2022-2023学年苏科版数学八年级上册2.1～2.3轴对称图形的概念、性质、设计 阶段练习（含解析）

阶段练习2.1～2.3轴对称图形的概念、性质、设计
-2022-2023学年苏科版数学八年级上册
一、选择题
1、（2022·河北沧州·八年级期末）下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2、（2022秋 仓山区校级期末）下列图形中，对称轴有6条的图形是（　　）
A． B． C． D．
3、（2022春 二道区期末）小明同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（　　）
A．70625 B．70952 C．70925 D．52607
4、（2022·河北唐山·八年级期末）如图，△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．垂直平分，
C．△ABC与面积相等 D．直线AB、的交点不一定在MN上
5、（2022 丽水一模）将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
6、（2022秋 常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
7、（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
8、（2022·河北保定·八年级期末）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
9、（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
10、（2022·河北沧州·八年级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
11、（2022秋 江都区校级月考）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形，在这个正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
12、（2022春 成华区期末）如图1，小明晚饭后出门时看见门内上方的圆形挂钟是4点过7分，回来时一开门就看见门对面镜子里的挂钟是7点过5分（如图2），则小明在外边待了　 　分钟．
13、（2022秋 连城县期末）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案．
14、（2022秋 河东区期末）如图，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于 　 　．
15、（2022秋 台江区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，若∠B＝α度，则∠D的度数是　 　度．
16、（2022春 驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为　 　．
17、（2022·河南·模拟预测）如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有______种.
18、（2022 盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 　　个．
三、解答题
19、（2022 金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．
观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．
请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
20、（2022·江西·定南县教学研究室八年级期末）如图，三角形ABC与三角形DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
21、如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）线段被直线__________；
（3）的面积为__________；
（4）在直线上找一点，使的长最短．
22、（2022秋 房山区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．
23、（2022秋 土默特左旗期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长．
24、（2022秋 洛南县期末）问题提出：（1）如图1，画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留作图痕迹，不写作法）．
问题探究：（2）如图2，∠MAN＝90°，射线AE在∠MAN的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BD⊥AE于点D，证明：△ABD≌△CAF．
深入思考：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．判断线段AD、BE、DE之间的数量关系，并加以说明．
25、（2022·吉林白山·八年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=10，BC＝6，AC＝8．点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请你在横线上补充其推理过程或理由．
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，
因为∠ACB＝90°（已知），所以________（垂直的定义），
所以PB＝______（线段垂直平分线的性质），
所以PB+PD＝PB′+PD（等式性质），
所以过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值
在△ABC和△AB′C中，因为∠ACB＝∠ACB′＝90°，AC＝AC，________，
所以△ABC≌△AB′C（理由：________），
所以S△ABB′＝S△ABC+_______＝2S△ABC（全等三角形面积相等），
因为S△ABB′＝×AB×B'D＝×10×B′D＝5B′D，
又因为S△ABB′＝2S△ABC＝2××BC×AC＝2××6×8＝48，
所以_______ （同一三角形面积相等），
所以B′D＝，所以_______．
26、（2022·山东济宁·八年级期末）（1）我们已经知道，在中，如果，则，下面我们继续研究∶如图①，在中，如果，则与的大小关系如何？为此，我们把沿的平分线翻折，因为，所以点落在边的点处，如图②所示，然后把纸展平，连接，接下来，你能推出与的大小关系了吗？试写出说理过程．
（2）如图③，在中，是角平分线，且，求证：．
（3）在（2）的条件下，若点、分别为、上的动点，且，，则的最小值为________．
阶段练习2.1～2.3轴对称图形的概念、性质、设计
-2022-2023学年苏科版数学八年级上册
一、选择题
1、（2022·河北沧州·八年级期末）下列手机软件图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2、（2022秋 仓山区校级期末）下列图形中，对称轴有6条的图形是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、有5条对称轴，不符合题意；
B、C不是轴对称图形，不符合题意；
D、有6条对称轴，符合题意．
故选：D．
3、（2022春 二道区期末）小明同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（　　）
A．70625 B．70952 C．70925 D．52607
【解答】解：做轴对称图形得：|70625，
4、（2022·河北唐山·八年级期末）如图，△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．是等腰三角形 B．垂直平分，
C．△ABC与面积相等 D．直线AB、的交点不一定在MN上
解：由题意△ABC与关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∵对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，
∴，∴是等腰三角形，选项A正确，不符合题意；
∵轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分，
∴垂直平分，，选项B正确，不符合题意；
∵轴对称图形对应的角、线段都相等，
∴△ABC与是全等三角形，面积也必然相等，选项C选项正确，不符合题意；
∵直线AB、关于直线MN对称，因此交点一定在MN上．
∴选项D错误，符合题意．
故选D．
5、（2022 丽水一模）将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是：
故选：A．
6、（2022秋 常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6＝337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A．
7、（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
解：如图，点M’是点M关于直线的对称点，连接M’N，则M’N与直线的交点，即为点P，此时PA＋PB最短，
∵M’N与直线交于点C，∴点P应选C点．故选：C．
8、（2022·河北保定·八年级期末）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．6 D．7
解：连接，如图，
∵是P关于直线l的对称点，∴直线l是的垂直平分线，∴
∵是P关于直线m的对称点，∴直线m是的垂直平分线，∴
当不在同一条直线上时，；即
当在同一条直线上时，
故选：B
9、（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若∠MON=35°，则∠GOH=（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【解析】如图，连接OP，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴∠GOM＝∠MOP，∠PON＝∠NOH，∴∠GOH＝∠GOM＋∠MOP＋∠PON＋∠NOH＝2∠MON，∵∠MON＝35°，∴∠GOH＝2×35°＝70°，故答案选B.
10、（2022·河北沧州·八年级期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为（ ）
A．130° B．120° C．110° D．100°
如图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠BAD＝120°，∴∠HAA′＝60°，∴∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°．
故选：B．
11、（2022秋 江都区校级月考）如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形，在这个正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
所以与△ABC成轴对称的格点三角形最多有6个．故选：D．
二、填空题
12、（2022春 成华区期末）如图1，小明晚饭后出门时看见门内上方的圆形挂钟是4点过7分，回来时一开门就看见门对面镜子里的挂钟是7点过5分（如图2），则小明在外边待了　 　分钟．
【解答】解：根据对面镜子里的挂钟是7点过5分，
∴根据镜面对称得出：分针指在5上与11对称，时针指在7上与5对称，
∴故实际时间是4：55，
∴小明在外边待了：55﹣7＝48分钟．
故答案为：48．
13、（2022秋 连城县期末）仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案．
【解答】解：观察图形规律，可得空白处应该为字母E和它的轴对称图形，如图所示：．
14、（2022秋 河东区期末）如图，△ABC中，∠B＝58°，∠C＝55°，点D为BC边上一动点．分别作点D关于AB，AC的对称点E，F，连接AE，AF．则∠EAF的度数等于 　 　．
【解答】解：∵点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，
∴∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，
∵∠B＝58°，∠C＝55°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝180°﹣58°﹣55°＝67°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝134°，故答案为：134°．
15、（2022秋 台江区期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，△ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，若∠B＝α度，则∠D的度数是　 　度．
【解答】解：∵△ABC沿着AC翻折，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AB＝AE，∠B＝∠AEC＝α，
∵AB＝AD，∴AD＝AE，
∴∠D＝∠AED＝180°﹣∠AEC＝180﹣α．故答案为：（180﹣α）．
16、（2022春 驿城区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝3cm，PN＝4cm，MN＝4.5cm，则线段QR的长为　 　．
【解答】解：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，∴OA垂直平分PQ，
∴QM＝PM＝3cm，∴QN＝MN﹣QM＝4.5cm﹣3cm＝1.5cm，
∵点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴OB垂直平分PR，
∴RN＝PN＝4cm，∴QR＝QN+RN＝1.5cm+4cm＝5.5cm．故答案为5.5cm．
17、（2022·河南·模拟预测）如图,正三角形网格中,已有两个小正三角形被涂黑,再将图中其余小正三角形涂黑一个,使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有______种.
【答案】3
【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：选择小正三角形涂黑，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，
18、（2022 盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有 　　个．
【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形．
故在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，
故答案为：4．
三、解答题
19、（2022 金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑．如图（1），（2）所示．
观察图（1），图（2）中涂黑部分构成的图案．它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都是三个小正三角形．
请在图（3），图（4）内分别设计一个新图案，使图案具有上述两个特征．
【分析】因为正三角形是轴对称图形，其对称轴是从顶点向底边所作垂线，故只要所涂得小正三角形关于大正三角形的中垂线对称即可．
【解答】解：如图
20、（2022·江西·定南县教学研究室八年级期末）如图，三角形ABC与三角形DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l.
【解析】根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，
图①过点A和BC与EF的交点作直线即为对称轴直线l；
图②，延长两组对应边得到两个交点，然后过这两点作直线即为对称轴直线l．
图①中，过点A和BC，EF的交点作直线l；
图②中，过BC，EF延长线的交点和AC，DF延长线的交点作直线l.
21、如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）线段被直线__________；
（3）的面积为__________；
（4）在直线上找一点，使的长最短．
【详解】解：（1）△A′B′C′如图所示．
（2）线段CC′被直线l垂直平分．故答案为：垂直平分．
（3）△ABC的面积==3．
故答案为：3．
（4）点P如图所示．
22、（2022秋 房山区期末）如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．
【解答】解：∵点Q和点P关于OA的对称，点R和点P关于OB的对称
∴直线OA、OB分别是PQ、PR的中垂线，
∴MP＝MQ，NP＝NR，∴∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO，
∵∠PMO＝3 3°，∠PNO＝70°
∴∠PMO＝∠QMO＝33°，∠PNO＝∠RNO＝70°
∴∠PMQ＝66°，∠PNR＝140°∴∠MQP＝57°，
∴∠PQN＝123°，∠PNQ＝40°，∴∠QPN＝17°．
23、（2022秋 土默特左旗期中）如图，点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，若△PEF的周长为15，求MN的长．
【解答】解：∵点M是点P关于AO，的对称点，∴AO垂直平分MP，∴EP＝EM．
同理PF＝FN．
∵MN＝ME+EF+FN，∴MN＝EP+EF+PF，
∵△PEF的周长为15，∴MN＝EP+EF+PF＝15．
24、（2022秋 洛南县期末）问题提出：（1）如图1，画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形△ACB′，其中∠BAC＝90°（保留作图痕迹，不写作法）．
问题探究：（2）如图2，∠MAN＝90°，射线AE在∠MAN的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，过点C作CF⊥AE于点F，过点B作BD⊥AE于点D，证明：△ABD≌△CAF．
深入思考：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，且点A、B在直线l的异侧，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．判断线段AD、BE、DE之间的数量关系，并加以说明．
【解答】（1）解：如图1中，△ACB′即为所求．
（2）证明：如图2中，
∵BD⊥AE，CF⊥AE，∠MAN＝90°，∴∠ADB＝∠AFC＝∠MAN＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°，∴∠ABD＝∠CAF，
∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF（AAS）．
（3）解：结论：BE＝AD+DE．
理由：∵AD∥CD，BE⊥CD，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠BEC＝∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，
∵AC＝BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，AD＝CE，
∵CD＝DE+EC＝DE+AD，∴BE＝AD+DE．
25、（2022·吉林白山·八年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB=10，BC＝6，AC＝8．点P为AC边上的一个动点，过点P作PD⊥AB于点D，求PB+PD的最小值．请你在横线上补充其推理过程或理由．
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC＝B′C，
因为∠ACB＝90°（已知），所以________（垂直的定义），
所以PB＝______（线段垂直平分线的性质），
所以PB+PD＝PB′+PD（等式性质），
所以过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值
在△ABC和△AB′C中，因为∠ACB＝∠ACB′＝90°，AC＝AC，________，
所以△ABC≌△AB′C（理由：________），
所以S△ABB′＝S△ABC+_______＝2S△ABC（全等三角形面积相等），
因为S△ABB′＝×AB×B'D＝×10×B′D＝5B′D，
又因为S△ABB′＝2S△ABC＝2××BC×AC＝2××6×8＝48，
所以_______ （同一三角形面积相等），
所以B′D＝，所以_______．
【答案】AC⊥BB'；PB'；BC＝B′C；SAS；S△AB'C；；PB+PD的最小值为；
解：如图2，延长BC到点B′，使得BC=B′C，连接PB′，
因为∠ACB=90°（已知），所以 AC⊥BB'（垂直的定义），
所以PB=PB'（线段垂直平分线的性质），所以PB+PD=PB′+PD（等式性质），
所以过点B′作B′D⊥AB于点D，交AC于点P，此时PB+PD取最小值，连接AB′．
在△ABC和△AB′C中，
因为∠ACB=∠ACB′=90°，AC=AC，BC=B′C，所以△ABC≌△AB′C（理由：SAS），
所以SABB′=S△ABC+S△AB'C=2S△ABC（全等三角形面积相等），
因为S△ABB′=×AB×B'D=×10×B′D=5B′D，
又因为S△ABB′=2S△ABC=2××BC×AC=2××6×8=48，
所以 5B′D=48（同一三角形面积相等），所以B′D=，
所以 PB+PD的最小值为．
故答案为：AC⊥BB'；PB'；BC=B′C；SAS；S△AB'C；5B′D=48；PB+PD的最小值为．
26、（2022·山东济宁·八年级期末）（1）我们已经知道，在中，如果，则，下面我们继续研究∶如图①，在中，如果，则与的大小关系如何？为此，我们把沿的平分线翻折，因为，所以点落在边的点处，如图②所示，然后把纸展平，连接，接下来，你能推出与的大小关系了吗？试写出说理过程．
（2）如图③，在中，是角平分线，且，求证：．
（3）在（2）的条件下，若点、分别为、上的动点，且，，则的最小值为________．
【解析】（1）解：，理由如下：
由折叠可知
在中，;∴;∴
(2)证明：如图，在上截取，连接
∵平分;∴
在和中;∴≌（）;∴，
∵;∴
在中，;∴
∴;∴;∴
（3）
如图，过C作CDAB于D交AE于P，过P作PFAC于F，这时取最小值，
易知，∴
∵;∴的最小值为．