2022-2023学年苏科版数学八年级上册2.4.1～2.4.2线段垂直平分线的性质和判定 专项练习（含解析）

2.4.1～2.4.2线段垂直平分线的性质和判定 专项练习
-2022-2023学年苏科版数学八年级上册
主要内容：线段的垂直平分线
知识点1：线段的垂直平分线的概念以及尺规作法：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的______________ ，简称“中垂线”． 线段的垂直平分线需要满足两个条件：① 于这条线段，② 这条线段。
知识点2：线段的轴对称性：线段是轴对称图形，它有2条对称轴，线段本身所在的直线是它的一条对称轴，另一条是它的 .
知识点3：线段的垂直平分线的性质以及逆定理：
线段垂直平分线上的点到线段 的距离相等；
到线段 距离相等的点在线段的垂直平分线上.
一、选择题
1、（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ADC的周长为12，△ABC的周长为20，则AE的长为（ ）
A．8 B．10 C．4 D．6
2、（2022·浙江·临海市书生实验学校八年级开学考试）已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（　　）
A．B．C．D．
3、（2022春 浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点处 B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处
4、（2022秋 甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
5、（2022秋 西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　）
A．50° B．80° C．90° D．100°
6、（2022秋 祁阳县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．10 C．18 D．20
7、（2021 越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
8、（2021春 乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
9、如图，点为边上一点，且，则点在线段 的垂直平分线上.
10、如图，是线段的垂直平分线，若，，则四边形的周长是______．
11、（2022·广西·藤县教学研究室一模）如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D， 交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数是为_____．
12、（2021春 莱阳市期末）如图，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点F，交BC的延长线于点E，若BF＝6，CF＝2，则AC的长为 　 　．
13、（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长为___________．
14、（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，线段CD与线段BE互相垂直平分，，，则______．
15、（2022·广西·环江毛南族自治县教研室八年级期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=5，AC=4，BC=6，则△APC周长的最小值是________．
16、如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；
③∠B＝3∠BCC′；④DC'∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号)
三、解答题
17、（2021春 长安区期末）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．
（1）请用尺规在图上找出点P；
（2）请说明你作图的依据．
18、（2022秋 武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．
（1）作出边AC的垂直平分线DE；
（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．
19、（2021 碑林区校级模拟）尺规作图：如图，已知△ABC．请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC．（保留作图痕迹，不写作法）
20、（2021·广西·柳城县教育局教研室一模）如图，在Rt△ABC中，AC＜BC，∠C＝90°．
(1)在BC上求作点D，使点D到A，B两点的距离相等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接AD，过点B作AD的垂线BE，垂足为E，求证：BE＝AC．
21、（2021秋 仪征市月考）如图．AB＝AC，MB＝MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．
22、（2021 沭阳县校级开学）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．
23、（2020秋 渑池县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为　 　．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
24、（2021春 平顶山期中）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：
（1）AE＝DE；
（2）EM＝EC．
25、（2022秋 鄂托克旗期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．
26、（2022秋 庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
27、（2022 阜宁县校级月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）设直线DM、EN交于点O．
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．
2.4.1～2.4.2线段垂直平分线的性质和判定 专项练习
-2022-2023学年苏科版数学八年级上册
主要内容：线段的垂直平分线
知识点1：线段的垂直平分线的概念以及尺规作法：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的______________ ，简称“中垂线”． 线段的垂直平分线需要满足两个条件：① 于这条线段，② 这条线段。
知识点2：线段的轴对称性：线段是轴对称图形，它有2条对称轴，线段本身所在的直线是它的一条对称轴，另一条是它的 .
知识点3：线段的垂直平分线的性质以及逆定理：
线段垂直平分线上的点到线段 的距离相等；
到线段 距离相等的点在线段的垂直平分线上.
一、选择题
1、（2022·山东省青岛第六十三中学八年级期中）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ADC的周长为12，△ABC的周长为20，则AE的长为（ ）
A．8 B．10 C．4 D．6
【答案】C
【详解】解：由题意得：是的垂直平分线，，
的周长为12，，，
又的周长为20，，解得，
，故选：C．
2、（2022·浙江·临海市书生实验学校八年级开学考试）已知△ABC（AB＜AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上取一点P，使PA+PC＝BC，下列选项正确的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：B．
3、（2022春 浑南区期末）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（　　）
A．△ABC的三条中线的交点处 B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处 D．△ABC三条高所在直线的交点处
【解答】解：∵线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等，
∴△ABC三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．故选：B．
4、（2022秋 甘井子区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（　　）
A．A处 B．B处 C．C处 D．D处
【解答】解：根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，
所以EF上的点到M、N的距离相等，即发射塔应该建在C处，故选：C．
5、（2022秋 西湖区期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠1＝40°，则∠AOC＝（　　）
A．50° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝40°，
∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×40°＝80°；故选：B．
6、（2022秋 祁阳县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝8，则△ABC的周长为（　　）
A．8 B．10 C．18 D．20
解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．
∴MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，
∵△ADC的周长为10，∴AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC＝10，
∵AB＝8，∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝10+8＝18．
故选：C．
7、（2021 越秀区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，连接AD，AD将∠CAB分成两个角，且∠CAD：∠BAD＝2：5，则∠ADC的度数是（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【解答】解：设∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，
∵AB的垂直平分线是DE，∴BD＝AD，∴∠BAD＝∠B，即∠B＝5x°，
∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴2x+5x+5x＝90，解得：x=，即∠B＝∠BAD＝（）°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（）°+（）°＝75°，故选：B．
8、（2021春 乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，∴AC＝14，故选：B．
二、填空题
9、如图，点为边上一点，且，则点在线段 的垂直平分线上.
【答案】AC
10、如图，是线段的垂直平分线，若，，则四边形的周长是______．
【答案】7.8
【解析】解：∵CD垂直平分线段BA
∴AD＝DB＝2.3，BC＝AC＝1.6
∴四边形ABCD的周长＝AD＋DB＋BC＋CA＝7.8cm．
故答案为：7.8．
11、（2022·广西·藤县教学研究室一模）如图，在Rt△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点D， 交BC于点E，∠BAE＝20°，则∠DCE的度数是为_____．
【答案】35°
【详解】在Rt△ABC中，，，
，，
AC的垂直平分线DE交AC于点D，，，故答案为：35°．
12、（2021春 莱阳市期末）如图，△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D，交AC于点F，交BC的延长线于点E，若BF＝6，CF＝2，则AC的长为 　 　．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，BF＝6，∴AF＝BF＝6，
∵CF＝2，∴AC＝AF+CF＝6+2＝8，故答案为：8．
13、（2021·江苏无锡·八年级期中）如图，在△ABC中，BC＝8，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长为18，则AC的长为___________．
【答案】10
解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，
∵△BCE的周长为18，∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=18，
∵BC=8，∴AC=10，故答案为：10．
14、（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，线段CD与线段BE互相垂直平分，，，则______．
【答案】72°
【详解】解：∵线段CD与线段BE互相垂直平分，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，即：，
∵线段CD与线段BE互相垂直平分，∴AC=AD，∴，
∴．故答案为：72°．
15、（2022·广西·环江毛南族自治县教研室八年级期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=5，AC=4，BC=6，则△APC周长的最小值是________．
解：直线m与AB的交点为P，
∵直线m是BC边的垂直平分线， ∴BP=CP，∴AP+PC=BP+AP=AB，此时AP+PC值最小，
∴△APC的周长=AP+PC+AC=AB+AC，此时△APC的周长有最小值为AB+AC，
∵AB=5，AC=4，∴△APC周长的最小值为9，故答案为：9．
16、如图，△ABC中∠BAC＝60°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，连接C′D与C′C，∠ACB的角平分线交AD于点E；如果BC′＝DC′；那么下列结论：①∠1＝∠2；②AD垂直平分C′C；
③∠B＝3∠BCC′；④DC'∥EC；其中正确的是：________；(只填写序号)
【答案】①②④
【解析】解：如图，∵△ACD沿AD折叠，使得点C落在AB上的点C′处，
∴∠1=∠2，A=AC，DC=D，∴AD垂直平分C′C；∴①，②都正确；
∵B＝D， DC=D，
∴B＝D= DC，∴∠3=∠B，∠4=∠5，
∴∠3=∠4+∠5=2∠5即∠B＝2∠BC；∴③错误；
根据折叠的性质，得∠ACD=∠AD=∠B+∠3=2∠3，
∵∠ACB的角平分线交AD于点E，∴2（∠6+∠5）=2∠B，
∴ ∴D ∥EC∴④正确；
故答案为：①②④.
三、解答题
17、（2021春 长安区期末）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学，要在公路旁修建一个车站P，使车站到两所大学的距离相等．
（1）请用尺规在图上找出点P；
（2）请说明你作图的依据．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴PA＝PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）．
18、（2022秋 武城县期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝120°，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E．
（1）作出边AC的垂直平分线DE；
（2）当AE＝BC时，求∠A的度数．
【解答】解：（1）如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；
（2）如图，连接CE，
∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，
∵AE＝BC，∴CE＝BC，∴∠B＝∠CEB，
设∠A＝x，则∠CEB＝∠A+∠ACE＝x+x＝2x，
在△BCE中，∠BCE＝180°﹣2×2x＝180°﹣4x，
∴∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝x+180°﹣4x＝120°，解得x＝20°，即∠A＝20°．
19、（2021 碑林区校级模拟）尺规作图：如图，已知△ABC．请在AC边上找一点D，使△ABD的周长等于AB+AC．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：如图，点D即为所求作．
20、（2021·广西·柳城县教育局教研室一模）如图，在Rt△ABC中，AC＜BC，∠C＝90°．
(1)在BC上求作点D，使点D到A，B两点的距离相等（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接AD，过点B作AD的垂线BE，垂足为E，求证：BE＝AC．
【解析】(1)如图，点D即为所求；
(2)由（1）得，DA=DB，∴
∵ ∴ ∴
在和中， ∴≌；∴
21、（2021秋 仪征市月考）如图．AB＝AC，MB＝MC．求证：直线AM是线段BC的垂直平分线．
【分析】由AB＝AC，MB＝MC，根据线段垂直平分线的判定定理，可得点A在BC的垂直平分线上，点M在BC的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得直线AM是线段BC的垂直平分线．
【解答】证明：∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，
∵BM＝CM，∴点M在BC的垂直平分线上，
∴直线AM是BC的垂直平分线．
22、（2021 沭阳县校级开学）如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．
【解答】证明：连接PQ，
在△BQP和△CRQ中，, ∴△BQP≌△CRQ，
∴QP＝QR，∴点Q在PR的垂直平分线上．
23、（2020秋 渑池县期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为　 　．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，
故答案为：AD＝BD；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+AE＝6，∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，OA＝OC，∴OB＝OC，
∵△OBC的周长为16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．
24、（2021春 平顶山期中）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线DN交BC于点D，交AB于点N，DF⊥AC于点F，交AE于点M．求证：
（1）AE＝DE；
（2）EM＝EC．
【解答】证明：（1）∵DN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝22.5°，∴∠ADE＝∠DAB+∠B＝45°，
∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∴AE＝DE；
（2）∵DF⊥AC，AE⊥BC，∴∠MDE＝∠CAE，
在△MDE和△CAE中，∴△MDE≌△CAE（ASA），∴EM＝EC．
25、（2022秋 鄂托克旗期中）如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，交AB于E、交AC于D，连接BD．
（1）若∠ABC＝∠C，∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（2）若AB＝AC，且△BCD的周长为18cm，△ABC的周长为30cm，求BE的长．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝∠C，∠A＝40°，∴∠ABC＝（180°﹣40°）÷2＝70°．
∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
（2）∵DE是边AB的垂直平分线，∴AD＝DB，AE＝BE，
∵△BCD的周长为18cm，∴AC+BC＝AD+DC+BC＝DB+DC+BC＝18cm．
∵△ABC的周长为30cm，∴AB＝30﹣（AC+BC）＝30﹣18＝12cm，∴BE＝12÷2＝6cm．
26、（2022秋 庐阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，斜边AB的垂直平分线交AC于点D，点F在AC上，点E在BC的延长线上，CE＝CF，连接BF，DE．线段DE和BF在数量和位置上有什么关系？并说明理由．
【解答】解：DE＝BF，DE⊥BF．理由如下：
连接BD，延长BF交DE于点G．
∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝22.5°．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝22.5°，∴∠ABC＝67.5°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝45°，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BC＝DC．
在△ECD和△FCB中，，∴Rt△ECD≌Rt△FCB（SAS），
∴DE＝BF，∠CED＝∠CFB．
∵∠CFB+∠CBF＝90°，∴∠CED+∠CBF＝90°，∴∠EGB＝90°，即DE⊥BF．
27、（2022 阜宁县校级月考）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC＝10，求△ADE的周长；
（2）设直线DM、EN交于点O．
①试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由；
②若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数．
【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE， C△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10；
（2）①如图，点O在BC的垂直平分线上，
理由：连接AO，BO，CO，
∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线，∴AO＝BO，OA＝OC，
∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上；
②∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO＝∠ANO＝90°，
∵∠BAC＝100°，∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣100°＝80°，
∴∠BOC＝2∠MON＝160°．