二元一次方程与一次函数[上学期]

§7、6二元一次方程与一次函数（二）
重庆求精中学 李建国
【教学目标】
【知识目标】1、使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
3、能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式
【能力目标】通过学生的思考和操作,在力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.
【情感目标】通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强了新旧知识的联系,培养了学生的创新意识,激发了学生学习数学的兴趣.
【教学重点】1、二元一次方程和一次函数的关系
2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解
【教学难点】方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力
【教学过程】
1、创设情境，引入新课
师：在上一节课的学习中，我们知道二元一次方程与一次函数有着密切的联系（出示幻灯片1）。让我们先根据这个关系图谈谈二元一次方程与一次函数有哪些密切的关系？
生a：在这个关系图中可以看出：对于等式x+y=3来说，如果把字母x、y看作两个未知数的话，那么x+y=3就是一个二元一次方程；如果把x+y=3变形为y=3－x，此时把字母x、y看作两个变量的话，那么y=3－x就是一个一次函数。
师：回答得很好！
生b：通过关系图还可以看出：如果用二元一次方程x+y=3的解来建立坐标，在平面直角坐标系描出它的点来，那么这个点一定在一次函数y=3－x的图象上。并且由于二元一次方程x+y=3有无数多个解，以所有这些解为坐标描出的点组成的图象就是直线y=3－x。
生c：也可以这样来看：因为直线y=3－x上任意一点的坐标都满足其函数关系式，而如果把y=3－x理解为方程，那么说明此坐标适合相应的二元一次方程x+y=3。
师：你们的理解非常准确而深刻！能够把方程和函数有机的统一起来，这其中体现出的数形结合的思想正是我们学习数学最可贵的地方之一。那么方程组与一次函数又有怎样的联系？
生d：二元一次方程组如果从函数的角度来认识，可以看作是两条直线。
师：对！那么又如何理解方程组的解呢？
生d：方程组的解就是这两条直线的交点坐标。
师：这说明我们可以利用图象的交点坐标求方程组的解。也可以利用图象来确定这个方程组。（出示幻灯片2）请大家思考！
生e：因为点（0，1）和点（1，3）在直线l1上，所以可以确定l1的函数关系式为y=2x+1,又因为点（0，4）和点（1，3）在直线l2上，所以可以确定l2的函数关系式为y=－x+4, 根据二元一次方程和一次函数的关系可知：两直线l1、l2的交点坐标可以看作是方程组的解。
2、讲授新课
师：回答得真好！这说明我们可以利用方程与函数的关系来分析和思考一些实际问题。（出示幻灯片3）（类似教材第208页议一议）我们如何利用线段图或者函数图象来分析这个问题呢？
生f：这个问题可以用线段图来分析。在这个问题中，包含了三个条件：1、A、B两地的距离为150公理，甲从A地、乙从B地同时出发；2、1小时后乙距离A地120公理，这说明乙的速度为每小时30公理；3、2小时后甲距离A地40公理，这说明甲的速度为20公理。当他们相遇时，则他们所走的路程和为150公理。我们可设经过x小时两人相遇，得到方程30x+20x=150,解得x=3，所以他们将在3小时后相遇。
师：分析很透彻，利用线段图分析行程问题是个不错的方法。可以很快找到其中的等量关系，从而建立方程。还有其它的方法吗？
生g：我是利用图象来分析的，因为已知他们各自到A地的距离s都是骑车时间t的一次函数，所以可以通过平面直角坐标系作出他们的图象，确定出他们的交点，这个交点表明某个时刻他们距离A地一样远，说明此时他们会相遇。所以我们只需作出图象得到它们的交点坐标就能知道甲乙两人的相遇时间。
师：大家同意他的看法吗？
生齐声：同意
师：这位同学的方法很独特，那又怎样得到这两条直线呢？
生h：由于一次函数的图象是一条直线，所以我们可以找到两点来确定这条直线。首先乙从B地出发，说明当t=0时，s=150,得到点坐标（0，150）；其次乙1小时后距离A地120公理，说明当t=1时，s=120,又得到一个点坐标（1，120）。我们就可以作出乙的图象。同样的，甲从A地出发，说明t=0时，s=0,得到原点；其次甲2小时后距离甲地40公理，说明当t=2时，s=40,又可以得到一个点坐标（2，40）,这样我们就可以作出甲的图象。
师：精彩！利用图象来解决这个实际问题真巧妙！这样我们就可以很直观地获得问题的结果了，但是，需要提醒大家注意的是，由于作图象会产生误差，所以往往会造成得到的交点坐标不一定准确！而是一个近似值。如果想获得一个准确值，该怎么办呢？
生i:可以把这两条直线的函数关系式求出来，然后根据一次函数的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解这个关系，联立这两个表达式，求解方程组就行了。
师：这位同学帮我们找到了准确得到交点坐标的方法，谢谢你！（掌声）
师：请大家利用这个方法做一做！亲自体验一下。
师：大家得到的交点坐标是.......
生齐声：（3，60）
师：在这个问题的讨论中，我们有哪些收获？
生j：对现实生活中的实际问题，我们可以利用方程的知识来解决问题，也可以利用函数的知识来解决问题。
师：这说明方程和函数是两种重要的数学模型，一般的，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。方程组是从“数”的角度来研究问题，一次函数更多的是从“形”的角度来研究问题。而我们在研究问题时，往往是采取数形结合的办法来分析。这样既可以通过“形”很直观的分析问题，又可以利用“数”很准确的得到问题的答案。另一方面这也再次说明方程组与一次函数有着密切的联系。我们再来研究一个实际问题。
（出示幻灯片4，即教材210页例2）
生k：（阐述解题思路及过程）
师：我们再来完成P211随堂练习2。
生l：上台板书解题过程并讲解。
师：通过以上问题，我们近一步清楚了二元一次方程组与一次函数的关系。同学们有哪些感受和大家分享？
生：通过这一节课的学习，使我们清楚看到一次函数在解决实际问题的优越性，但在确定一次函数表达式时，又要借助方程组来确定。所以方程组和函数都是最基本的数学模型，他们之间互相联系，我们在解决实际问题时，应根据具体情况灵活的、有机的把这些数学模型结合起来使用。
师：对！本节课从二元一次方程组与一次函数的关系谈起，得出利用函数图象解决二元一次方程组的具体方法及步骤，并通过两个实例让我们看到方程与函数这两个不同数学模型间的联系。这为我们以后解决实际问题提供了更大的便利。