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突破4.2 指数函数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
三、题型突破
(一) 指数函数的概念
例1、（1）、（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．8 B．16 C． D．
【答案】B
【分析】把点，代入函数解析式，即可求出的值.
【详解】解：由题意可得，
解得，
故选：B.
（2）、（2022·全国·高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则________．
【答案】8
【分析】根据指函数的定义求解即可.
【详解】解：因为函数是指数函数，
所以，所以．
故答案为：8.
【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列函数是指数函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可.
【详解】解：对于A，函数不是指数函数，
对于B，函数是指数函数；
对于C，函数是指数函数；
对于D，函数不是指数函数.
故选：BC.
【变式训练1-2】、（2023·全国·高三专题练习）若函数为指数函数，则a＝________.
【答案】2
【分析】利用指数函数的定义列方程组即可解得.
【详解】因为函数为指数函数，
所以，解得a＝2.
故答案为：2
(二) 指数函数的图像与性质
例2．（1）、（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数且的图象可能是（ ）
A．①③ B．②④ C．④ D．①
【答案】C
【分析】分，，根据指数函数和图象平移判断.
【详解】当时，，函数的图象为过点的上升的曲线，函数图象由函数向下平移个单位可得，故①②错误；
当时，，函数的图象为过点的下降的曲线，函数图象由函数向下平移个单位可得，故④ 正确③错误；
故选：C
（2）．（2022·全国）已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据二次函数图象上特殊点的正负性，结合指数型函数的性质进行判断即可.
【详解】
由图象可知：，因为，所以由可得：，由可得：，由可得：，
因此有，所以函数是减函数，，所以选项A符合，
故选：A
【变式训练2-1】、（2022·全国·高一课时练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.
【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故选：C．
【变式训练2-2】．（2021·全国高一课前预习）在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据幂函数和指数函数的图象，即可逐项判断，得出结果.
【详解】
为幂函数，为指数函数
A. 过定点，可知，，的图象符合，故可能.
B. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
C. 过定点，可知，，的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
故选：A
【点睛】
本题考查了幂函数和指数函数的图象，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
(三) 定点问题
例3．（1）、（2021·上海市建平中学高一期中）函数恒过定点___________．
【答案】
【分析】利用指数型函数的特征，求解函数恒过的定点坐标.
【详解】当，即时，，
所以恒过定点.
故答案为：
（2）．（2021·玉溪第二中学高二月考（理））函数且的图像必经过点________
【答案】
【分析】
指数函数（且）的图像必经过点，由此计算即可.
【详解】
令，解得，当时，
所以函数且的图像必经过点.
故答案为：
【变式训练3-1】、（浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．
【答案】
【分析】由指数函数的性质，可得，再根据基本不等式“”的用法，即可求出结果.
【详解】∵函数的图象恒过定点，则，
∴，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：.
【变式训练3-2】、（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数的图象恒过定点_____________.
【答案】（1,3）
【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.
【详解】令，可得，
所以，即图象恒过定点（1,3）.
故答案为：（1,3）
(四) 利用指数函数的单调性比较大小
例4．（1）、（2022·北京八中高二期末）已知，，，则a，b，c按从小到大排列为___________．
【答案】
【分析】根据指数函数性质比较大小．
【详解】，，
所以．
故答案为：．
（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小．
【详解】∵是减函数，，所以，
又，
∴．
故选：C．
【变式训练4-1】、（2023·全国·高三专题练习）若，则a b c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小
【详解】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即
故选：A
【变式训练4-2】、（2022·全国·模拟预测）若，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，所以，则函数单调递减，
因此，即，所以，
又，所以，
故选：B．
(五) 求指数型复合函数的定义域与值域
例5．（1）、（2022·全国）（多选题）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
对分类讨论，结合指数函数的单调性，求得函数的最大值和最小值，列出方程，即可求解.
【详解】
当时，函数在区间上为单调递增函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以；
当时，函数在区间上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以.
综上可得，实数的值为或.
故选：BC
（2）、（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.
【详解】由题意得，即，解得．
故选：C.
【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）（多选题）已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】AC
【分析】分、讨论，利用的单调性求出最大值、最小值再做差可得答案.
【详解】当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得或（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得或（舍去）．
故选：AC．
【变式训练5-2】、（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
【答案】
【分析】根据值域列出关系式，求解指数不等式即可求得答案.
【详解】因为函数的值域为，所以，所以，
即，故，所以，则函数的定义域为．
故答案为：
(六) 求指数型复合函数的最值与单调区间
例6、（1）、（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由复合函数单调性得出在区间上单调递减，对分类讨论，结合单调性得到不等关系，求出实数a的取值范围.
【详解】由函数在区间上单调递增，
得函数在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递减，符合题意．
当时，由在区间上单调递减，
得，解得：．
当时，由在区间上单调递减，
得，解得：．
综上所述，的取值范围是．
（2）．（2022·上海师大附中高一期末）函数的单调减区间是_________.
【答案】##
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.
【详解】令，
根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.
故答案为：.
【变式训练6-1】、（2022·全国·高一课时练习）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称
D．函数在R上为增函数
【答案】ABD
【分析】根据指数函数的性质，结合偶函数定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以函数的定义域为R，因此本选项结论正确；
B：，
由，所以函数的值域为，因此本选项结论正确；
C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，所以本选项结论正确，
故选：ABD
【变式训练6-2】、（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
【分析】由复合函数的同增异减性质判断得在上单调递减，再结合对称轴和区间边界值建立不等式即可求解.
【详解】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为
所以，即
故答案为：
【变式训练6-3】、（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.
【答案】增区间为，减区间为
【分析】由换元法，结合复合函数的单调性求解即可.
【详解】设t＝>0，又在上单调递减，在上单调递增.令≤4，得x≥－2，令>4，得x<－2.而函数t＝在R上单调递减，所以函数的增区间为，减区间为.
故答案为：增区间为，减区间为
【变式训练6-4】、（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
【答案】ABD
【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.
【详解】令，则．
对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；
对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；
对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.
故选：ABD.
(七) 指数型复合函数的综合问题
例7、（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且），求函数在上的值域．
【答案】答案见解析．
【分析】应用换元法，令则，讨论、，注意定义域的范围，结合二次函数性质判断单调性，根据单调性求值域即可.
【详解】令，则可化为．
当，时，，又在上单调递增，
∴，即；
当，时，，又在上单调递增，
∴，即．
综上，当时，函数在上的值域是；
当时，函数在上的值域是．
例8、（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知定义域为R的函数 是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;
(3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质由特殊值求得参数值，然后验证结论成立．
（2）由单调性的定义证明；
（3）由奇偶性变形，由单调性化简后求解．
（1）
由已知，， ，
，，所以，解得，
，此时定义域是R，，为奇函数．
所以，；
（2）
由（1），
设任意两个实数，，则，
，所以，即，
所以是减函数；
（3）
不等式化为，
是奇函数，则有，
是减函数，所以，
所以恒成立，易知的最小值是，
所以．
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
【答案】0
【分析】利用换元法，令，则，则由题意可知的值域为，从而可求出的值
【详解】令，则，
因为的值域是，即的值域是，
所以的值域为，
若，则为二次函数，其值域不可能为，
若，则，其值域为，
所以
例10．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)，不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再只要检验与的关系即可判断；
（2）首先判断函数的单调性，再结合函数的单调性及奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，然后结合二次不等式的恒成立问题进行求解．
（1）
解：函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域，
因为，
所以为上的奇函数；
（2）
解：因为，因为在定义域上单调递增，且，又在上单调递增，
所以在上单调递增，
则不等式恒成立，即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以的范围为．
(八) 指数函数的应用
例11、（2022·全国·高一课时练习）我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用题意得到，解出的值，代回得到，通过单调性可以得到最大值
【详解】由题意可知，解得，，所以，易得当越大时，越大，
所以当时，达到安静环境要求下的取得最大值．
故选：B．
【变式训练11-1】、（2021·福建福州·高一期末）2020年10月1日至8日，央视推出大型主题报道《坐着高铁看中国》，8天8条高铁主线，全景式展示“十三五”规划成就和中国之美.我国高铁技术在世界上遥遥领先，高铁运行时不仅速度比普通列车快，而且噪声小.我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为30~40分贝（符号：），声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）.某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据和的两组值代入解析式求出和，再代入的最大值可得的最大值.
【详解】由题意可知，解得，，
所以，
所以当取最大值时，取得最大值
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据和的两组值代入解析式求出和是解题关键.
四、课堂训练
1．（2022·山西·高二期末）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数的单调性及中间值即可求解.
【详解】因为在上单调递减，又，所以，
即，又因为，所以.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用复合函数的单调性可知函数在上单调递减，由此可得到正确选项.
【详解】由题意，函数在上单调递减，
又由函数在上单调递增，在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
结合选项，可得选项符合题意.
故选：ACD.
3．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习）函数的图象恒过定点__________
【答案】
【分析】利用指数函数的性质可得答案.
【详解】令，即时，，可得函数的图象恒过定点，
故答案为：
4．（2022·河南安阳·模拟预测）已知函数是偶函数，则_________．
【答案】-1
【分析】利用偶函数的定义直接求解.
【详解】函数的定义域为R.
因为函数是偶函数，所以，即对任意恒成立，
亦即对任意恒成立，
所以.
故答案为：-1
5．（2022·广西北海·高二期末）已知偶函数.
(1)求实数m的值；
(2)经过研究可知，函数在区间上单调递减，求满足条件的实数a的取值范围.
【答案】(1)0；
(2).
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据偶函数的性质，利用特殊值求出参数的值，再代入检验即可；
（2）根据偶函数的性质将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
(1)
由，有，
可得函数的定义域为，
，，
由函数为偶函数，有，
解得，
当时，，
由，
可知此时函数为偶函数，符合题意，
由上知实数m的值为0；
(2)
由函数为偶函数，且函数在区间上单调递减，
由，有，
解得且且，
故实数a的取值范围为.
6．（2023·全国·高三专题练习）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
【答案】(1)2；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用奇函数定义直接计算作答.
（2）求出a值，再利用函数单调性定义证明作答.
（3）把给定不等式等价变形，再利用函数单调性求出最小值，列式计算作答.
(1)
因是定义域为的奇函数，
则，而，解得，
所以的值是2.
(2)
由（1）得，是定义域为的奇函数，
而，则，即，又，解得，
则函数在上单调递增，
，，，
因，则，，于是得，即，
所以函数在定义域上单调递增.
(3)
当时，，
，
，而函数在上单调递增，，
于是得，令，函数在上单调递减，
当，即时，，因此，，解得，
所以的范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
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突破4.2 指数函数
一、考情分析
二、考点梳理
考点一 指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
三、题型突破
(一) 指数函数的概念
例1、（1）、（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．8 B．16 C． D．
（2）、（2022·全国·高一课时练习）若函数（，且）是指数函数，则________．
【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列函数是指数函数的有（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】、（2023·全国·高三专题练习）若函数为指数函数，则a＝________.
(二) 指数函数的图像与性质
例2．（1）、（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））函数且的图象可能是（ ）
A．①③ B．②④ C．④ D．①
（2）．（2022·全国）已知函数(其中)的图象如图所示，则函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-1】、（2022·全国·高一课时练习）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
【变式训练2-2】．（2021·全国高一课前预习）在同一直角坐标系中，函数与在上的图象可能是（ ）．
A． B． C． D．
(三) 定点问题
例3．（1）、（2021·上海市建平中学高一期中）函数恒过定点___________．
（2）．（2021·玉溪第二中学高二月考（理））函数且的图像必经过点________
【变式训练3-1】、（浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．
【变式训练3-2】、（2022·宁夏·银川二中高二期末（理））函数的图象恒过定点_____________.
(四) 利用指数函数的单调性比较大小
例4．（1）、（2022·北京八中高二期末）已知，，，则a，b，c按从小到大排列为___________．
（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】、（2023·全国·高三专题练习）若，则a b c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】、（2022·全国·模拟预测）若，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
(五) 求指数型复合函数的定义域与值域
例5．（1）、（2022·全国）（多选题）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）（多选题）已知函数，（且）在区间上的最大值比最小值大，则a的值可以为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式训练5-2】、（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域为M，值域为，则M=______．
(六) 求指数型复合函数的最值与单调区间
例6、（1）、（2022·山西吕梁·高一期末）已知函数在区间（-1，2）上单调递增，则实数a的取值范围是_________．
（2）．（2022·上海师大附中高一期末）函数的单调减区间是_________.
【变式训练6-1】、（2022·全国·高一课时练习）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称
D．函数在R上为增函数
【变式训练6-2】、（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
【变式训练6-3】、（2023·全国·高三专题练习）求函数的单调区间___________.
【变式训练6-4】、（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减
(七) 指数型复合函数的综合问题
例7、（2022·全国·高一课时练习）已知函数（，且），求函数在上的值域．
例8、（2020·广西·兴安县第二中学高一期中）已知定义域为R的函数 是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;
(3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若的值域是，求的值．
例10．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)，不等式成立，求实数的取值范围.
(八) 指数函数的应用
例11、（2022·全国·高一课时练习）我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为，声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）．某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练11-1】、（2021·福建福州·高一期末）2020年10月1日至8日，央视推出大型主题报道《坐着高铁看中国》，8天8条高铁主线，全景式展示“十三五”规划成就和中国之美.我国高铁技术在世界上遥遥领先，高铁运行时不仅速度比普通列车快，而且噪声小.我们知道比较适合生活的安静环境的声强级（噪音级）为30~40分贝（符号：），声强（单位：）与声强级（单位：）的函数关系式为（，为常数）.某型号高铁行驶在无村庄区域的声强为，声强级为，驶进市区附近降低速度后的声强为，声强级为，若要使该高铁驶入市区时的声强级达到安静环境要求，则声强的最大值为（ ）
A． B． C． D．
四、课堂训练
1．（2022·山西·高二期末）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）函数在下列哪些区间内单调递减（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习）函数的图象恒过定点__________
4．（2022·河南安阳·模拟预测）已知函数是偶函数，则_________．
5．（2022·广西北海·高二期末）已知偶函数.
(1)求实数m的值；
(2)经过研究可知，函数在区间上单调递减，求满足条件的实数a的取值范围.
6．（2023·全国·高三专题练习）设函数，是定义域为R的奇函数
(1)确定的值
(2)若，判断并证明的单调性；
(3)若，使得对一切恒成立，求出的范围.
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