2.2 基本不等式同步卷-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

2.2 基本不等式同步卷
一、单选题
1．已知，用基本不等式求的最小值时，有，则取得最小值时的值为（ ）
A． B． C． D．3
2．若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．设，其中、是正实数，且，，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．设，，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，给出以下不等式：①；②；③，则其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知，则的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
7．当时，函数的最小值为（ ）
A． B．
C． D．4
8．若实数满足：，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
10．函数的值域（ ）
A． B． C． D．
11．设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（ ）
A．（38－3 m3 B．16 m3 C．4 m3 D．14 m3
12．若，，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若正数满足，则的最大值为______．
14．若实数，满足，则的取值范围为______．
15．已知，则与的比较______．
16．实数满足，则的最大值为___________.
17．当时，函数的最小值为___________．
18．已知正实数a，b，满足，则的最大值为___．
19．已知，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围______．
20．当时，的最大值为 __．
三、解答题
21．已知a，b，c均为正实数，求证：
(1)；
(2)．
22．若正数，，满足．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
23．若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围．
24．已知，，且.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)证明：.
25．已知函数.
(1)当，求函数的值域；
(2)当时，是否存在实数a，使的图象都在函数的图象的下方？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由.
1．C
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，即取得最小值．
故选：C
2．C
【详解】对于A，若，则满足，且，而，所以A错误，
对于B，若，则满足，且，而，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以C正确，
对于D，若，则满足，且，而，所以D错误，
故选：C
3．B
【详解】因为、是正实数，且，则，
，因此，.
故选：B.
4．D
【详解】对于A，，，由均值不等式，，当且仅当，即时取“”，A错误；
对于B，，所以，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，由，，，得，当且仅当时，取“”，D正确.
故选：D
5．B
【详解】对于①：因为，所以，所以，即.故①正确；
对于②：取满足，但是，所以不一定成立.
故②错误；
对于③：取满足，但是，，此时，所以不一定成立.故③错误.
故选：B
6．A
【详解】因为，
所以可得，
则，
当且仅当，即时，上式取得等号，
的最大值为2．
故选：A．
7．B
【详解】因为，所以，当且仅当 ，即时，等号成立．
故选：B．
8．A
【详解】因为，所以，
由基本不等式可得，
故，解得或（舍），即
当且仅当时等号成立，
故的最小值为1，
故选：A.
9．B
【详解】解：根据 ，当且仅当时，取等号，
化简可得，
因为，所以，，
所以运用，
可得，当且仅当，即时，取等号，
又因为恒成立，
所以，
即k的最大值是4．
故选：B．
10．D
【详解】解：令，所以，
因为对勾函数在上单调递减，且没有最大值，
所以
所以，
故选：D
11．B
【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，
∴，
即，
解得，
∴．
∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．
∴车厢容积的最大值为．选B．
12．D
【详解】由，，且，可得，
当且仅当时，等号成立，
对于A中，由，所以A错误；
对于B中，，所以B错误；
对于C中，由，可得，所以C错误；
对于D中，，所以，
所以，所以D正确.
故选：D.
13．
【详解】正数满足，，解得，
，
当且仅当时，即等号成立，的最大值为．
故答案为：
14．
【详解】由于，(当且仅当时取等号)，
∴，又，
所以，
故，即的取值范围为.
故答案为：．
15．
【详解】因为，
可得，
且，当且仅当时，等号成立，
所以，可得，
所以.
故答案为：
16．
【详解】因为实数满足，
所以由基本不等式可得：（当且仅当，即时等号成立），
所以.
即的最大值为.
故答案为：.
17．
【详解】因为，则，则，
当且仅当时，等号成立，
所以，当时，函数的最小值为.
故答案为：.
18．
【详解】解：因为正实数，，满足，
则，
因为，，，
所以，当且仅当时取等号，
令，，
则原式
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，
故答案为：.
19．
【详解】因为，且，
所以，当且仅当时等号成立，
又不等式恒成立，所以，即，解得．
故答案为：.
20．或0.75
【详解】当时，
，
当且仅当x，即x＝2时等号成立.
即的最大值为．
故答案为：．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将左边变形为，然后利用基本不等式可证得结论，
（2）利用可证得，同理可得，，3个式相加可证得结论.
（1）
证明：左边，
当且仅当时取“＝”．
故．
（2）
证明：因为，当且仅当时取“＝”，
所以，
所以，所以，①
同理，当且仅当时取取“＝”，②
，当且仅当时取“＝”．③
①+②+③，得，
当且仅当时等号成立．
22．(1)
(2)
【分析】（1）对直接利用基本不等式，即可得出的最大值；
（2）将看作一个整体，由，展开后，再利用基本不等式，即可得出答案.
（1）
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以当，时，．
（2）
，
当且仅当时等号成立，
∴当，时，．
23．
【详解】令
当时，
当时，
，当且仅当时等号成立
或
即或
或
或
综合得
因为不等式恒成立，
则
.
24．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）先通过基本不等式求出的最小值，进而解出不等式即可；
（2）先进行变形，然后通过基本不等式证得答案.
（1）
已知，，且.
则，
当且仅当时，取到最小值，所以，即，解得.
（2）
，当且仅当，即时，等号成立.所以.
25．(1)
(2)存在，
【分析】（1）对x分类讨论，利用基本不等式法求最值，即可得到值域；
（2）假设存在a符合题意，利用分离参数法和基本不等式即可求出a的范围.
(1)
当，函数的定义域为R.
若，则y=0；
若，函数，所以；
若，则，函数，所以，即；
综上所述：，即函数的值域为
(2)
假设存在实数a符合题意，即对任意实数，都有恒成立，
即对任意实数，
因为在时，，所以，
即存在实数满足题意.