2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册2.4.2 圆的一般方程 课件(共13张PPT)

(共13张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
第二章 直线与圆与方程
数学组：刘华海 吕佩玲
复习圆的标准方程
3.圆的标准方程的两个基本要素:
是 和 .
1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
其中圆心坐标为C(a,b),半径为r.
2.当圆心在坐标原点上,这时a=b=0,
那么圆的方程为x2+y2=r2.
圆心坐标
半径
圆的一般方程
研究圆的标准方程
将圆的标准方程展开,化简,整理,可得
x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0,
取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0.
也就是说:
任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①
？
请大家思考一下,反过来讲,形如①的方程的曲线是否一定是一个圆呢？下面我们来深入研究这一方面的问题.
圆的一般方程
(x-a)2+(y-b)2=r2
研究二元二次方程表示的图形
再将上述方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①左边运用配方法,
得(x+ )2+(y+ )2= ②
(1)当D2+E2-4F＞0时,②式可化为(x+ )2+(y+ )2=( )2
方程表示以(- ,- )为圆心、以 为半径的圆.
(2)当D2+E2-4F=0时,②式可化为(x+ )2+(y+ )2=0
方程只有实数解x=- ,y=- ,表示一个点(- ,- ).
(3)当D2+E2-4F＜0时,②式可化为(x+ )2+(y+ )2＜0
方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.
圆的一般方程
得结论、给定义
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹.
我们把D2+E2-4F＞0时x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点:
明确指出了圆心和半径
圆的一般方程
(1)x2和y2的系数相同,且不等于0
(2)没有xy这样的二次项.
例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求出这个圆的圆心坐标和半径.
分析:圆的一般方程需确定三个系数,用待定系数法.
解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为O、M1、M2
三点在圆上,所以它们的坐标是方程的解,
解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0.
∴所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0.
将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)2+(y+3)2=52,
于是圆心坐标(4,-3),半径为r=5.
圆的一般方程
练习：
4
-6
-3
2或-2
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A
B
M
x
o
圆的一般方程
例3.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹.
∵CP⊥MP
∴kCP kMP=-1,即 =-1.
点P的轨迹是圆C内部的一段圆弧.
练习：已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.
y
C
P
M
x
o
A
B
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程
标准方程
[小结]:
注意:求圆的方程时,要学会根据题目
条件,恰当选择圆的方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用
圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用
圆的一般方程用待定系数法求解.
[小结]:
(特殊情况时,可借助图象求解更简单)
P88 练习：T3.
作业：
P88习题2.4组：T7.