浙江省金华市第五中学2022-2023学年八年级上学期期初考试数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省金华五中八年级（上）期初数学试卷
（附答案与解析）
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中互余的角有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
2．（3分）已知2x﹣3y＝3，3y﹣4z＝5，x+2z＝8，则代数式3x2﹣12z2的值是（　　）
A．32 B．64 C．96 D．128
3．（3分）下列命题：（1）无限循环小数是无理数；（2）绝对值等于它本身的数是非负数；（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；（5）面积相等的两个三角形全等，是假命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C，D、E在BC上，BD＝CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝52°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE＝（　　）
A．45° B．41° C．40° D．50°
6．（3分）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF；⑤BC＝AD．其中，正确的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．（3分）在△ABC中，AC＝6，中线AD＝10，则AB边的取值范围是（　　）
A．16＜AB＜22 B．14＜AB＜26 C．16＜AB＜26 D．14＜AB＜22
9．（3分）若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．30
10．（3分）如图，△ABC与△BDE是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，AE、CD交于点O，∠AEB＝∠EAB．现有如下结论：①∠AED＝90°；②∠BCD+∠AEB＝60°，③OB⊥AD；④AE＝CD；⑤OB平分∠CBE，平分∠AOD；⑥AO+OB＝AD；一定成立的有（　　）个．
A．5个 B．6个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知a2n＝4，b4n＝36，则an b2n的值为 　 　．
12．（4分）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的　 　．
13．（4分）一个三角形的两个内角分别为50°和75°，则这个三角形的外角是 　 　度．
14．（4分）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 　 　个形状不同的三角形．
15．（4分）如图，D、E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△FCE的面积为S2，若S△ABC＝24，则S1﹣S2的值为 　 　．
16．（4分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第n个图形有 　 　个黑色棋子．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）（﹣2）﹣2﹣20220﹣；
（2）因式分解：16x4﹣16x3y+4xy3﹣y4．
18．（8分）（1）解方程组：；
（2）解方程：＝．
19．（6分）若（m﹣3）m＝π0，求代数式2m2+3m﹣4的值．
20．（7分）如图，O是线段AC、DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，
求证：OB＝OC．
21．（8分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
22．（9分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积会等于10？
23．（10分）【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　 　．
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　 　度；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
2022-2023学年浙江省金华五中八年级（上）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则图中互余的角有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】此题直接利用直角三角形两锐角之和等于90°的性质即可顺利解决．
【解答】解：∵∠BAC＝90°
∴∠B+∠C＝90°①；
∠BAD+∠CAD＝90°②；
又∵AD⊥BC，
∴∠BDA＝∠CDA＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°③；
∠C+∠CAD＝90°④．
故共4对．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，根据互余定义，找到和为90°的两个角即可．
2．（3分）已知2x﹣3y＝3，3y﹣4z＝5，x+2z＝8，则代数式3x2﹣12z2的值是（　　）
A．32 B．64 C．96 D．128
【分析】首先利用第一第二等式可以分别求出x、z的值，然后代入所求代数式即可求解．
【解答】解：∵2x﹣3y＝3①，3y﹣4z＝5②，
∴①+②得：2x﹣4z＝8，
∴x﹣2z＝4③，
而x+2z＝8④，
③+④得2x＝12，
∴x＝6，
把x＝6代入③得：z＝1，
∴3x2﹣12z2＝3×62﹣12×12＝96．
故选：C．
【点评】此题主要考查了整体代值的思想，解题的关键是读懂题目．
3．（3分）下列命题：（1）无限循环小数是无理数；（2）绝对值等于它本身的数是非负数；（3）垂直于同一直线的两条直线互相平行；（4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；（5）面积相等的两个三角形全等，是假命题的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用无理数的定义、平行线的判定与性质、全等三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）无限不循环小数是无理数，故原命题错误，是假命题，符合题意；
（2）绝对值等于它本身的数是非负数，正确，是真命题，不符合题意；
（3）平面呢，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，符合题意；
（4）有两边和夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，符合题意；
（5）面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，符合题意，
假命题有4个，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解无理数的定义、平行线的判定与性质、全等三角形的判定等知识，难度不大．
4．（3分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C，D、E在BC上，BD＝CE，AF⊥BC于F，则图中全等三角形的对数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据SAS可证△ABD≌△ACE，根据HL可证Rt△ADF≌Rt△AEF，根据HL可证Rt△ABF≌Rt△ACF，即可确定全等三角形的对数．
【解答】解：在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD＝∠AFC＝90°，
在Rt△ADF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
在Rt△ABF和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△ACF（HL），
综上所述，全等的三角形有3对，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝52°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE＝（　　）
A．45° B．41° C．40° D．50°
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ADE＝∠BAD．
【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝52°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣46°﹣52°＝82°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝×82°＝41°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD＝41°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
6．（3分）如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据三角形内角和，可以得到∠1和∠2的和，再根据三角形内角和，可以得到∠D+∠E和∠1+∠2的关系，然后即可求得∠D+∠E的度数．
【解答】解：连接BC，如右图所示，
∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°，
∵∠D+∠E＝∠1+∠2，
∴∠D+∠E＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F．则下列四个结论：①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到边AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF；⑤BC＝AD．其中，正确的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由等腰三角形的性质可得AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，可判断③，由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断①②，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可判断④，即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，
∴AD上任意一点到点C和点B的距离相等，故①正确；
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD上任意一点到AB，AC的距离相等，故②正确；
∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴BD＝CD＝BC，AD⊥BC，故③正确；
∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∴∠BCF＝∠CBE，
∵BD＝CD，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DF＝DC＝BD＝DE，
∴∠DCF＝∠DFC＝∠DBE＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CDF，故④正确，
由条件无法证明BC＝AD，故⑤错误，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
8．（3分）在△ABC中，AC＝6，中线AD＝10，则AB边的取值范围是（　　）
A．16＜AB＜22 B．14＜AB＜26 C．16＜AB＜26 D．14＜AB＜22
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【解答】解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝10，
∴AE＝10+10＝20，
∵20+6＝26，20﹣6＝14，
∴14＜CE＜26，
即14＜CE＜26，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
9．（3分）若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　）
A．5 B．10 C．20 D．30
【分析】利用方程思想列等式，再利用完全平方公式整理式子，确定小长方形的面积．
【解答】解：设长方形的长为a，宽为b，
由图1可知，（a+b）2﹣4ab＝40，即a2+b2＝2ab+40①，
由图2可知，（2a+b）（a+2b）﹣5ab＝100，即a2+b2＝50②，
由①﹣②得2ab+40﹣50＝0，
∴ab＝5，
即长方形的面积为5，
故选：A．
【点评】本题考查了完全平方公式，多项式的乘法在几何图形中的应用，熟练地应用整式的乘法运算解决实际问题是解题的关键．
10．（3分）如图，△ABC与△BDE是全等的等边三角形，且A、B、D三点共线，AE、CD交于点O，∠AEB＝∠EAB．现有如下结论：①∠AED＝90°；②∠BCD+∠AEB＝60°，③OB⊥AD；④AE＝CD；⑤OB平分∠CBE，平分∠AOD；⑥AO+OB＝AD；一定成立的有（　　）个．
A．5个 B．6个 C．3个 D．4个
【分析】利用全等三角形的性质和等边三角形的性质依次判断可求解．
【解答】解：∵△ABC与△BDE是全等的等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠EBD＝60°＝∠BED，AB＝BC＝AC＝BE＝BD＝DE，
∴∠BAE＝∠BEA＝30°，∠BCD＝∠BDC＝30°，
∴∠AED＝90°，∠BCD+∠AEB＝60°，故①②正确；
∴∠BDC＝∠EDC＝30°，
在△BDO和△EDO中，
，
∴△BDO≌△EDO（SAS），
∴BO＝EO，∠OBD＝∠OED＝90°，∠DOB＝∠DOE，
∴∠OBE＝∠OEB＝30°，OB⊥AD，故③正确；
∴∠DOB＝∠DOE＝60°，
∴∠AOB＝60°，
∴OB平分∠AOD，
∵∠CBE＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝60°，∠OBE＝30°，
∴∠CBO＝∠EBO＝30°，
∴OB平分∠CBE，故⑤正确；
∵∠ABC＝∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD＝120°，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD，故④正确；
∵OB＝OE，
∴AO+OB＝AO+OE＝AE，
在Rt△AED中，AD＞AE，
∴AO+OB≠AD，故⑥错误，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知a2n＝4，b4n＝36，则an b2n的值为 　±12　．
【分析】根据积的乘方运算以及幂的乘方运算即可求出答案．
【解答】解：当a2n＝4，b4n＝36时，
∴（an）2＝4，（b2n）2＝36，
∴an＝±2，b2n＝±6
∴anb2n＝（±2）×（±6）＝±12，
故答案为：±12．
【点评】本题考查积的乘方运算以及幂的乘方运算，本题属于基础题型．
12．（4分）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的　　．
【分析】设第一个图形中下底面积为未知数，利用第一个图可得墨水的体积，利用第二个图可得空余部分的体积，进而可得玻璃瓶的容积，让求得的墨水的体积除以玻璃瓶容积即可．
【解答】解：设第一个图形中下底面积为S．
倒立放置时，空余部分的体积为bS，
正立放置时，有墨水部分的体积是aS，
因此墨水的体积约占玻璃瓶容积的；
故答案为．
【点评】本题考查了列代数式；用墨水瓶的底面积表示出墨水的容积及空余部分的体积是解决本题的突破点．
13．（4分）一个三角形的两个内角分别为50°和75°，则这个三角形的外角是 　130或105或125　度．
【分析】根据三角形的内角与相邻的外角互为补角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和分别求出三角形的外角，然后选择即可．
【解答】解：∵三角形的两个内角分别为50°和75°，
∴这个三角形的外角可以是：180°﹣50°＝130°，
180°﹣75°＝105°，
50°+75°＝125°．
故答案为：130或105或125．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角与相邻的外角互为补角的性质，是基础题．
14．（4分）用材质规格相同的火柴棒搭一个三角形，现用24根火柴棒搭一个三角形（全部用完），则一共可搭 　12　个形状不同的三角形．
【分析】可把三角形的周长看作13，再根据三角形的三边关系可得出结论．
【解答】解：∵三角形两边之和大于第三边，
∴只能有12种答案，即①2、11、11；②3、10、11；③4、9、11；④4、10、10；⑤5、8、11；⑥5、9、10；⑦6、7、11；⑧6、8、10；⑨6、9、9；⑩7、7、10； 7、8、9； 8、8、8．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是找规律，三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
15．（4分）如图，D、E分别是△ABC边AB，BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△FCE的面积为S2，若S△ABC＝24，则S1﹣S2的值为 　4　．
【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝24，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝24，
∴S△ABE＝S△ABC＝12．
∵AD＝2BD，S△ABC＝24，
∴S△BCD＝S△ABC＝8，
∵S△ABE﹣S△BCD＝（S1+S四边形BEFD） （S2+S四边形BEFD）＝S1 S2＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．
16．（4分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第n个图形有 　（3n﹣2）　个黑色棋子．
【分析】根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，用含n的代数式表示即可求出答案．
【解答】解：第1个图形有1颗黑色棋子，
第2个图形有4颗黑色棋子，
第3个图形有7颗黑色棋子，
第4个图形有10颗黑色棋子，
……
第n个图形有棋子个数1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
故答案为：（3n﹣2）．
【点评】此题考查了图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题．
三、解答题（本题有8个小题，共66分）
17．（6分）计算：
（1）（﹣2）﹣2﹣20220﹣；
（2）因式分解：16x4﹣16x3y+4xy3﹣y4．
【分析】（1）先根据负整数指数幂、零指数幂的意义和算术平方根的定义计算，然后计算有理数的加减运算；
（2）先分组，再对每组分解因式得到公因式（4x2﹣y2），接着提公因式得到原式＝（4x2﹣y2）（4x2+y2﹣4xy），然后利用公式法分解因式．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣+3
＝；
（2）原式＝16x4﹣y4﹣16x3y+4xy3
＝（4x2+y2）（4x2﹣y2）﹣4xy（4x2﹣y2）
＝（4x2﹣y2）（4x2+y2﹣4xy）
＝（2x+y）（2x﹣y）（2x﹣y）2
＝（2x+y）（2x﹣y）3．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解：分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．也考查了实数的运算．
18．（8分）（1）解方程组：；
（2）解方程：＝．
【分析】（1）运用加减消元法解决此题．
（2）先变形，再去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1、检验，进而解决此题．
【解答】解：（1）将2x+3y＝16记作①，x+2y＝10记作②．
②×2，得2x+4y＝20③．
③﹣①，得y＝4．
将y＝4代入②，得x+8＝10．
∴x＝2．
∴这个方程组的解为
（2）∵＝，
∴．
方程两边同乘（x+3）（x﹣3），得x+2+2（x﹣3）＝﹣2（x+3）．
去括号，得x+2+2x﹣6＝﹣2x﹣6．
移项，得x+2x+2x＝﹣6+6﹣2．
合并同类项，得5x＝﹣2．
x的系数化为1，得x＝﹣．
当x＝﹣，（x+3）（x﹣3）≠0．
∴这个分式方程的解为x＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的解法、分式方程的解法是解决此题的关键．
19．（6分）若（m﹣3）m＝π0，求代数式2m2+3m﹣4的值．
【分析】利用零指数幂的意义求得m值，将m值代入运算即可．
【解答】解：∵（m﹣3）m＝π0，
∴（m﹣3）m＝1．
∴m＝0或m＝4或m＝2．
当m＝0时，
原式＝2×02+3×0﹣2
＝﹣2；
当m＝0时，
原式＝2×42+3×4﹣2
＝32+12﹣2
＝42；
当m＝0时，
原式＝2×22+3×2﹣2
＝8+6﹣2
＝12，
综上，代数式2m2+3m﹣4的值﹣2或42或12．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，零指数幂的意义，有理数的乘方，
20．（7分）如图，O是线段AC、DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，
求证：OB＝OC．
【分析】连接BC，根据条件证明△ABC≌△DCB就可以得出∠ACB＝∠DBC，从而得出结论．
【解答】证明：连接BC．
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰三角形的判定的运用，解答时证明△ABC≌△DCB是关键．
21．（8分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
【分析】（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．
（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∴∠ADB+∠ADE＝90°．
即∠BDE＝90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
22．（9分）如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点E是CD的中点，动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若设点P运动的时间是t秒，那么当t取何值时，△APE的面积会等于10？
【分析】分为三种情况讨论，如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，由S△APE＝S四边形AECB﹣S△PCE﹣S△PAB建立方程求出其解即可；如图3，当点P在EC上，即7＜t≤9时，由S△APE＝＝10建立方程求出其解即可．
【解答】解：如图1，当点P在AB上，即0＜t≤4时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝8．
∵AP＝2t，
∴S△APE＝×2t×6＝10，
∴t＝．
如图2，当点P在BC上，即4＜t≤7时，
∵E是DC的中点，
∴DE＝CE＝4．
∵BP＝2t﹣8，PC＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t．
∴S＝（4+8）×6﹣×（2t﹣8）×8﹣（14﹣2t）×4＝10，
解得：t＝7.5＞7舍去；
当点P在EC上，即7＜t≤9时，
PE＝18﹣2t．
∴S△APE＝（18﹣2t）×6＝10，
解得：t＝．
总上所述，当t＝或时△APE的面积会等于10．
【点评】本题考查了矩形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用．解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．
23．（10分）【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 　EF＝BE+DF　．
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【分析】【问题背景】结论：EF＝BE+FD．如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG．证明△ABE≌△ADG（SAS），△AEF≌△AGF（SAS），可得结论．
【探索延伸】结论EF＝BE+DF仍然成立．证明方法类似上面．
【解答】解：【问题背景】：EF＝BE+FD．
理由：如图1，延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG．
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD；
故答案为EF＝BE+FD．
[探索延伸]结论EF＝BE+DF仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝　90　度；
（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【分析】（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和；
（3）问是第（1）问和第（2）问的拓展和延伸，要注意分析两种情况．
【解答】解：（1）90°．
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°
∴∠BCE＝90°；
（2）①α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°；
②当点D在射线BC上时，α+β＝180°；
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，
∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，
∴α+β＝180°；
当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．
理由：∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE，
即α＝β．
【点评】本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．本题的亮点是由特例引出一般情况．