中小学教育资源及组卷应用平台
突破4.1 指数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
考点二 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
考点三 指数幂的运算性质
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
三、题型突破
(一) 根式化简
例1、（1）、（2022·贵州·高二学业考试）计算的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】直接由指数运算求解即可.
【详解】.
故选：C.
（2）．（2021·全国·高一课前预习）计算的结果是（ ）
A．5 B．－5
C．±5 D．不确定
【答案】A
【分析】根据根式运算性质：当n为偶数时，，即可解决.
【详解】＝5．
故选：A．
（3）、（2021·四川·成都市郫都区川科外国语学校高一开学考试）计算：______.
【答案】.
【分析】将，代入计算即可.
【详解】原式.
故答案为:.
【变式训练1-1】、（2022·北京房山·高一期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分数指数幂与根式的互化可得结果.
【详解】利用分数指数幂与根式的互化可得.
故选：A.
【变式训练1-2】、（2022·江苏·高一）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】由负分数指数幂的意义可知，，
所以，即，因此的取值范围是．
故选：C.
【变式训练1-3】、（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）计算______.
【答案】1
【分析】将带分数化为假分数，再根据分数指数幂的运算法则计算可得；
【详解】解：
故答案为：
(二) 根式与分数指数幂互化
例2、（1）、（2022·全国·高一课时练习）式子的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由指数运算法则直接计算可得结果.
【详解】.
故选：D.
（2）、（2021·全国·高一专题练习）计算：______．
【答案】1
【分析】由题意结合指数幂的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】因为有意义，所以，所以原式．
故答案为1．
【点睛】本题主要考查分数指数幂及其运算法则，属于基础题.
（3）、（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案.
【详解】，而，故A错误；
，故B错误；
，故C 正确；，故D正确.
故选：CD.
【变式训练2-1】．（多选题）（2019·全国高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】对于选项A,因为，而，即A错误；
对于选项B，因为，即B错误；对于选项C， ，即C正确；
对于选项D， ，即D正确，故选：CD．
【变式训练2-2】、（2022·全国·高一课时练习）已知，则化为（ ）
A． B． C．m D．1
【答案】C
【分析】把根式化为分数指数幂进行运算．
【详解】，.
故选：C．
【变式训练2-3】．（2021·全国·高一专题练习）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据指数幂的运算逐一判断可得选项.
【详解】对于A：，故A错；
对于B：，故B错；
对于C： ；故C正确，
对于D： ，故D正确.
故选：CD.
(三) 多重根式化简
例3、（1）、（2022·全国·高一专题练习）化简___________
【答案】
【分析】将根式化成指数幂，再根据幂的运算法则计算可得；
【详解】解：
.
故答案为：
（2）、（2021·全国高一课时练习）将 化为分数指数幂为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果.
【详解】
＝＝＝＝＝.
故选：D
（3）、（2022·全国·高一专题练习）化简________.
【答案】6
【分析】根据根式的运算性质可求出结果.
【详解】
.
故答案为：.
【变式训练3-1】、（2021·全国高一专题练习）可以化简成（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数幂和根式的运算性质转化即可．
【详解】
解：，
故选：B．
【变式训练3-2】．（2021·江苏·高一专题练习）化简（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用配方法将被开方数配凑成完全平方形式即可求解.
【详解】解：，
故选：D．
【变式训练3-3】、（2021·全国·高一专题练习）将化成分数指数幂为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接化根式为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则即得．
【详解】．
故选：B.
(四) 利用整体代换思想求值
例4、（1）、（2021·全国·高一单元测试）已知，则的值是（ ）
A．47 B．45 C．50 D．35
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算法则即求.
【详解】∵，
∴，即，
∴，
∴.
故选：A.
（2）、（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由，可得：；；；，即可判断出正误．
【详解】解：，
，因此A正确；
，因此B不正确；
，，解得，因此C不正确；
，因此D正确．
故选：AD．
【变式训练4-1】、（2022·新疆昌吉·高一期末）已知，则等于（ ）
A．2 B． C． D．±
【答案】D
【分析】由，即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴.
故选：D．
【变式训练4-2】、（2022·全国·高一课时练习（理））（多选题）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据实数指数幂的运算性质，逐项计算，即可求解.
【详解】由，所以A正确；
由，所以B正确；
由，
因为，，所以，所以C错误；
由，所以D正确．
故选：ABD．
例5．（2022·全国·高一专题练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知等式两边同时平方即可得到的值
（2）与同时平方之后，会有共同部分，整体代入即可求出的值
（1）
，所以
（2）
，所以；
，所以
【变式训练5-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知，求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)7
(2)47
(3)
【分析】(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得的值；
(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得的值；
(3)首先利用立方差公式可得，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.
(1)
将两边平方，得，
所以．
(2)
将两边平方，得，
所以．
(3)
∵，，，
∴，
∴．
(五) 指数幂的综合应用
例6、（2022·全国·高一课时练习）计算：
（1）______；
（2）______．
【答案】 1 3
【分析】根据指数幂的运算性质可得（1）（2）计算结果.
【详解】（1）原式．
（2）原式．
【变式训练6-1】、（2021·全国·高一课前预习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算法则计算可得；
(1)
解：
．
(2)
解：
．
四、课堂训练
1．（2022·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据根式与指数幂的关系，及有理数指数幂的运算性质化简各式即可判断正误.
【详解】对于A，，所以，错误；
对于B，因为，所以，则，错误；
对于C，，正确；
对于D，，错误．
故选：C．
2．（2021·全国·高一专题练习）化简的结果是（ ）
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．(1－2x)2
【答案】C
【分析】根据已知条件，利用根式的性质化简代数式即可.
【详解】∵，则，
∴.
故选：C.
3．（2021·江苏·高一专题练习）化简 的结果是（ ）
A．a B． C．a2 D．
【答案】B
【分析】根据指数幂与根式的关系可化简.
【详解】.
故选：B.
4．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）下列运算（化简）中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据指数幂的运算法则逐一验证即可
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确；
故选：ABD
5．（2021·山西大附中高一期中）______
【答案】##
【分析】根据根式的性质及分式指数幂的运算法则计算可得；
【详解】解：
故答案为：
6．（2022·山东滨州·高一期末）______．
【答案】3
【分析】根据指数幂的运算算出答案即可.
【详解】
故答案为：3
7．（2021·全国·高一期中）（1）化简；
（2）若，求的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)根据指数幂运算公式进行运算；(2)由两边同时平方可得，等式两边同时平方可求.
【详解】(1) ；
(2)∵ ，
∴ ，即，
∴ ，即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
突破4.1 指数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 根式
(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝
考点二 分数指数幂
(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
(2)正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
考点三 指数幂的运算性质
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
三、题型突破
(一) 根式化简
例1、（1）、（2022·贵州·高二学业考试）计算的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
（2）．（2021·全国·高一课前预习）计算的结果是（ ）
A．5 B．－5
C．±5 D．不确定
（3）、（2021·四川·成都市郫都区川科外国语学校高一开学考试）计算：______.
【变式训练1-1】、（2022·北京房山·高一期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2022·江苏·高一）若有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】、（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）计算______.
(二) 根式与分数指数幂互化
例2、（1）、（2022·全国·高一课时练习）式子的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2021·全国·高一专题练习）计算：______．
（3）、（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】．（多选题）（2019·全国高一课时练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】、（2022·全国·高一课时练习）已知，则化为（ ）
A． B． C．m D．1
【变式训练2-3】．（2021·全国·高一专题练习）（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(三) 多重根式化简
例3、（1）、（2022·全国·高一专题练习）化简___________
（2）、（2021·全国高一课时练习）将 化为分数指数幂为（ ）
A． B．
C． D．
（3）、（2022·全国·高一专题练习）化简________.
【变式训练3-1】、（2021·全国高一专题练习）可以化简成（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2021·江苏·高一专题练习）化简（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练3-3】、（2021·全国·高一专题练习）将化成分数指数幂为（ ）
A． B．
C． D．
(四) 利用整体代换思想求值
例4、（1）、（2021·全国·高一单元测试）已知，则的值是（ ）
A．47 B．45 C．50 D．35
（2）、（2022·全国·高一单元测试）（多选题）已知，则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】、（2022·新疆昌吉·高一期末）已知，则等于（ ）
A．2 B． C． D．±
【变式训练4-2】、（2022·全国·高一课时练习（理））（多选题）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例5．（2022·全国·高一专题练习）已知，求下列各式的值：
(1)；
(2).
【变式训练5-1】、（2021·全国·高一课时练习）已知，求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
(五) 指数幂的综合应用
例6、（2022·全国·高一课时练习）计算：
（1）______；
（2）______．
【变式训练6-1】、（2021·全国·高一课前预习）化简下列各式：
(1)；
(2)．
四、课堂训练
1．（2022·全国·高三专题练习）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·全国·高一专题练习）化简的结果是（ ）
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．(1－2x)2
3．（2021·江苏·高一专题练习）化简 的结果是（ ）
A．a B． C．a2 D．
4．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）下列运算（化简）中正确的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（2021·山西大附中高一期中）______
6．（2022·山东滨州·高一期末）______．
7．（2021·全国·高一期中）（1）化简；
（2）若，求
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
