北师大版八年级数学上册2.6实数同步练习题 （含解析）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《2.6实数》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（　　）
A．a+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a+2＜b+2
2．如图，在数轴上表示的点可能是（　　）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
3．如图，一条长度为的线段OA绕着O点旋转一周，当OA与数轴重合时，A点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
4．定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为应数单位．规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（　　）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
5．下列数字当中，有理数的个数是（　　）个．
（每相邻的两个1之间0的个数依次增加1）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．下列运算正确的是（　　）
A．2÷（﹣6）﹣1＝﹣3 B．﹣3×20220＝﹣3
C． D．
7．﹣的倒数是（　　）
A． B． C． D．﹣
8．下列说法正确的是（　　）
A．无限小数是无理数 B．带根号的数是无理数
C．无理数是无限小数 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
9．对于数字﹣2+，下列说法中正确的是（　　）
A．它不能用数轴上的点表示出来
B．它比0小
C．它是一个无理数
D．它的相反数为2+
10．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的左侧），且AD＝AE，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
11．下列说法，正确的有（　　）
①一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；
②实数包括无理数和有理数；
③2的算术平方根是；
④无理数就是带根号的数；
⑤±2是8的立方根；
⑥＝1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．关于实数，下列说法错误的是（　　）
A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数
二．填空题
13．计算：+﹣|﹣4|＝　 　．
14．﹣的相反数为 　 　，|1﹣|＝　 　，绝对值为的数为 　 　．
15．按照如图所示的程序计算，如开始输入的m值为，则最后输出的结果是 　 　．
16．如图，数轴上点A表示数﹣1，点B表示数1，过数轴上的点B作BC垂直于数轴，若AC＝，以点A为圆心，AC为半径作圆交正半轴于点P，则点P所表示的数是 　 　．
三．解答题
17．已知实数a，b，c，d，e，且ab互为倒数，c，d互为相反数，e的绝对值为2，求 的值．
18．已知|3a+b|与 互为相反数，求4a+b的平方根．
19．（1）若一个数的平方根是2a+2和3a﹣7，求这个数．
（2）若与互为相反数，且a≠0，求的值．
20．把下列各数写入相应的括号中：﹣、、0.618、、、、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
（1）正实数：{　 　}；
（2）负实数：{　 　}；
（3）有理数：{　 　}；
（4）无理数：{　 　}．
21．已知2k﹣5与3k﹣10是同一个正数的平方根．
（1）求k的值；
（2）求这个正数的值．
22．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．
它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：i3＝i×i2＝﹣i．
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；
（3+i）（2+i）＝3×2+3i+2i+i2＝6+5i﹣1＝5+5i；
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
（1）填空：i4＝　 　，i2021＝　 　；
（2）求（2+i）2的值及它的共轭复数；
（3）已知（x+i）（2+i）＝y+3i（x，y为实数），求x2+y2（i2+i3+i4+…+i2022）的值．
23．阅读下列材料，完成相应的任务．
框中是小云同学的作业．
请把实数0，﹣π，﹣3，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）． 解：
老师看了后，找来小云．问道：“小云同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”
小云点点头．
老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”
任务：请你帮小云同学将上面的作业做完．
24．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B，点A所表示的数为，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值．
（2）求|1﹣m|+m+3的平方根．
25．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 　 　；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+d|与互为相反数，则3c﹣2d的平方根为 　 　．
26．如图，数轴上的三个点A，B，C分别表示实数a，b，c．
（1）如果点C是AB的中点，那么a，b，c之间的数量关系是 　 　；
（2）比较b﹣4与c+1的大小，并说明理由；
（3）化简：﹣|a﹣2|+|b+1|+|c|．
27．若实数a，b，c在数轴上所对应点分别为A，B，C，a为2的算术平方根，b＝3，C点与A点在B点的两侧，并且点A与点C到B点的距离相等．
（1）求数轴上AB两点之间的距离；
（2）求c点对应的数；
（3）a的整数部分为x，c的小数部分为y，求2x3+2y的值（结果保留带根号的形式）．
参考答案
一．选择题
1．解：根据数轴可知a＜0＜b，|a|＜|b|，
A：依题意a+b＞0，故结论错误；
B：依题意b﹣a＞0，故结论错误；
C：依题意2a＜2b，故结论错误；
D：依题意a+2＜b+2，故结论正确．
故选：D．
2．解：∵＜＜，
∴4＜＜5，
∵数轴上点M在4与5之间，
∴点M符合题意，
故选：C．
3．解：根据点O在﹣2位置，故当OA与数轴重合时，A点表示的数为：﹣2．
故选：D．
4．解：（3﹣mi）2＝9﹣6mi﹣m2，
∵复数（3﹣mi）2的虚部是12，
∴﹣6m＝12，
解得：m＝﹣2，
则实部为9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5．
故选：C．
5．解：0，，3.1415926是有理数，
有理数的个数是3个，
故选：B．
6．解：A、原式＝2÷（﹣）＝2×（﹣6）＝﹣12，不符合题意；
B、原式＝﹣3×1＝﹣3，符合题意；
C、原式＝3﹣2＝，不符合题意；
D、原式＝﹣3，不符合题意．
故选：B．
7．解：﹣的倒数是﹣＝﹣＝﹣，
故选：D．
8．解：∵无限不循环小数才是无理数，
∴A不合题意．
∵开方开不尽的数才是无理数，
∴B不合题意．
∵无限不循环小数是无理数，
∴C符合题意．
∵在空间，过一点可以作无数条直线与已知直线垂直，
∴D不合题意．
故选：C．
9．解：A、﹣2+是实数，因为数轴上的点与实数是一一对应的，所以能用数轴上的点表示出来，故A不符合题意；
B、＝2，﹣2+＞0，故B不符合题意；
C、因为是无理数，所以﹣2+也是无理数，故C符合题意；
D、﹣2+的相反数为2﹣，故D不符合题意．
故选：C．
10．解：∵正方形的面积为7，
∴正方形的边长为，
∴AE＝AD＝，
∴点E表示的数为1﹣．
故选：C．
11．解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故①不符合题意；
②实数包括无理数和有理数，故②符合题意；
③2的算术平方根是，故③符合题意；
④无理数是无限不循环小数，故④不符合题意；
⑤2是8的立方根，故⑤不符合题意；
⑥13＝1，故⑥不符合题意；
正确的有2个，
故选：B．
12．解：A、有理数与无理数统称实数，故A不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，故B不符合题意；
C、无理数就是无限不循环小数，故C不符合题意；
D、带根号的数不一定都是无理数，例如：是有理数，故D符合题意；
故选：D．
二．填空题
13．解：原式＝2+2﹣（4﹣）
＝2+2﹣4+
＝．
故答案为：．
14．解：﹣的相反数为：﹣，
|1﹣|＝﹣1，
绝对值为＝3的数为：±3．
故答案为：﹣；﹣1；±3．
15．解：把m＝代入程序得：
（+1）×（﹣1）
＝6﹣1
＝5＜12，
把m＝5代入得：
（5+1）×（5﹣1）
＝6×4
＝24＞12，
则最后输出的结果为24．
故答案为：24．
16．解：∵AP＝AC＝，
∴点P所表示的数是﹣1+．
故答案为：﹣1+．
三．解答题
17．解：由题意可得：ab＝1，c+d＝0，e＝±2，
（1）原式＝×1+﹣2
＝﹣2
＝﹣；
（2）原式＝×1++2
＝+2
＝，
综上所述：原式的值为﹣或．
18．解：∵|3a+b|与 互为相反数，且|3a+b|≥0，，
∴3a+b＝0，4b+12＝0，
解得a＝1，b＝﹣3，
∴4a+b＝4﹣3＝1，
∵1的平方根为±1，
∴4a+b的平方根为±1．
19．解：根据题意得2a+2+3a﹣7＝0，
解得a＝1．
则这个数是：（2a+2）2＝16；
（2）由与互为相反数得
（3a+5）+（﹣5b﹣5）＝0．
化简，得
3a＝5b．
两边都除以3b，得＝．
20．解：把下列各数写入相应的括号中：﹣、、0.618、、、、0、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
（1）正实数：{、、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）}；
（2）负实数：{﹣、}；
（3）有理数：{﹣、0.618、、、0}；
（4）无理数：{、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）}，
故答案为：（1）、0.618、、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）；
（2）﹣、；
（3）﹣、0.618、、、0；
（4）、、0.1212212221…（两个1之间依次增加一个2）．
21．解：（1）分两种情况：
当2k﹣5+3k﹣10＝0，
解得：k＝3，
当2k﹣5＝3k﹣10时，
解得：k＝5，
∴k的值为3或5；
（2）当k＝3时，（2k﹣5）2＝（6﹣5）2＝1，
当k＝5时，（2k﹣5）2＝（10﹣5）2＝25，
∴这个正数的值为1或25．
22．解：（1）i4
＝i2 i2
＝（﹣1）×（﹣1）
＝1，
i2021
＝i4×505+1
＝（i4）505 i
＝1 i
＝i，
故答案为：1，i；
（2）（2+i）2
＝4+4i+i2
＝4+4i﹣1
＝3+4i，
它的共轭复数是3﹣4i；
（3）∵（x+i）（2+i）＝y+3i，
∴2x+xi+2i﹣1＝y+3i，
∴2x﹣1+（x+2）i＝y+3i，
∴，
∴，
∴原式＝1+（i2+i3+i4+…+i2022）
∵i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0，2022÷4＝505……2，
∴原式＝1+i+i2+i3+i4+…+i2022﹣i
＝1+i﹣1﹣i
＝0．
23．解：∵一π与是无理数，且一π＜，
∴数轴上两个点中，左边的点表示数﹣π，右边点表示数，据此可以找出原点位置，
根据题意，在数轴上分别表示各数如下：
∴从小到大是：﹣π＜﹣3＜0＜2＜．
24．解：（1）∵AB＝2，
∴m﹣（﹣）＝2，
∴m＝2﹣，
（2）∵|1﹣m|+m+3
＝|1﹣（2﹣）|+2﹣+3
＝|﹣1+|+2﹣+3
＝﹣1+2﹣+3
＝4，
∴|1﹣m|+m+3的平方根是＝±2．
25．解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示﹣，
∴点B所表示的数为2﹣，
∴实数m的值为2﹣，
故答案为：2﹣；
（2）∵实数m的值为2﹣，
∴m+1＝3﹣＞0，
∴m﹣1＝2﹣﹣1＝1﹣＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝3﹣+﹣1＝2，
∴|m+1|+|m﹣1|的值为2；
（3）∵|2c+d|与互为相反数，
∴2c+d＝d+4＝0，
∴d＝﹣4，c＝2，
∴3c﹣2d＝14，
∴3c﹣2d的平方根为±，
故答案为：±．
26．解：（1）∵点C是AB的中点，
∴a﹣c＝c﹣b，即a+b＝2c，
故答案为：a+b＝2c；
（2）∵b＜﹣1，﹣1＜c＜0，
∴b﹣4＜﹣5，c+1＞0，
∴b﹣4＜c+1；
（3）由数轴得，a﹣2＜0，b+1＜0，c＜0，
所以原式＝a﹣2﹣b﹣1﹣c＝a﹣b﹣c﹣3．
27．解：（1）∵a为2的算术平方根，
∴a＝，
∵b＝3，
∴数轴上AB两点之间的距离为3﹣；
（2）设点A关于点B的对称点为点C，
则＝3，
解得m＝6﹣；
故C点所对应的数为：6﹣；
（3）∵1＜＜2，
∴a的整数部分为x＝1，4＜6﹣＜5，
所以6﹣的整数部分是4，小数部分y＝6﹣﹣4＝2﹣，
∴2x3+2y＝2×13+2×（2﹣）＝6﹣2．