华东师大版九年级数学上册第22章一元二次方程单元综合达标测试题（含解析）

2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《第22章一元二次方程》
单元综合达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠3且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
2．已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝﹣1，x2＝5 D．x1＝﹣1，x2＝﹣5
3．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2021的值为（　　）
A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021
4．已知α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，则代数式（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）的值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+7＝0时，方程可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝7 B．（x﹣8）2＝57 C．（x﹣4）2＝9 D．（x﹣4）2＝25
6．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞3 B．k＜3 C．k＞﹣3且k≠2 D．k＜3且k≠2
7．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣x+k2﹣2k﹣3＝0有一个根为0，则k的值是（　　）
A．3 B．1 C．1或﹣3 D．﹣1或3
8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　）
A．1+x2＝91 B．（1+x）2＝91
C．1+x+x2＝91 D．1+（1+x）+（1+x）2＝91
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝　 　．
10．已知一菱形的两条对角线长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，则菱形的面积是 　 　．
11．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝　 　，q＝　 　．
12．如果关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 　 　．
13．已知关于x的方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，那么关于x的方程a（x+c﹣2）2+b＝0的两根分别为 　 　，c＝　 　．
14．一个直角三角形的两条直角边的边长相差7cm，且三角形的面积为30cm2，则该三角形的斜边长为 　 　．
15．已知实数a是元二次方程x2﹣2021x+1＝0的根，求代数式a2﹣2020a﹣的值为 　 　．
16．某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其他的球队进行一场比赛，已知共举行了28场比赛，那么参加比赛的球队数共有 　 　个．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解下列方程：
（1）3x2+4x+1＝0（配方法）；
（2）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）（适当方法）．
18．已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．
19．今年某村农产品喜获丰收，该村村委会在网上直播销售优质农产品礼包，今年1月份销售该农产品礼包256包，2、3月该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400包．
（1）若设2、3两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值；
（2）若农产品礼包每包进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若该农产品礼包每包每降价1元，月销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4250元？
20．我们在求代数式y2+4y+8的最小值时，可以考虑用如下法求得：
解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
请用上面的方法解决下面的问题：
（1）代数式m2+2m+4的最小值为 　 　；
（2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
21．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢．某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同．
（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？
（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个．第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了m元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了m个，而冰墩墩的销量比第一周增加了0.2m个，最终商家获利5160元，求m．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．
故选：B．
2．解：把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，
∵方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，
∴x+1＝2或x+1＝﹣4，
解得x＝1或x＝﹣5，
∴方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解为x1＝1，x2＝﹣5．
故选：B．
3．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2＝a+1，
∴a3＝a（a+1）＝a2+a＝a+1+a＝2a+1，
∴﹣a3+2a+2021＝﹣（2a+1）+2a+2021＝﹣2a﹣1+2a+2021＝2020．
故选：A．
4．解：∵α，β是方程x2+2022x+1＝0的两个根，
∴αβ＝1，α2+2022α+1＝0，β2+2022β+1＝0，
∴（1+2023α+α2）（1+2026β+β2）
＝a 4β
＝4αβ
＝4×1
＝4．
故选：A．
5．解：x2﹣8x+7＝0，
移项，得x2﹣8x＝﹣7，
配方，得x2﹣8x+16＝﹣7+16，
（x﹣4）2＝9，
故选：C．
6．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4（k﹣2）＞0，且k﹣2≠0，
解得：k＜3且k≠2．
故选：D．
7．解：把x＝0代入（k+1）x2﹣x+k2﹣2k﹣3＝0得k2﹣2k﹣3＝0，
解得k1＝﹣1，k2＝3，
因为k+1≠0，
所以k的值为3．
故选：A．
8．解：由题意可得，
1+x+x x＝1+x+x2＝91．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2021＝0得：a+b﹣2021＝0，
即a+b＝2021．
故答案是：2021．
10．解：方程x2﹣10x+21＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x﹣7）＝0，
所以x﹣3＝0或x﹣7＝0，
解得：x＝3或x＝7，
则菱形的面积为×3×7＝10.5．
故答案为：10.5．
11．解：∵小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3，
∴q＝1×（﹣3）＝﹣3，
∵小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，
∴﹣p＝4﹣2＝2，
∴p＝﹣2，
故答案为：﹣2、﹣3．
12．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣）2﹣4k＞0，且2k+1≥0，
解得﹣≤k＜．
故答案为：﹣≤k＜．
13．解：根据题意知，x﹣2＝﹣2或x﹣2＝1，
解得x1＝0，x2＝3，
∵方程a（x+c）2+b＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两根分别为﹣2，1，
∴a（﹣2+c）2+b＝0或a（1+c）2+b＝0，
∴（﹣2+c）2＝﹣或（1+c）2＝﹣，
∴﹣2+c+1+c＝0，
解得，c＝0.5，
故答案为：x1＝0，x2＝3；0.5．
14．解：设较短直角边的长为xcm，则较长直角边的长为（x+7）cm，
依题意得：x（x+7）＝30，
整理得：x2+7x﹣60＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
∴该三角形的斜边长＝＝＝13（cm）．
故答案为：13cm．
15．解：∵a是方程x2﹣2021x+1＝0根，
∴a2﹣2021a+1＝0，
∴a2＝2021a﹣1，
∴原式＝2021a﹣1﹣2020a﹣
＝a﹣1﹣a
＝﹣1．
故答案是：﹣1．
16．解：设参加比赛的球队数共有x个，
依题意，得：x（x﹣1）＝28，
解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．
故答案是：8．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）3x2+4x＝﹣1，
，
，
，
，
；
（2）2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0；
（x﹣3）[2（x﹣3）﹣x]＝0，
x﹣3＝0或2x﹣6﹣x＝0
x1＝3，x2＝6．
18．（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4 （2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：∵等腰三角形的底边长3，
∴另两边长即为等腰三角形的腰长，
∵另两边长恰好是这个方程的两根，
∴该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4 （2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0，
解得k＝1，
将k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2．
此时△ABC三边为3，2，2；
所以周长为3+2+2＝7．
19．解：（1）依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：x的值为25%．
（2）设农产品礼包每包降价m元，则每包的销售利润为（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）包，
依题意得：（40﹣m﹣25）（400+5m）＝4250，
整理得：m2+65m﹣350＝0，
解得：m1＝5，m2＝﹣70（不合题意，舍去）．
答：当农产品礼包每包降价5元时，这种农产品在4月份可获利4250元．
20．解：（1）m2+2m+4
＝m2+2m+1+3
＝（m+1）2+3，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+3≥3，
∴m2+2m+4的最小值是3，
故答案为：3；
（2）设花园的面积为S，
由题意得：
S＝x（20﹣2x）
＝﹣2x2+20x
＝﹣2（x2﹣10x）
＝﹣2（x2﹣10x+25﹣25）
＝﹣2（x﹣5）2+50，
∵﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴当x＝5时，S最大＝50，
答：当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50平方米．
21．解：（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年2月第一周每个冰墩墩的进价为120元，每个雪容融的进价为80元．
（2）依题意得：（100﹣m﹣80）（140+m）+（150﹣120）（120+0.2m）＝5160，
整理得：m2+114m﹣1240＝0，
解得：m1＝10，m2＝﹣124（不合题意，舍去）．
答：m的值为10．