教学设计：二元一次方程与一次函数[上学期]

《二元一次方程与一次函数》教学设计
南海区里水镇旗峰中学 黄振尧
教学内容：北师大版八年级上第七章二元一次方程组第六节 202页—204页
《二元一次方程与一次函数》
教学目标
知识要求：初步理解二元一次方程与一次函数的关系，能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
能力要求：通过学生的自主探索的实际操作，加强新旧知识间的联系，培养学生初步的数形结合的意识和能力。
情感与价值观要求：通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣，使学生体验数学活动充满探索与创造。
教材分析
旧教材中，二元一次方程（组）和一次函数是独立的两部分，为了加强知识间的联系，新教材加入了本节内容，研究方程和函数的关系，培养学生数形结合的意识和能力。
学生已经分别学习了一次函数和二元一次方程组，这节课研究二元一次方程组（数）和一次函数（形）的关系，是这两章知识的综合运用。强化了部分与整体的内在联系，知识与知识的内在联系，并为今后解析几何的学习奠定基础。
教学重点
1、二元一次方程和一次函数的关系。
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。
教学难点
方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。
教学方法
学生操作——自主探索的方法
学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组和“形”——函数的图象（直线）之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。
教学过程
1、 故事引入
迪卡儿的故事——蜘蛛给予的启示
十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘
蛛顺着丝左右爬行。迪卡儿看到蜘蛛的“表演”猛的机灵一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？
在蜘蛛爬行的启示下，迪卡儿创建了直角坐标系，在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立联系。迪卡儿坐标系起到了桥梁和纽带的作用。从而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程。
这节课我们就来研究二元一次方程（数）与一次函数（形）的关系。
2、 尝试探疑
1、
你们把我叫一次函数，我也是二元一次方程啊！这是怎么回事，你知道吗？
学生先是疑惑：方程就是方程，函数就是函数，它们能有什么联系呢？然后通过思考、交流，最后恍然大悟。初步感受一次函数与二元一次方程的内在联系。
2、函数上的任意一点的坐标是否满足方程？
以方程的解为坐标的点在不在函数的图
与函数有何关系？
学生会迫不及待地拿起笔来计算。从函数图象上找几个点看它们的坐标是否满足方程。结果都满足。然后学生就会自主和同伴交流，问一问同伴函数图象上的点满足不满足方程。结果也都满足。这样他们就会达成共识：函数上的任意一点的坐标都满足方程。
然后学生会用同样的方法得出另一个结论：以方程的解为坐标的点一定在函数的图象上。然后开始思索函数和方程到底有何关系呢？通过交流自动得出结论：以方程的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同。
3、在同一坐标系下，作出与的图象，他们的交点坐标是什么？方程组 的解是什么？二者有何关系？
学生根据画图象的方法画出两函数图象，画出交点坐标。用消元法解出方程组的解。学生会大吃一惊：两者出奇地相近或者干脆就相同。这是怎么回事呢？然后开始探究二者关系。通过交流、讨论得出结论：函数和的交点坐标就是由两个函数表达式组成的方程组的解。
教师作最后总结：因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。
3、 方程与函数关系的应用
解方程组
学生会很快的用消元法解出来。
老师发问：谁还有其他的方法？如果有，鼓励学生大胆提出。并给予口头表扬。如果没有人用其他的方法，老师提出问题：你能不能用图象的方法求方程组的解呢？这时，学生就会去探索新的思路、方法。
一回忆方程与函数的关系，有了！方程组的解不就是两个方程变形得到的
两个函数图象的交点坐标吗？学生就会迅速动笔用这种方法把方程解出来。作完之后，互相交流。学生总结一下做题步骤：
1、把两个方程都化成函数表达式的形式。
2、画出两个函数的图象。
3、画出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。
问题又出来了,有的同学的解是，有的同学的解是 ，
有的同学的解是……虽然都和消元法得到的结果相近，但各不相同。
老师提问：你能说一下用图象法解方程组的不足吗？
学生争先恐后的回答：用这种方法求的解是近似值。不准确。学生提出疑问：既然不准确，那学习它有什么用呢？用消元法就足够了！
教师解释一下：在现实生活和生产中，我们会遇到特别复杂的方程，用消
元法解不太容易，我们就可以用电脑绘制成函数图象，很容易找出交点坐标。教师可以用Z+Z智能教育平台演示一下。
[点评]用作图象的方法解方程组，这体现了两个知识点的内在联系。学数学知识，探索知识点之间的联系，可起到化新为旧的作用，达到事半功倍的效果。逐步让学生学会这种学习新知识的技巧。
4、 引申：试一试
有一组数同时适合方程和吗？你能从函数的角度解释一
下吗？
学生用消元法开始解方程组，结果无解，怎么回事呢？学生会尝试运用方程组的图象解法。画出两个函数图象。答案有了！一次函数与的图象是平行的，没有交点。所以方程组无解了。哇！太神奇了！方程的问题可以用图象的方法解决了。
[点评]因为有了上面的用作图象法解方程组，在这里，学生就会自觉地从函数的角度探究方程的问题，初步具有了数形结合的意识和能力。
5、 课后小结
师生一起回顾本节主要内容。
本节课我们通过操作和思考，揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系，从而引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程与“形”——函数图象之间的对应关系，培养了学生初步的数形结合的意识和能力。
6、 作业
1、 用作图象法解方程组
2、如图，直线L、L相交于点 A，试求出A点坐标。
教学反思
这节课由故事引入，激发了学生极大的学习兴趣。然后提出了三个尖锐的问题，让学生尝试探索，在探索中既体会到了探索的艰辛，又体会到了成功的喜悦。在应用和引申过程中，尽量让学生自主的发现问题，自主的解决问题。学生在紧张、愉快中完成了这节课的学习。
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