北师大版数学七年级上册1.3截一个几何体 专项练习 （含解析）

1.3 截一个几何体（专项练习）-北师大版数学七年级上册
一．选择题
1．将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m等于（　　）
A．16 B．18 C．26 D．32
2．用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（　　）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
3．如图，用一个平面去截正方体，截掉了正方形的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，剩下几何体的展开图应该是（　　）
A． B．
C． D．
4．用一个平面去截下列图形：①圆锥；②圆柱；③正方体；④五棱柱，能得到截面是长方形的几何体是（　　）
A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
．一个横截面为正方形的长方体，如果沿平行于横截面的方向截去长为2cm的一段后，成为一个正方体，这时侧面积减少了64cm2，则原长方体的表面积是（　　）
A．384cm2 B．448cm2 C．512cm2 D．640cm2
．如图是一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方体的八个角，那么新的几何体的棱有（　　）
A．26条 B．30条 C．36条 D．42条
．用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，则留下的较大的一块几何体一定有（　　）
A．7个面 B．15条棱 C．7个顶点 D．10个顶点
．用一个平面去截一个正方体，图中画有阴影的部分是截面，哪个画法是错误的（　　）
A． B． C． D．
．用一个平面去截下面几个几何体，截面不可能有圆的是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱柱 D．球
．用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列的选项中正确的是（　　）
A．a＝3，b＝6 B．a＝2，b＝5 C．a＝3，b＝5 D．a＝4，b＝6
二．填空题
．用一个平面去截一个八棱柱，截面最多可能是　 　边形．
．用一个平面截一个圆柱，如果能得到一个截面是正方形，那么圆柱的底面直径d与圆柱的高h之间的关系　 　．
．要锻造一件长100mm，宽60mm，高25mm的长方体毛坯刚需要横截面积为50×50mm2的方钢长度为　 　mm．
．把一个长方体切去一个角后，剩下的几何体的顶点个数为　 　．
．用一根长28分米的木条截开后刚好能搭一个长方体的架子，这个长方体的长、宽、高的长度都是整数分米，且都不相等，那么这个长方体的体积等于　 　立方分米．
三．解答题
．一个圆柱体，如果把它的高截短3分米，它的表面积就减少18.84平方分米，这个圆柱的体积减少了多少立方分米？要把截下的高3分米的圆柱部分漆上油漆，要漆多少平方分米？
．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求填写表格：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 　 　 　 　 　 　
图2 　 　 　 　 　 　
图3 　 　 　 　 　 　
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
18．如图，有一个立方体，它的表面涂满了红色，在它每个面上切两刀，得到27个小立方体，而且凡是切面都是白色．问：
（1）小立方体中三面红的有几块？两面红的呢？一面红的呢？没有红色的面呢？
（2）如果每面切三刀，情况又怎样呢？
（3）每面切n刀呢？
19．如图，长方形ABCD的长AB为8cm，宽AD为6cm，把长方形ABCD绕一条边所在的直线旋转一周，然后用平面沿与AB垂直的方向去截所得的几何体，求截面的最大面积（结果保留π）．
20．如图1，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为S，图2中几何体的表面积为S′，那么S′与S的大小关系是（　　）
A、S′＞S B、S′＝S C、S′＜S D、不确定
（2）小明说：“设图1中大正方体各棱的长度之和为c，图2中几何体各棱的长度之和为c′，那么c′比c正好多出大正方体3条棱的长度．”若设大正方体的棱长为1，小正方体的棱长为x，请问x为何值时，小明的说法才正确？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图3是图2中几何体的表面展开图吗？如有错误，请在图3中修正．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m等于（　　）
A．16 B．18 C．26 D．32
【解答】解：将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，则
只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6（m﹣2）2，
恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12（m﹣2），
∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，
∴6（m﹣2）2＝12×12（m﹣2），
解得m1＝26，m2＝2（舍去），
故选：C．
2．用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（　　）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
【解答】解：正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形．
故选：B．
3．如图，用一个平面去截正方体，截掉了正方形的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，剩下几何体的展开图应该是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．
故选：B．
4．用一个平面去截下列图形：①圆锥；②圆柱；③正方体；④五棱柱，能得到截面是长方形的几何体是（　　）
A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【解答】解：圆锥是由一个平面和一个曲面，截面最多由三条边，截面不可能是长方形；
圆柱，如果，那么截面是长方形；
正方体与上下面垂直截面是长方形；
五棱柱截面可能是长方形．
故选：C．
．一个横截面为正方形的长方体，如果沿平行于横截面的方向截去长为2cm的一段后，成为一个正方体，这时侧面积减少了64cm2，则原长方体的表面积是（　　）
A．384cm2 B．448cm2 C．512cm2 D．640cm2
【解答】解：64÷4÷2＝8（cm）
8×8×6+64
＝384+64
＝448（cm2）
答：原来长方体的表面积是448cm2．
故选：B．
．如图是一个长方体截去两个角后的立体图形，如果照这样截去长方体的八个角，那么新的几何体的棱有（　　）
A．26条 B．30条 C．36条 D．42条
【解答】解：∵一个长方体有4+4+4＝12条棱，
一个角上裁出3条棱，即8个角共3×8条棱，
∴12+3×8＝36，
故选：C．
．用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，则留下的较大的一块几何体一定有（　　）
A．7个面 B．15条棱 C．7个顶点 D．10个顶点
【解答】解：用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，此时剩下的较大的几何体一定比正方体多了一个面；
如果过三个面截得的截面是三角形，那么就能多出3条棱和两个顶点；
如果过两个顶点截得的截面是三角形，那么就能多出0条棱和2个顶点．
故选：A．
．用一个平面去截一个正方体，图中画有阴影的部分是截面，哪个画法是错误的（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．
因此A是错误的，故选A．
．用一个平面去截下面几个几何体，截面不可能有圆的是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．棱柱 D．球
【解答】解：用一个平面去截几何体，圆锥，圆柱，球的截面都可能是圆，棱柱的截面只可能是多边形，不可能是圆，
故选：C．
．用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是a条，最多是b条，下列的选项中正确的是（　　）
A．a＝3，b＝6 B．a＝2，b＝5 C．a＝3，b＝5 D．a＝4，b＝6
【解答】解：用一个平面去截一个三棱柱，所得截面的边数最少是3条，最多是5条，
所以，a＝3，b＝5，
故选：C．
二．填空题
．用一个平面去截一个八棱柱，截面最多可能是　十　边形．
【解答】解：用一个平面去截一个八棱柱，截面最多可能是十边形．
故答案为：十．
．用一个平面截一个圆柱，如果能得到一个截面是正方形，那么圆柱的底面直径d与圆柱的高h之间的关系　h≤d　．
【解答】解：用一个平面去截一个圆柱，如果能得到一个截面是正方形，那么圆柱的底面直径d与圆柱的高h之间的关系为h≤d．
故答案为：h≤d．
．要锻造一件长100mm，宽60mm，高25mm的长方体毛坯刚需要横截面积为50×50mm2的方钢长度为　60　mm．
【解答】解：设需要截面50×50mm2的方钢xmm，
由题意得：100×60×25＝50×50x，
解之得：x＝60，
答：需要截面50×50mm2的方钢60mm．
故答案是：60．
．把一个长方体切去一个角后，剩下的几何体的顶点个数为　7，8，9，10　．
【解答】解：把一个长方体切去一个角后，剩下的几何体的顶点个数为7，8，9，10，
故答案为：7，8，9，10
．用一根长28分米的木条截开后刚好能搭一个长方体的架子，这个长方体的长、宽、高的长度都是整数分米，且都不相等，那么这个长方体的体积等于　8　立方分米．
【解答】解：28÷4＝7（分米），
7＝4+2+1，
所以长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米，
体积：4×2×1＝8（立方分米）；
即：这个长方体体积是8立方米．
故答案为：8．
三．解答题
．一个圆柱体，如果把它的高截短3分米，它的表面积就减少18.84平方分米，这个圆柱的体积减少了多少立方分米？要把截下的高3分米的圆柱部分漆上油漆，要漆多少平方分米？
【解答】解：18.84÷3＝6.28（分米），
6.28÷3.14÷2＝1（分米），
3.14×12×3＝9.42（立方分米）；
3.14×12×2+18.84＝25.12（平方分米）．
答：这个圆柱的体积减少了9.42立方分米，要漆25.12平方分米．
．如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求填写表格：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 　7　 　9　 　14　
图2 　6　 　8　 　12　
图3 　7　 　10　 　15　
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
【解答】解：（1）题1，面数f＝7，顶点数v＝9，棱数e＝14，
题2，面数f＝6，顶点数v＝8，棱数e＝12，
题3，面数f＝7，顶点数v＝10，棱数e＝15，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．
（2）f+v﹣e＝2．
（3）∵v＝2018，e＝4036，f+v﹣e＝2
∴f+2018﹣4036＝2，
f＝2020，
即它的面数是2020．
18．如图，有一个立方体，它的表面涂满了红色，在它每个面上切两刀，得到27个小立方体，而且凡是切面都是白色．问：
（1）小立方体中三面红的有几块？两面红的呢？一面红的呢？没有红色的面呢？
（2）如果每面切三刀，情况又怎样呢？
（3）每面切n刀呢？
【解答】解：（1）小立方体中三面红的有8块，两面红的12块，一面红的6块，没有红色的1块．
（2）如果每面切三刀，小立方体中三面红的有8块，两面红的24块，一面红的24块，没有红色的8块．
（3）每面切n刀，小立方体中三面红的有8块，两面红的6（2n﹣2）块，一面红的6（n﹣1）2块，没有红色的（n﹣1）3块．
19．如图，长方形ABCD的长AB为8cm，宽AD为6cm，把长方形ABCD绕一条边所在的直线旋转一周，然后用平面沿与AB垂直的方向去截所得的几何体，求截面的最大面积（结果保留π）．
【解答】解：由题意可得，把长方形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
圆柱的底面半径为6cm，高为8cm，
用平面沿与AB垂直的方向去截所得的几何体，截面是圆，
所以截面的最大面积为62×π＝36π（cm2）；
由题可得，把长方形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，
圆柱的底面半径为8cm，高为6cm，
用平面沿与AB垂直的方向去截所得的几何体，截面是长方形，
所以截面的最大面积为8×2×6＝96（cm2），
因为36π＞96，
所以截面的最大面积为36πcm2．
20．如图1，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体．
（1）设原大正方体的表面积为S，图2中几何体的表面积为S′，那么S′与S的大小关系是（　　）
A、S′＞S B、S′＝S C、S′＜S D、不确定
（2）小明说：“设图1中大正方体各棱的长度之和为c，图2中几何体各棱的长度之和为c′，那么c′比c正好多出大正方体3条棱的长度．”若设大正方体的棱长为1，小正方体的棱长为x，请问x为何值时，小明的说法才正确？
（3）如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图3是图2中几何体的表面展开图吗？如有错误，请在图3中修正．
【解答】解：（1）都等于原来正方体的面积，故选B；
（2）由题意得：6x＝3，
∴x＝，
所以x为时，小明的说法才正确；
（3）不正确．如图：．