北师大版数学七年级上册2.2数轴 知识点巩固（含解析）

2.2 数轴（知识点巩固）-北师大版数学七年级上册（含答案）
一．选择题
．已知数轴上的点A到原点的距离为3，那么数轴上到A点的距离是5的点所表示的数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
．数轴上表示数a和a+2的点到原点的距离相等，则a为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
．如图，边长为单位1的等边三角形，从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则点A表示的数是（　　）
A．1 B．4 C．2 D．3
．如图，数轴上点A对应的数是2，将点A沿数轴向左移动3个单位至点B，则点B对应的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．5
．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（　　）
A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜b＜﹣a C．a﹣b＞0 D．a+b＞0
．如图，直径为2个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是（　　）
A．1 B．2 C．π D．2π
．下列各图中，数轴画法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2020将与圆周上的哪个数字重合（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
．有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足﹣a＜b＜a，则b的值不可能是（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
．如图，数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，有下列结论：①a+b＞0；②abc＜0；③a﹣c＜0；④﹣1＜＜0，则其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
二．填空题
．M、N是数轴上的两个点，线段MN的长度为4，若点M表示的数为﹣2，则点N表示　 　．
．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当P到点A，B的距离之和为8时，则对应的数x的值为　 　．
．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，下列各式中：
①（a﹣1）（b﹣1）＞0；②（a﹣1）（b+1）＞0；③（a+1）（b+1）＞0．
其中，正确式子的序号是　 　．
．如图，在数轴上有A、B两点，点A、点B都在2的左边，小李在做作业时不小心在作业本上染了一滴墨水，已知点A表示的数为，那么点B表示的数为 　 　．
．如图，点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，线段AB的中点表示的数是 　 　，若点C是数轴上的一个动点，当2AC﹣BC＝10时，点C表示的数是 　 　．
三．解答题
．出租车司机小张某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：+12，﹣8，+10，﹣13，+10，﹣12，+6，﹣15，+11，﹣14．
（1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？
（2）若汽车耗油量为0.6升/千米，出车时，邮箱有油67.4升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．
．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 　 　；
（2）点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 　 　．
．我们知道，若有理数x1，x2表示在数轴上的点A1，A2，且x1＜x2，则点A1与点A2之间的距离为|x2﹣x1|＝x2﹣x1，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n．请解答下列问题：
（1）若点C在数轴上表示的数为﹣6.5，求m+n的值；
（2）若m+n＝8，请你直接写出点C表示的数为 　 　；
（3）若C在点A、B之间（不与点A、B重合），且m＝n，求点C表示的数．
．点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．
（1）如图①，若点C为线段AB的“雅点”，AC＝6（AC＜BC），则AB＝　 　；
（2）如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．（写出必要的推理步骤）
．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．
（1）求AB、AC的长；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．
请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．
参考答案与试题解析
一．选择题
．已知数轴上的点A到原点的距离为3，那么数轴上到A点的距离是5的点所表示的数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵数轴上的点A到原点的距离为3，
∴点A表示的数是3或﹣3，
分两种情况：
当点A表示的数为3时，
那么数轴上到A点的距离是5的点所表示的数为：8或﹣2，
当点A表示的数为﹣3时，
那么数轴上到A点的距离是5的点所表示的数为：2或﹣8，
综上所述，数轴上到A点的距离是5的点所表示的数有4个，
故选：D．
．数轴上表示数a和a+2的点到原点的距离相等，则a为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵a+a+2＝0，
∴a＝﹣1，
故选：A．
．如图，边长为单位1的等边三角形，从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点A，则点A表示的数是（　　）
A．1 B．4 C．2 D．3
【解答】解：由图可知，
∵等边三角形边长是1，
∴滚动一周长度是3，
∵初始位置时，等边三角形顶点A在原点，
∴滚动一周后顶点A表示的数是3．
故选：D．
．如图，数轴上点A对应的数是2，将点A沿数轴向左移动3个单位至点B，则点B对应的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．5
【解答】解：∵点A表示的数为2，将点A向左移动三个单位，
∴2﹣3＝﹣1，
即点B表示的数为﹣1．
故选：A．
．有理数a、b在数轴上的对应位置如图所示，则下列四个选项正确的是（　　）
A．a＜b＜﹣b＜﹣a B．a＜﹣b＜b＜﹣a C．a﹣b＞0 D．a+b＞0
【解答】解：由图象可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a＜﹣b＜b＜﹣a．
故选：B．
．如图，直径为2个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点A，则点A表示的数是（　　）
A．1 B．2 C．π D．2π
【解答】解：圆旋转一周，周长为2π，
∴点A所表示的数为0+2π＝2π．
故选：D．
．下列各图中，数轴画法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴．
∵A选项缺少正方向，
∴A选项不正确．
∵B选项缺少原点，
∴B选项不正确．
∵C选项的单位长度不同，
∴C选项不正确．
∵D选项符合数轴的定义，
∴D选项正确．
故选：D．
．如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2020将与圆周上的哪个数字重合（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由题意得：圆滚动一周，将沿着数轴滚动4个单位长度．
∵（2020﹣2）÷4＝504…2，
∴数轴上的数﹣2020将与圆周上的2重合．
故选：C．
．有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足﹣a＜b＜a，则b的值不可能是（　　）
A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【解答】解：根据数轴上的位置得：2＜a＜3，
∴﹣3＜﹣a＜﹣2，
∵﹣a＜b＜a，
则b的值不可能为﹣3．
故选：D．
．如图，数轴上点A，B，C分别表示数a，b，c，有下列结论：①a+b＞0；②abc＜0；③a﹣c＜0；④﹣1＜＜0，则其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④
【解答】解：①∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，
∴①错误；
②∵b＜0＜a＜c，
∴abc＜0，
∴②正确；
③∵b＜0＜a＜c，
∴a﹣c＜0，
∴③正确；
④∵b＜0＜a，|a|＜|b|，
∴﹣1＜＜0，
∴④正确．
∴正确的有②③④．
故选：C．
二．填空题
．M、N是数轴上的两个点，线段MN的长度为4，若点M表示的数为﹣2，则点N表示　﹣6或2　．
【解答】解：设N点表示的数为m．
由题意：|m+2|＝4，
解得：m＝﹣6或2，
故答案为﹣6或2．
．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当P到点A，B的距离之和为8时，则对应的数x的值为　﹣3或5　．
【解答】解：由题意得，
|x+1|+|x﹣3|＝8，
①当点P在点A的左侧时，即x＜﹣1时，方程可变为：
﹣x﹣1﹣x+3＝8，
解得，x＝﹣3，
②当点P在点A、B之间，即﹣1＜x＜3时，方程可变为：
﹣x﹣1+x﹣3＝8，此方程无解，
③当点P在点B的右侧时，即x＞3时，方程可变为：
x+1+x﹣3＝8，
解得，x＝5，
因此x的值为﹣3或5，
故答案为：﹣3或5．
．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，下列各式中：
①（a﹣1）（b﹣1）＞0；②（a﹣1）（b+1）＞0；③（a+1）（b+1）＞0．
其中，正确式子的序号是　①②　．
【解答】解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0．
∵b＜1，
∴b﹣1＜0．
∴（a﹣1）（b﹣1）＞0．
∴①正确，故①符合题意．
∵b＜﹣1，
∴b﹣（﹣1）＜0．即b+1＜0，
∴（a﹣1）（b+1）＞0．
∴②正确，故②符合题意．
∵a＞0，
∴a+1＞0，
又∵b＜﹣1，
∴b+1＜0，
∴（a+1）（b+1）＜0．
∴③错误．故③不合题意．
．如图，在数轴上有A、B两点，点A、点B都在2的左边，小李在做作业时不小心在作业本上染了一滴墨水，已知点A表示的数为，那么点B表示的数为 　　．
【解答】解：∵点A表示的数为，
∴2﹣＝，
∴点A与2之间的距离为：，
∵÷4＝，
∴每一份的单位长度为：，
∴﹣×2＝，
∴点B表示的数为：，
故答案为：．
．如图，点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，线段AB的中点表示的数是 　4　，若点C是数轴上的一个动点，当2AC﹣BC＝10时，点C表示的数是 　﹣42或　．
【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，
∴线段AB的中点表示的数是：＝4，
设点C表示的数是x，
分三种情况：
当点C在点A的左侧，
∵2AC﹣BC＝10，
∴2（﹣8﹣x）﹣（16﹣x）＝10，
∴x＝﹣42，
∴点C表示的数是：﹣42，
当点C在AB之间，
∵2AC﹣BC＝10，
∴2[x﹣（﹣8）]﹣（16﹣x）＝10，
∴x＝，
∴点C表示的数是：，
当点C在点B的右侧，
∵AC﹣BC＝AB，
∴AC﹣BC＝16﹣（﹣8）＝24，
而已知2AC﹣BC＝10，
∴此种情况不存在．
综上所述：点C表示的数是：﹣42或，
故答案为：4；﹣42或．
三．解答题
．出租车司机小张某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：+12，﹣8，+10，﹣13，+10，﹣12，+6，﹣15，+11，﹣14．
（1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？
（2）若汽车耗油量为0.6升/千米，出车时，邮箱有油67.4升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由．
【解答】解：（1）（+12）+（﹣8）+（+10）+（﹣13）+（+10）+（﹣12）+（+6）+（﹣15）+（+11）+（﹣14）＝﹣13（千米）．
答：小张距上午出发点的距离是13千米，在出发点的南方；
（2）（12+8+10+13+10+12+6+15+11+14+13）×0.6＝74.4（升），
74.4﹣67.4＝7（升）
答：需要加油，要加7升油．
．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．
例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示的数4，下列各数，3，2，0所对应的点分别C1，C2，C3，其中是点A，B的“联盟点”的是 　C2或C3　；
（2）点A表示数﹣10，点B表示的数30，P在为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数为 　70或50或110　．
【解答】解：（1）点A所表示的数为﹣2，点B所表示的数是4，
当点C1所表示的数是3时，
AC1＝5，BC1＝1，所以C1不是点A、点B的“联盟点”，
当点C2所表示的数是2时，
AC2＝4，BC2＝2，由于AC2＝2BC2，所以C2是表示点A、点B的“联盟点”，
当点C3所表示的数是0时，
AC3＝2，BC3＝4，由于2AC3＝BC3，所以C3是表示点A、点B的“联盟点”，
故答案为：C2或C3；
（2）①设点P在数轴上所表示的数为x，
当点P在AB上时，若PA＝2PB，则x+10＝2（30﹣x），解得x＝，
若2PA＝PB时，则2（x+10）30﹣x，解得x＝，
当点P在点A的左侧时，由2PA＝PB可得2（﹣10﹣x）＝30﹣x，解得x＝﹣50，
综上所述，点P表示的数为或或﹣50；
②若点P在点B的右侧，
当点A是点P，点B的“联盟点”时，有PA＝2AB，即x+10＝2×（30+10），
解得x＝70，
当点B是点A、点P的“联盟点”时，有AB＝2PB或2AB＝PB，
即30+10＝2（x﹣30）或2×（30+10）＝x﹣30，解得x＝50或x＝110；
当点P是点A、点B的“联盟点”时，有PA＝2PB，即x+10＝2×（x﹣30），
解得x＝70；
故答案为：70或50或110．
．我们知道，若有理数x1，x2表示在数轴上的点A1，A2，且x1＜x2，则点A1与点A2之间的距离为|x2﹣x1|＝x2﹣x1，现已知数轴上三点A、B、C，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为3，C与A的距离等于m，C与B的距离等于n．请解答下列问题：
（1）若点C在数轴上表示的数为﹣6.5，求m+n的值；
（2）若m+n＝8，请你直接写出点C表示的数为 　﹣4或4　；
（3）若C在点A、B之间（不与点A、B重合），且m＝n，求点C表示的数．
【解答】解：（1）由题意得：m＝﹣3﹣（﹣6.5）＝﹣3+6.5＝3.5，
n＝3﹣（﹣6.5）＝3+6.5＝9.5，
所以m+n＝3.5+9.5＝13；
（2）设点C表示的数为x，
分两种情况：
当点C在点A的左侧时，
∵m+n＝8，
∴﹣3﹣x+（3﹣x）＝8，
∴x＝﹣4，
当点C在点B的右侧时，
∵m+n＝8，
∴x﹣（﹣3）+（x﹣3）＝8，
∴x＝4，
故答案为：﹣4或4；
（3）设点C表示的数为y，
∵m＝n，
∴y﹣（﹣3）＝（3﹣y），
∴y＝﹣．
答：点C表示的数是﹣．
．点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“雅点”，线段AC、BC称作互为“雅点”伴侣线段．
（1）如图①，若点C为线段AB的“雅点”，AC＝6（AC＜BC），则AB＝　18　；
（2）如图②，数轴上有一点E表示的数为1，向右平移5个单位到达点F；若点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，请写出点G所表示的数．（写出必要的推理步骤）
【解答】解：（1）∵点C为线段AB的“雅点”，AC＝6（AC＜BC），
∴BC＝2AC，
∵AC＝6，
∴BC＝12，
∴AB＝AC+BC＝18，
故答案为：18；
（2）点G在射线EF上，且线段GF与以E、F、G中某两个点为端点的线段互为“雅点”伴侣线段，分以下四种情况：
①G在线段EF上，EG＝2FG，如答图1：
∵EG＝2FG，EG+FG＝5，
∴EG＝，
∵E表示的数为1，
∴G点表示的数为1+＝，
②G在线段EF上，且FG＝2EG，如答图2：
∵FG＝2EG，EG+FG＝5，
∴EG＝，
∵E表示的数为1，
∴G表示的数为1+＝，
③G在线段EF外，且EF＝2FG，如答图3：
∵EF＝2FG，EF＝5，
∴FG＝2.5，
∴G表示的数是1+5+2.5＝8.5，
④G在EF外，且FG＝2EF，如答图4：
∵FG＝2EF，EF＝5，
∴FG＝10，
∴G表示的数为1+5+10＝16，
综上所述，G表示的数为：或或8.5或16．
．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．
（1）求AB、AC的长；
（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．
请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若不变，请求其值；若变化，请说明理由并判断是否有最值，若有求其最值．
【解答】解：（1）∵数轴上点A，B，C表示得数为﹣2，0，6，
∴AB的长为2，AC的长为8；
（2）由数轴可知，B点在A点前方，相距2个单位，C点在B点前方，相距6个单位，
∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，
∴点A可表示的数为﹣2﹣2t，点B可表示的数为3t，点C可表示的数为6+4t，
∴BC＝6+4t﹣3t＝t+6，AB＝3t﹣（﹣2﹣2t）＝5t+2，
∴BC﹣AB＝t+6﹣（5t+2）＝4﹣4t，当且仅当t＝0时，有最值为4．