2022-2023学年苏科版数学九年级上册第一章一元二次方程　达标检测卷（含答案）

2022-2023学年苏科版九年级数学上《第一章一元二次方程》达标检测卷
（时间：90分钟 满分：120分）
一．选择题(30分）
1. 把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A. 5x2-4x-4=0 B. x2-5=0 C. 5x2-2x+1=0 D. 5x2-4x+6=0
2. 如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为(　　)
A. 3或－3 B. 4或－2 C. 1或3 D. 27
3. 当x (a≠0，b2－4ac＞0)时，代数式ax2＋bx＋3c的值是(　　)
A. 0 B. 2c C. － D.
4. 关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（ ）
A. a≥1 B. a＞1且a≠5 C. a≥1且a≠ 5 D. a≠5
5．有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中ac≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是(　　)
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
6．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法：①当b＝a＋c时，方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数根；②若a，c异号，方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数根；③若b2－5ac＞0，方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根；④若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2＋bx＋a＝0，也一定有两个不相等的实数根．其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①② D．只有②④
7. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. a=c B. a=b C. b=c D.
8. 甲，乙两名同学对问题“求代数式y＝x2＋的最小值”提出各自的想法．甲说：“可以利用已经学过的完全平方公式，把它配方成y＝－2，所以代数式的最小值为－2”．乙说：“我也用配方法，但我配成y＝＋2，最小值为2”．你认为(　　)
A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对
9. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则的值是（　　）
A. 3 B. ﹣3 C. 5 D. ﹣5
10. 在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为（ ）
A. B. 1 C. 5 D. 或1
二．填空题(30分)
11．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2 018－a－b的值是________．
12．若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________．
13．已知关于x的方程x2＋6x＋k＝0的两个根分别是x1，x2，且＋＝3，则k的值为________．
14．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若　＝6，则x＝________．
15．若关于x的方程x2＋(m＋1)x＋＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是_____．
16.已知实数a、b分别满足方程＋－3 = 0和b＋b－3 = 0，且ab≠1，则代数式的值为_______________．
17. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________．
18．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2021x2，S2＝x12+2021x22，…，Sn＝x1n+2021x2n，则aS2022+bS2021+cS2020的值为_____.
19．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为　 　．
【
20．已知有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则满足条件的有序整数对有　 　个．
三。解答题（60分）
21．(12分)用适当的方法解下列方程：
(1)x2＋3x－4＝0； (2)(x＋1)2＝4x；
(3)(x＋4)2＝5(x＋4); (4)(x－3)(x－1)＝3.
22．（6分）方程x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，设它们另两个根为x1，x2；方程x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，设它们另两个根为x3，x4．求x1x2x3x4的取值范围（a、b＜0，a≠b，c、d＜0，c≠d）
23. （6分）【阅读材料】
解方程：x4－3x2＋2＝0.
解：设x2＝m，则原方程可变形为m2－3m＋2＝0，
解得m1＝1，m2＝2.
当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1；
当m＝2时，x2＝2，解得x＝±.
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－.
【问题解决】
利用上述方法解方程：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．
①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？
②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？
25．（8分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　 　；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．
26.（8分）“中秋节”是我国的传统佳节，中秋赏月吃月饼．某蛋糕店销售“杏花楼”和
“元祖”两个品牌的月饼，每个“杏花楼”月饼的售价是15元，每个“元祖”月饼的售价
是12元．
（1）8月份，两个品牌的月饼一共销售180个，且总销售额不低于2460，则卖出“杏花楼”月饼至少多少个？
（2）9月份，月饼大量上市，受此影响，“杏花楼”月饼的售价降低了a%（a%＜30%），销售量在八月份的最低销售量的基础上增加了5a个，“元祖”月饼的售价降低a元，销售量在八份的最高销售量的基础上增加了a%，结果9月份的总销售额比8月最低销售额增加了1020元，求a的值．
27．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0　 （填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　 　．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为　 　．
（4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
教师样卷
一．选择题(30分）
1. 把方程（x-）(x+）+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式是（ A ）
A. 5x2-4x-4=0 B. x2-5=0 C. 5x2-2x+1=0 D. 5x2-4x+6=0
2. 如图，是一个简单的数值运算程序．则输入x的值为(　B　)
A. 3或－3 B. 4或－2 C. 1或3 D. 27
3. 当x (a≠0，b2－4ac＞0)时，代数式ax2＋bx＋3c的值是(　B　)
A. 0 B. 2c C. － D.
【详解】∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2﹣4ac＞0）的根为x=，∴当x=时，ax2+bx+c=0，∴ax2＋bx＋3c=ax2＋bx＋c+2c=2c．故选B．
4. 关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（ A ）
A. a≥1 B. a＞1且a≠5 C. a≥1且a≠ 5 D. a≠5
5．有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中ac≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是(　D　)
A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根
B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
6．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法：①当b＝a＋c时，方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数根；②若a，c异号，方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数根；③若b2－5ac＞0，方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根；④若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2＋bx＋a＝0，也一定有两个不相等的实数根．其中正确的是(　B　)
A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①② D．只有②④
7. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ A ）
A. a=c B. a=b C. b=c D.
【详解】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，∴△=b2 4ac=0，又a+b+c=0，即b= a c，代入b2 4ac=0得( a c)2 4ac=0，即(a+c)2 4ac=a2+2ac+c2 4ac=a2 2ac+c2=(a c)2=0，∴a=c，故选：A．
8. 甲，乙两名同学对问题“求代数式y＝x2＋的最小值”提出各自的想法．甲说：“可以利用已经学过的完全平方公式，把它配方成y＝－2，所以代数式的最小值为－2”．乙说：“我也用配方法，但我配成y＝＋2，最小值为2”．你认为(　B　)
A. 甲对 B. 乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对
【详解】y=（x﹣）2+2 =（x+）2－2．因为x和一定同号，不可能出现x=﹣的情况．所以 x+≠0．故甲错误．当x=时，x=±1，此时y＝＋2的最小值是2，所以乙正确．故选B．
9. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则的值是（　D　）
A. 3 B. ﹣3 C. 5 D. ﹣5
【详解】解：∵a、b为方程（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，∵，∴，∴p=﹣3．当p=﹣3时，△=9﹣4p=9+12=21＞0，∴p=﹣3符合题意．====﹣5．故选D．
10. 在直角坐标系xOy中，已知点P(m，n)，m，n满足(m2＋1＋n2)(m2＋3＋n2)＝8，则OP的长为（ B ）
A. B. 1 C. 5 D. 或1
【详解】设t=m2+n2．则由原方程，得（1+t）（3+t）=8，整理得t2+4t-5=0，即（t+5）（t-1）=0，解得 t=-5（舍去）或t=1．∵P（m，n），∴OP=m2+n2=1．故选B．
二．填空题(30分)
11．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的一个解是x＝1，则2 018－a－b的值是________．
【答案】 2 023
12．若关于x的一元二次方程ax2＋3x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是____________．
【答案】a＞－且a≠0
13．已知关于x的方程x2＋6x＋k＝0的两个根分别是x1，x2，且＋＝3，则k的值为________．
【答案】－2
14．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 ，定义 ＝ad－bc，上述记号就叫做2阶行列式．若　＝6，则x＝________．
【答案】. ±
15．若关于x的方程x2＋(m＋1)x＋＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是_____．
【答案】－或
16.已知实数a、b分别满足方程＋－3 = 0和b＋b－3 = 0，且ab≠1，则代数式的值为_______________．
【答案】7
17. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________．
【答案】6或10或12【详解】由方程，得=2或4．当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12；当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去；当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10．综上所述此三角形的周长是6或12或10．故答案为：6或10或12
18．设关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，记S1＝x1+2021x2，S2＝x12+2021x22，…，Sn＝x1n+2021x2n，则aS2022+bS2021+cS2020的值为_____.
【答案】0 解：∵x1，x2是二次方程ax2+bx+c＝0的两根，∴有：ax12+bx1+c＝0
ax22+bx2+c＝0∴aS2022+bS2021+cS2020＝a（x12022+2021x22022）+b（x12021+2021x22021）+c（x12020+2021x22020）＝x12020（ax12+bx1+c）+2021x22020（ax22+bx2+c）＝0．
19．已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，bx2+cx+a＝0，cx2+ax+b＝0恰有一个公共实数根，则的值为　 　．
【答案】3．解：设公共实数根为t，则at2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+at+b＝0，三式相加得（a+b+c）t2+（a+b+c）t+a+b+c＝0，即（a+b+c）（t2+t+1）＝0，因为t2+t+1＝（t+）2+＞0，所以a+b+c＝0，所以原式＝＝
＝＝＝＝3．故答案为3．
20．已知有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，关于x的方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则满足条件的有序整数对有　 　个．
【答案】 3 解：∵有序整数对（m，n），其中|m|≤1，|n|≤2，∴m＝0，±1，n＝0，±1，±2，±3∴有序整数（m，n）共有：3×7＝21（种），∵方程x2+nx+m＝0有两个相等实数根，则需：△＝n2﹣4m＝0，有（0，0），（1，2），（1，﹣2）三种可能，∴满足条件的有序整数对有3个．故答案为：3．
三。解答题（60分）
21．(12分)用适当的方法解下列方程：
(1)x2＋3x－4＝0； (2)(x＋1)2＝4x；
(3)(x＋4)2＝5(x＋4); (4)(x－3)(x－1)＝3.
解：(1)x2＋3x－4＝0，x＝＝.∴x1＝1，x2＝－4.
(2)(x＋1)2＝4x，整理得x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，∴x1＝x2＝1.
(3)(x＋4)2＝5(x＋4)，整理得(x＋4)(x＋4－5)＝0，即(x＋4)(x－1)＝0，∴x1＝－4，x2＝1.
(4)(x－3)(x－1)＝3，化成一般形式为x2－4x＝0，即x(x－4)＝0.∴x1＝0，x2＝4.
22．（6分）方程x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，设它们另两个根为x1，x2；方程x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，设它们另两个根为x3，x4．求x1x2x3x4的取值范围（a、b＜0，a≠b，c、d＜0，c≠d）
解：∵x2+ax+b＝0与x2+bx+a＝0有一个公共根，∴x2+ax+b＝x2+bx+a，∴（a﹣b）x＝a﹣b，
∵a≠b，∴x＝1，∴x1＝b，x2＝a，∴a+b＝﹣1，∴x1+x2＝﹣1，∵x2﹣cx+d＝0与x2﹣dx+c＝0有一个公共根，∴x2﹣cx+d＝x2﹣dx+c，∴﹣（d﹣c）x＝d﹣c，∵c≠d，∴x＝﹣1，
∴x3＝﹣d，x4＝﹣c，∴d+c＝﹣1，∴x3+x4＝1，∵a、b＜0，c、d＜0，
∴（﹣x1）+（﹣x2）≥2，x3+x4≥2，∴0＜x1x2≤，0＜x3x4≤，
∴0＜x1x2x3x4≤．
23. （6分）【阅读材料】
解方程：x4－3x2＋2＝0.
解：设x2＝m，则原方程可变形为m2－3m＋2＝0，
解得m1＝1，m2＝2.
当m＝1时，x2＝1，解得x＝±1；
当m＝2时，x2＝2，解得x＝±.
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝，x4＝－.
【问题解决】
利用上述方法解方程：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.
解：(x2－2x)2－5x2＋10x＋6＝0.
(x2－2x)2－5(x2－2x)＋6＝0.
设x2－2x＝m，则原方程可变形为m2－5m＋6＝0，
解得m1＝3，m2＝2.
当m＝3时，x2－2x＝3，解得x＝3或x＝－1.
当m＝2时，x2－2x＝2，解得x＝1±.
所以原方程的解为x1＝3，x2＝－1，x3＝1＋，x4＝1－.
24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
（2）若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．
①若平行四边形ABCD是矩形，且m＝5时．求矩形的面积？
②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？
【答案】（1）证明：∵△＝m2﹣4（m﹣1）＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：①当m＝5时，x2﹣5x+4＝0，解得x1＝1，x2＝4，即AB、AD的长为1、4，∴矩形的面积＝1×4＝4；②∵平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∴△＝0，即（m﹣2）2＝0，解得m＝2，方程化为x2﹣2x+1＝0，解得x1＝x2＝1，∴菱形的边长为1．
25．（8分）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．
（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有　①②　；（只填写序号即可）
①（x﹣1）2＝9；②x2+4x+4＝0；③（x+4）（x﹣2）＝0．
（2）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“同伴方程”，求m的值；
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，且与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，求n的值．
解：（1）①（x﹣1）2＝9解得：x1＝4，x2＝﹣2，②x2+4x+4＝0，解得：x1＝x2＝﹣2，③（x+4）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2所以，属于“同伴方程”的有①②故答案是：①②；
（2）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为x1＝0，x2＝2，当相同的根是x＝0时，则m﹣1＝0，解得m＝1；当相同的根是x＝2时，则4+6+m﹣1＝0，解得m＝﹣9；综上，m的值为1或﹣9；（3）∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）同时满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x2＝1，x2＝﹣1；∵（x+2）（x﹣n）＝0的两个根是x1＝﹣2，x2＝n，∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与（x+2）（x﹣n）＝0互为“同伴方程”，∴n＝1或﹣1．
26.（8分）“中秋节”是我国的传统佳节，中秋赏月吃月饼．某蛋糕店销售“杏花楼”和
“元祖”两个品牌的月饼，每个“杏花楼”月饼的售价是15元，每个“元祖”月饼的售价
是12元．
（1）8月份，两个品牌的月饼一共销售180个，且总销售额不低于2460，则卖出“杏花楼”月饼至少多少个？
（2）9月份，月饼大量上市，受此影响，“杏花楼”月饼的售价降低了a%（a%＜30%），销售量在八月份的最低销售量的基础上增加了5a个，“元祖”月饼的售价降低a元，销售量在八份的最高销售量的基础上增加了a%，结果9月份的总销售额比8月最低销售额增加了1020元，求a的值．
解：（1）设卖出“杏花楼”月饼x个，则卖出“元祖”月饼（180﹣x）个，依题意，得：15x+12（180﹣x）≥2460，解得：x≥100．答：卖出“杏花楼”月饼至少100个．
（2）依题意，得：15（1﹣a%）×（100+5a）+（12﹣a）×（180﹣100）（1+a%）＝2460+1020，整理，得：1.05a2﹣72a+1020＝0，解得：a1＝20，a2＝（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
27．（12分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2和x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）根据上述定义，一元二次方程2x2+x﹣1＝0　 （填“是”或“不是”）“倍根方程”．
（2）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0是“倍根方程”，则c＝　 　．
（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，则a、b、c之间的关系为　 　．
（4）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值．
解：（1）2x2+x﹣1＝0，（2x﹣1）（x+1）＝0，解得x1＝和x2＝﹣1，故一元二次方程2x2+x﹣1＝0 不是（填“是”或“不是”）“倍根方程”．（2）由题意可知：x＝m与x＝2m是方程x2﹣3x+c＝0的解，∴m2﹣3m+c＝0，4m2﹣6m+c＝0，∴m＝1，c＝2；（3）设x＝m与x＝2m是方程ax2+bx+c＝0的解，∴2m+m＝﹣，2m2＝，∴消去m得：2b2＝9ac，
（4）由（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，且该方程的两根分别为x＝2和x＝，∴＝4或＝1，当n＝4m时，原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0当n＝m时，
原式＝（m﹣n）（4m﹣n）＝0．故答案为：不是；2；2b2＝9ac．