以，
所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以在上单调递增；
故选：ABD
20．（2021·湖北孝感·高一期中）(多选题)下列说法正确的有（ ）
A．命题若，则的否定为命题若，则
B．幂函数在上为增函数的充要条件为
C．“正方形是平行四边形”是一个全称量词命题
D．至少有一个整数，使得为奇数
【答案】BC
【分析】A选项，全称命题的否定是特称命题；B选项，可以先由为幂函数求出的值，再代回函数的的解析式判断单调性；C选项可以改写成全称命题的标准形式；D选项举反例
【详解】对于A
命题：若，则的否定为命题：存在实数，使得.
所以A错误
对于B
因为为幂函数
所以，则或
当时，在上单调递增
当时，在，上单调递减.不合题意应舍去.
所以B正确
对于C
“正方形是平行四边形”即“任意一个正方形都是平行四边形”，显然是一个全称量词命题.
所以C正确
对于D
当为奇数，则为偶数，所以为偶数；
当为偶数，则为奇数，所以为偶数
综上，若为整数，则为偶数
所以D错误
故选：BC
21．（2021·全国·高一期末）(多选题)下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．幂函数为奇函数
C．的单调减区间为
D．函数的图象与y轴的交点至多有1个
【答案】ABD
【分析】由存在量词命题的否定的定义判断A；利用幂函数的定义及奇函数的概念判断B；由判断C；由函数的定义判断D.
【详解】对于A项，由存在量词命题的否定的定义可知，命题“，”的否定是“，”，A正确；
对于B项，由幂函数的概念有，则或，当时，为奇函数，当时，为奇函数，所以选项B正确；
对于C项，由可知，C错误；
对于D项，由函数的定义可知，若在定义域内，则有且只有一个与之对应，即函数的图象与轴的交点只有一个，若不在定义域内，则函数的图象与轴无交点，所以函数的图象与轴的交点至多有1个，D正确.
故选：ABD.
22．（2021·全国·高一专题练习）(多选题)已知幂函数，对任意，且，都满足，若且，则下列结论可能成立的有（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D．以上都可能
【答案】BC
【分析】先求出幂函数的解析式，，根据奇函数和增函数解不等式，即可得到.
【详解】因为为幂函数，
所以，解得：m=2或m=-1.
因为任意，且，都满足，
不妨设，则有，所以为增函数，
所以m=2，此时
因为，所以为奇函数.
因为且，
所以.
因为为增函数，
所以，所以.
故BC正确.
故选：BC
23．（2023·全国·高三专题练习）(多选题)下列说法正确的是（ ）
A．若幂函数的图象经过点，则解析式为
B．若函数，则在区间上单调递减
C．幂函数（）始终经过点和
D．若函数，则对于任意的，有
【答案】CD
【解析】根据幂函数的解析式，单调性依次判断每个选项得到答案.
【详解】若幂函数的图象经过点，则解析式为，故错误；
函数是偶函数且在上单调递减，故在单调递增，错误；
幂函数（）始终经过点和，正确；
任意的，，要证，即，
即，即，易知成立，故正确；
故选：.
【点睛】本题考查了幂函数，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.
24．（2021·全国·高一课时练习）下列命题中是真命题的有
A．幂函数的图象都经过点和
B．幂函数的图象不可能过第四象限
C．当时，幂函数是增函数
D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小
【答案】BD
【分析】根据幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例的方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，对于A中，例如幂函数的图象不经过点，所以不正确；
对于B中，根据函数的概念，可得幂函数的图象不可能过第四象限是正确的；
对于C中，例如幂函数在其定义域上不是单调函数，所以不正确；
对于D中，根据幂函数的图象与性质，可得当时，幂函数在第一象限内是减函数，所以是正确的.
故选BD.
【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的判定及应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质，以及合理利用举反例进行逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
25．（2021·江苏·高一课时练习）分别把下列各题中的3个数按从小到大的顺序用不等号连接起来：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，.
【答案】详见解析.
【分析】利用指数函数的单调性求解,
【详解】（1）因为，，；
又因为在R上是增函数，
所以，
所以；
（2）因为，，，
所以；
（3）因为，，；
又因为在R上是减函数，
所以，
所以；
（4）因为，，，
又又因为在R上是增函数，
所以，
所以.
26．（2022·山西·高一期中）已知幂函数的图象过点．
(1)求m，n的值；
(2)求关于x的不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）列出关于m，n的方程，即可求得m，n的值；
（2）将不等式转化为整式不等式组，即可求得不等式的解集．
(1)
由题知为幂函数，则，得或（舍），
图象经过，则，解得；
(2)
∵，∴以4为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，
则不等式
等价于， ，∴不等式解集为．
27．（2021·内蒙古·包头市第四中学高一期中）已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求m的值：
(2)当时，记，的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数定义和在第一象限内的单调性可构造方程组求得；
（2）由一次函数和指数函数单调性可求得，由并集结果可构造不等式组求得结果.
(1)
为幂函数且在上单调递增，，解得：；
(2)
由（1）知：，当时，，即；
当时，，即；
，
，解得：，即实数的取值范围为.
28．（2022·辽宁沈阳·高一期末）已知幂函数，且在区间上单调递减.
(1)求的解析式及定义域；
(2)设函数，求证：在上单调递减.
【答案】(1)，定义域为.
(2)证明见解析
【分析】（1）由幂函数的定义可得答案；
（2）求出利用单调性定义证明即可.
（1）因为幂函数，在区间上单调递减，所以，解得或，所以，定义域为.
（2）由（1）知函数，设，则因为，所以，，所以，即，所以在上单调递减.
29．（2022·上海金山·高一期末）已知幂函数在其定义域上是严格增函数，且（）.
(1)求m的值；
(2)解不等式：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件结合幂函数的性质可得，再验证可得答案.
（2）由函数在其定义域上是严格增函数，结合（1）得出的解析式以及函数的定义域可得，从而解出答案.
(1)
幂函数在其定义域上是严格增函数，则 ，即
又，则，此时
满足在定义域上是严格增函数.
所以
(2)
由（1）函数在其定义域上是严格增函数
根据，则 ，则
所以，解得
所以不等式的解集为
30．（2022·贵州·六盘水市第五中学高一期末）已知幂函数在上为增函数.
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）解方程再检验即得解；
（2）令，再求函数的值域即得解.
(1)
解：由题得或.
当时，在上为增函数，符合题意；
当时，在上为减函数，不符合题意.
综上所述.
(2)
解：由题得，
令，
抛物线的对称轴为，所以.
所以函数的值域为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
