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突破4.2 指数函数
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高一课时练习）设，，则是（ ）
A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减
C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减
【答案】D
【分析】由，可知是偶函数，当时，，则在上单调递减，由此即可选出答案.
【详解】依题意，得，且，所以是偶函数．
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增．
故选：D.
2．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将函数改写成分段函数，再根据指数函数的性质判断即可.
【详解】解：函数，
当时，是增函数，当时，的减函数，
且时，，即图象过点；
符合条件的图象是．
故选：A．
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】分与两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a的值.
【详解】当时，函数在上为减函数，
则，解得：，
当时，函数在上为增函数，
则，解得：．
综上，或．
故选：D
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质可将化简为幂指数相同的指数式，由此即可比较出的大小关系，由指数函数的单调性可判断出.则可选出答案.
【详解】因为.
所以.
因为.
所以.
所以.
故选：A.
5．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的取值集合，再利用指数函数的单调性求解作答.
【详解】函数定义域为R，，又函数在R上单调递减，则，
所以函数的值域为.
故选：A
6．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据有最大值及指数复合函数的单调性，可得在定义域上先减后增，再由二次函数性质求参数即可.
【详解】由在定义域上递减，
要使有最大值，则在定义域上先减后增，
当，则的最小值为，
所以，可得.
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或
【答案】D
【分析】利用换元法，令ax＝t，转化为二次函数，根据单调性由区间[－1，1]上的最大值是14，求出a的值.
【详解】令ax＝t，则．
当a＞1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
所以ymax＝（a＋1）2－2＝14，解得a＝3（a＝-5舍去）．
当0＜a＜1时，因为，所以，
又函数y＝（t＋1）2－2在上单调递增，
则ymax＝，
解得（舍去）．
综上知a＝3或．
故选：D
8．（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）函数，则方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令，则，当时，，转化为图象的交点问题；当时，成立，进一步求出的范围，即可求出答案.
【详解】由函数，令，则，
当时，，
令，其图象如图所示
．
时，无解，
当时，成立，
由，得当时，有，解得；
当时，有，解得，
综上，的取值范围是．
故选：B.
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是指数函数，且，则______．
【答案】
【分析】依题意设（且），根据即可求出的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.
【详解】解：由题意，设（且），
因为，所以，又，所以，
所以，所以．
故答案为：
10．（2022·全国·高一专题练习）已知则a，b，c的大小关系是________.
【答案】或
【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可
【详解】因为是R上的减函数，且，
所以，所以，
因为是R上的增函数，且，
所以，所以，
所以
故答案为：或
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则________．
【答案】##
【分析】根据分段函数解析式直接求值即可.
【详解】∵
∴ ，
故答案为：
12．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）已知，则的值为______．
【答案】16
【分析】根据分段函数不等式可得，再代入求值即可.
【详解】因为，
所以，
故答案为：16.
13．（2022·全国·高一课时练习）若且，则函数的图像恒过的定点的坐标为______．
【答案】
【分析】任意指数函数一定过定点，根据该性质求解.
【详解】令，得，所以，所以函数的图像恒过定点．
故答案为：
14．（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：由，得，
即，
，，
则，
，则，即．
故答案为：
15．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.
【答案】
【分析】函数是复合二次函数，换元转化为二次函数值域问题.
【详解】解：令，
函数化为
，即函数的值域为．
故答案为：
16．（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）不论为何值时，函数且恒过定点__________．
【答案】
【分析】将函数变形为，由恒等式可得.
【详解】因为，恒成立，所以恒过定点．
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）函数在的值域为______．
【答案】
【分析】令，结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】解：，
设，
当时，，所以，
所以在的值域为．
故答案为：．
18．（2020·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数在上的值域为___________.
【答案】
【分析】本题考查换元法，再结合二次函数求值域．
【详解】
∵则令
在递增
∴
故答案为：．
19．（2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数（且）恒过一定点________ .
【答案】
【分析】令，求出的值后，再代入函数解析式，即可得解.
【详解】令可得，则，因此，函数的图象恒过定点.
故答案为：.
20．（2022·山西·太原市外国语学校高二阶段练习）已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
【答案】
【分析】根据给定条件，分别求出函数在时与函数在时的最小值即可作答.
【详解】当时，，当且仅当，即时取“=”，
当时，，，当，即时，取最小值，
因的最小值为2，于是得，解得，
所以m的取值范围为.
故答案为：
21．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为___________.
【答案】
【分析】根据具体函数的定义域求法，结合指数函数的单调性求解.
【详解】解：由，
得，
所以，
所以函数的定义域为，
故答案为：
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意得：有解
令
有解，即有解，显然无意义
,当且仅当，即时取等，
故答案为：.
23．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.
【答案】或##或3
【分析】令，讨论或，求出的取值范围，再利用二次函数的单调性即可求解.
【详解】∵
令，则，
则，其对称轴为.
该二次函数在上是增函数.
①若，由，得，
故当，即时，
，解得(舍去).
②若，由，可得，
故当，即时，
.
∴或(舍去).
综上可得或.
故答案为：或.
B组 能力提升
24．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（ ）
A．在定义域内单调递减 B．图象过点
C．是奇函数 D．定义域是
【答案】BC
【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，代入函数的解析式，求出的值，再利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】由，即，可得，
故函数（且）的图象过定点，
则，解得，则，定义域为，且为奇函数，
函数在上单调递减，在上单调递减，但在定义域内不单调递减.
因为，所以函数的图象经过点，所以选项B、C正确.
故选：BC.
25．（2022·湖南益阳·高二期末）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为减函数
C．有且只有一个零点 D．的值域为
【答案】AC
【分析】根据奇函数的定义判断A，根据指数函数的性质判断B、D，令，解方程，即可判断C.
【详解】解：函数，，
，为奇函数．故A正确．
．
在上单调递增，所以在上为增函数．故B错误．
令，则，得到，所以有且只有一个零点．故C正确．
在上为增函数，
令，则，所以，所以，即，解得，．故D错误．
故选：AC．
26．（2022·全国·高一专题练习）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域为R
B．是奇函数
C．在定义域上是减函数
D．无最小值，无最大值
【答案】BD
【分析】求解，可判断A；利用函数奇偶性的定义可判断B；比较可判断C；分离常数得到，分析单调性及函数值域可判断D
【详解】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；
选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；
选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确；
选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确
故选：BD
27．（2022·江苏常州·高一期末）（多选题）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的等式，即可求得实数的值.
【详解】当时，函数在上为减函数，
则，解得；
当时，函数在上为增函数，
则，解得.
综上所述，或.
故选：BC.
28．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，函数，以下结论正确的是（ ）
A．在R上是增函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．的值域是
【答案】ACD
【分析】先将函数分离常数，结合指数函数的性质得到单调性和值的分布，再利用奇偶性定义判断奇偶性，根据性质或特殊值法排除，逐一判断选项的正误即可.
【详解】函数，定义域为R，
又指数函数是单调递增的，可知是单调递减的，取值为，
故是单调递增的，值域为，故A正确；
当时，，当时，，
故的值域是，D正确；
又，故是奇函数，即C正确；
因为，故，，故，即，故不可能是偶函数，B错误.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：
本题解题关键在于读懂题中高斯函数的定义，才能通过研究的性质来研究的性质，突破难点.
29．（2021·全国·高一期中）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据高斯函数的定义及的值域即可求解.
【详解】，
，
，，
当时，；
当时，，
的可能取值，.
故选：
30．（2021·浙江·高一期末）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．是偶函数 B．的值域是
C．是奇函数 D．在上是增函数
【答案】BC
【解析】根据知错误；利用分式值域的求法可求得，进而根据高斯函数定义可知的值域，知正确；化简得到知正确；根据，利用指数函数的单调性可判断D.
【详解】对于，，，
，不是偶函数，错误；
对于，，
，，，，
当时，，当时，，
的值域是，正确；
对于，，为奇函数，正确；
对于，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，即在上是减函数，错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义的问题，解题关键是明确本题以新定义函数为载体，考查函数值域、单调性和奇偶性的知识，研究函数单调性时对函数进行分离常数，是解题的关键..
31．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高三开学考试）已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，令，则，最后根据二次函数的性质计算可得；
（2）依题意可得有解，参变分离可得有解，再根据指数函数的性质计算可得；
（1）
解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
（2）
解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
32．（2022·福建漳州·高二期末）设函数，且，.
(1)求的值，并讨论的单调性；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；在上单调递减，在上单调递增
(2)
【分析】（1）先列方程求得的值，再利用复合规则去判断的单调性；
（2）先利用分离参数法得到关于实数的不等式，再构造新函数并求得其最小值，进而得到实数的取值范围.
(1)
由题意得，，，
解之得.故.
令，则，设，.
在上单调递增，；
在上单调递增，.
又由二次函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增.
所以由复合规则可知，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
由（1）知，所以可化为.
故原问题等价于，使得成立.
则当时，，
其中表示在上的最小值.
当时，令，则，设，
则，当且仅当时取等号，
所以当，即时，取得最小值.
故的取值范围是.
33．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】
【分析】由令，可知，则对任意，恒成立，等价于，，恒成立，即只需．讨论与、的大小关系，即可得到在的单调性，即可求出的最小值，即可求出答案.
【详解】．
令，则．
易知为增函数，则当时，．
令，，
则只需．
当，即时，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；
当，即时，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
34．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求的解析式；
(2)用定义证明的单调性．
【答案】(1)
(2)在R上单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据函数为奇函数可得、，代入函数解析式可分别求得a、b的取值，继而确定函数解析式；（2）化简求出的表达式，根据、的大小关系，判断的正负，进而根据定义法确定函数的单调性.
（1）
因为是R上的奇函数，所以，
即，解得，则．
又，则，解得，
经检验当，时，是奇函数，
所以．
（2）
证明：由（1）知，
对任意的，R，且，
有，
因为，所以，所以，
∴在R上单调递减．
35．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））已知函数的图象经过点，
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域和值域；
(3)判断函数的奇偶性并证明．
【答案】(1)；
(2)的定义域为R ，值域为；
(3)奇函数，证明见解析.
【分析】（1）把函数图象经过的点的坐标代入函数式，计算作答.
（2）利用指数函数的定义，结合不等式性质求解作答.
（3）利用奇偶函数的定义计算判断作答.
(1)
依题意，函数的图象过点，则有，解得，
所以a的值是1.
(2)
由（1）知函数，因，所以的定义域为R，
而，所以的值域为.
(3)
函数是R上的奇函数，
因的定义域为R，且，所以是奇函数.
36．（2021·上海·曹杨二中高一阶段练习）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．
(1)证明在上是有界函数；
(2)设，，若函数、在D上分别以M、N为上界，判断函数在D上是否为有界函数，若是，写出的一个上界；
(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)是，
(3)
【分析】（1）化简解析式求出函数值域即可证明；
（2）根据有界性定义及不等式的性质可证明；
（3）根据有界性可转化为在上恒成立，换元后利用函数的单调性求最值即可求出参数范围.
(1)
, 则在上是严格增函数，
故，即 ，
故，
故是有界函数；
(2)
因为函数在D上分别以M ，N为上界，
所以
所以，即，
所以函数在D上以为上界;
(3)
因为在上是以3为上界的有界函数，
所以在上恒成立，
记，
所以在时恒成立，
所以在时恒成立，
函数在上严格递减，所以;
函数在上严格递增，所以.
所以实数a的取值范围是.
【点睛】函数新定义问题，一般需要仔细阅读理解所给定义，结合新定义与所给具体函数，尝试判断、证明与应用，本题所给有界性，可转化为函数的最值问题处理即可.
37．（2021·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)判断并说明的奇偶性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设，正实数满足，且的取值范围为A，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数的取值范围.
【答案】(1)当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数奇偶性的定义直接验证；
（2）利用分离参数法求出a的范围；
（3）先利用基本不等式求出集合A，根据对勾函数的单调性，对a进行讨论，分别求出实数的取值范围.
(1)
因为函数的定义域关于原点对称，
由，，及实数的任意性，
可知，当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数.
(2)
∵，
∴令，当，则
即存在使成立，只需
∵∴.
(3)
∵∴，
则，当且仅当取等号，
∴，
∵，∴在单调递减，在单调递增，
∴，
①当，即时，在单调递增，
∴即得，∴，
②当，即时，在单调递减，
∴即得，∴，
③当时，，，
由.
（ⅰ）当时，，，
得，
（ⅱ）当时，∴，则，
得.
综上，.
【点睛】（1）对函数奇偶性的证明只能用定义：或；
（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.
38．（2021·浙江·台州市书生中学高一阶段练习）设函数（且）是定义域为的偶函数，
(1)若，求实数的取值范围
(2)若在上的最小值为，求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义求出的值，再由求出的值，最后求出函数的单调性结合奇偶性即可解出不等式；
（2）利用换元法将原函数化为二次函数，讨论对称轴与所给区间的位置求出二次函数的最值，进而求出的值.
(1)
解：由函数是定义域为的偶函数
满足
即
，即
又，即
化简为：
解得：或者
设，且，则
由，得
，
，即
在单调递增
又是上的偶函数，
在单调递增，在单调递减
即
两边平方得：
解得：
实数的取值范围为：
(2)
解：由（1）知，
将变形得：
令，因为，由对勾函数的性质得
则原函数化为：，
由题知，在上的最小值为
函数的对称轴为：
①当，即时，
解得：或，均不符合题意，舍去
②当，即时，，不符合题意
③当，即时，
解得：符合题意
所以的值为.
【点睛】思路点睛：本题第一问解不等式，需要利用函数的单调性，因此需要先用定义法证明函数的单调性再结合奇偶性进行求解；第二问由函数最值求参数值，需要先将原函数化为二次函数，再利用最值即可求出参数.
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突破4.2 指数函数
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高一课时练习）设，，则是（ ）
A．奇函数且在上单调递减 B．偶函数且在上单调递减
C．奇函数且在上单调递减 D．偶函数且在上单调递减
2．（2022·全国·高一专题练习）函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一课时练习）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．或
4．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知，则a，b，c大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）若函数的最大值是2，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·全国·高三专题练习）如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为（ ）
A．3 B． C．-5 D．3或
8．（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）函数，则方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是指数函数，且，则______．
10．（2022·全国·高一专题练习）已知则a，b，c的大小关系是________.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则________．
12．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）已知，则的值为______．
13．（2022·全国·高一课时练习）若且，则函数的图像恒过的定点的坐标为______．
14．（2022·全国·高一专题练习）设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
15．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域为____.
16．（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）不论为何值时，函数且恒过定点__________．
17．（2023·全国·高三专题练习）函数在的值域为______．
18．（2020·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数在上的值域为___________.
19．（2022·湖南·岳阳市第四中学高一阶段练习）函数（且）恒过一定点________ .
20．（2022·山西·太原市外国语学校高二阶段练习）已知的最小值为2，则m的取值范围为______________
21．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为___________.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
23．（2022·湖北·武汉市第十五中学高一期末）函数（，且）在上的最大值为13，则实数的值为___________.
B组 能力提升
24．（2022·全国·高一课时练习）（多选题）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（ ）
A．在定义域内单调递减 B．图象过点
C．是奇函数 D．定义域是
25．（2022·湖南益阳·高二期末）（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为减函数
C．有且只有一个零点 D．的值域为
26．（2022·全国·高一专题练习）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域为R
B．是奇函数
C．在定义域上是减函数
D．无最小值，无最大值
27．（2022·江苏常州·高一期末）（多选题）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021·山东·济南市章丘区第四中学高一阶段练习）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，函数，以下结论正确的是（ ）
A．在R上是增函数 B．是偶函数
C．是奇函数 D．的值域是
29．（2021·全国·高一期中）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，.已知，则函数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
30．（2021·浙江·高一期末）（多选题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．是偶函数 B．的值域是
C．是奇函数 D．在上是增函数
31．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高三开学考试）已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
32．（2022·福建漳州·高二期末）设函数，且，.
(1)求的值，并讨论的单调性；
(2)若，使得成立，求实数的取值范围.
33．（2022·全国·高一课时练习）已知函数．若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
34．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数是奇函数．
(1)求的解析式；
(2)用定义证明的单调性．
35．（2022·甘肃酒泉·高二期末（文））已知函数的图象经过点，
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域和值域；
(3)判断函数的奇偶性并证明．
36．（2021·上海·曹杨二中高一阶段练习）定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．
(1)证明在上是有界函数；
(2)设，，若函数、在D上分别以M、N为上界，判断函数在D上是否为有界函数，若是，写出的一个上界；
(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
37．（2021·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)判断并说明的奇偶性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设，正实数满足，且的取值范围为A，若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数的取值范围.
38．（2021·浙江·台州市书生中学高一阶段练习）设函数（且）是定义域为的偶函数，
(1)若，求实数的取值范围
(2)若在上的最小值为，求的值
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