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第10课时 一元二次方程的根
知识归纳
1.能够使一元二次方程两边相等的未知数的 叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根．
2.先根据实际问题确定一元二次方程中未知数的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得 ．
典例精讲
考点1：一元二次方程解的估算
例1．根据下列表格的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3
x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（ ）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：B．
1．根据下列表格的对应值：
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．1＜x＜1.1
C．1.1＜x＜1.2 D．﹣0.59＜x＜0.84
考点2：利用定义求一元二次方程系数的值
例2．若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为x＝0，则k的值是（ ）
A．7 B． C．4 D．﹣7
【解答】解：∵方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为0，
∴把x＝0代入此方程，有：﹣k﹣7＝0，∴k＝﹣7．故选D．
2．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
3．已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值．
考点3：利用整体思想求代数式的值
例3．关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是1，则2018﹣a﹣b的值是 2021 ．
【解答】解：把x＝1代入方程，得a+b+3＝0，即a+b＝﹣3．
∴2018﹣a﹣b＝2018﹣（a+b）＝2018﹣（﹣3）＝2021．故答案为：2021．
4．已知m是方程x2﹣2x﹣1010＝0的根，则代数式4m﹣2m2﹣1的值为（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣2022 D．2022
5．已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．
基础巩固
1．已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2017的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
2．已知a、b、c为互不相等的实数，则方程（a﹣b）x2+（c﹣b）x+c﹣a＝0必有一个根等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
3．若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．根据图中的程序，当输入一元二次方程x2﹣5x＝0的根x时，输出结果y的值为（ ）
A．﹣4或﹣1 B．﹣4 C．2 D．﹣4或1
5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一个根为x＝﹣1，则下列等式成立的是（ ）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．﹣a﹣b+c＝0 D．﹣a+b+c＝0
6．已知m是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的一个实数根，则m2+2m＝ ．
能力提升
7．若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，则P与Q的大小关系正确的是（ ）
A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．不确定
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中有a﹣b+c＝0，则该方程中必有一根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
9．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a+的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
10．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2﹣1999ax+1＝0（a≠0）是“月亮”方程，求的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．﹣2
11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是 ．
12．若a是方程x2+x﹣2021＝0的一个实数根，求2a2+2a+1的值．
素养拓展
13．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021的值为 ．
14．已知关于x的方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0的一个根与关于x的方程x2+2016x﹣m2+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值．
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第10课时 一元二次方程的根
知识归纳
1.能够使一元二次方程两边相等的未知数的 叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根．
2.先根据实际问题确定一元二次方程中未知数的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得 ．
典例精讲
考点1：一元二次方程解的估算
例1．根据下列表格的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3
x2+12x﹣15 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（ ）
A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．x＞1.3
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：B．
1．根据下列表格的对应值：
x ﹣1 1 1.1 1.2
x2+12x﹣15 ﹣26 ﹣2 ﹣0.59 0.84
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足（ ）
A．﹣1＜x＜1 B．1＜x＜1.1
C．1.1＜x＜1.2 D．﹣0.59＜x＜0.84
【解答】解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故选：C．
考点2：利用定义求一元二次方程系数的值
例2．若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为x＝0，则k的值是（ ）
A．7 B． C．4 D．﹣7
【解答】解：∵方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为0，
∴把x＝0代入此方程，有：﹣k﹣7＝0，∴k＝﹣7．故选D．
2．若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k为（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
【解答】解：把x＝0代入方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0得方程k2﹣1＝0，
解得k1＝1，k2＝﹣1，而k﹣1≠0，所以k＝﹣1．故选C．
3．已知x＝1是一元二次方程（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0的一个根，求a的值．
【解答】解：将x＝1代入（a﹣2）x2+（a2﹣3）x﹣a+1＝0，∴（a﹣2）+（a2﹣3）﹣a+1＝0
∴a﹣2+a2﹣3﹣a+1＝0 ∴a2﹣4＝0 ∴a＝±2
由于a﹣2≠0，故a＝﹣2
考点3：利用整体思想求代数式的值
例3．关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0的一个解是1，则2018﹣a﹣b的值是 2021 ．
【解答】解：把x＝1代入方程，得a+b+3＝0，即a+b＝﹣3．
∴2018﹣a﹣b＝2018﹣（a+b）＝2018﹣（﹣3）＝2021．故答案为：2021．
4．已知m是方程x2﹣2x﹣1010＝0的根，则代数式4m﹣2m2﹣1的值为（ ）
A．﹣2021 B．2021 C．﹣2022 D．2022
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1010＝0的一个根，∴m2﹣2m﹣1010＝0，
∴m2﹣2m＝1010，∴4m﹣2m2﹣1＝﹣2（m2﹣2）﹣1＝﹣2×1010﹣1＝﹣2021，故选：A．
5．已知﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．
【解答】解：∵﹣1是方程x2+ax﹣b＝0的一个根，∴1﹣a﹣b＝0，∴a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b＝（a+b）（a﹣b）+2b＝a﹣b+2b＝a+b＝1．
基础巩固
1．已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2017的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根．
∴m2﹣2m﹣2＝0，即m2﹣2m＝2，
∴2m2﹣4m+2017＝2（m2﹣2m）+2017＝2×2+2017＝2021．故选：B．
2．已知a、b、c为互不相等的实数，则方程（a﹣b）x2+（c﹣b）x+c﹣a＝0必有一个根等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得：左边＝a﹣b+b﹣c+c﹣a＝0，右边＝0，
则方程总有一个根是﹣1．故选B．
3．若x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，则在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵x＝3是关于x的方程﹣3a＝0的一个根，∴﹣3a＝0，
解得：a＝2，∴一次函数y＝2x+2不经过第四象限，故选：D．
4．根据图中的程序，当输入一元二次方程x2﹣5x＝0的根x时，输出结果y的值为（ ）
A．﹣4或﹣1 B．﹣4 C．2 D．﹣4或1
【解答】解：∵x2﹣5x＝0，∴x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，∴x＝0或x＝5，
当x＝0时，∴y＝x﹣4＝﹣4，
当x＝5时，∴y＝﹣x+4＝﹣1，故选A．
5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一个根为x＝﹣1，则下列等式成立的是（ ）
A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．﹣a﹣b+c＝0 D．﹣a+b+c＝0
【解答】解：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得a﹣b+c＝0．故选：B．
6．已知m是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的一个实数根，则m2+2m＝ 7 ．
【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程x2+2x﹣7＝0的一个实数根，
∴m2+2m﹣7＝0，∴m2+2m＝7．故答案为7．
能力提升
7．若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，则P与Q的大小关系正确的是（ ）
A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．不确定
【解答】解：∵t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，∴at2+2t+c＝0，
∴c＝﹣at2﹣2t，∴P＝1﹣ac＝1﹣a（﹣at2﹣2t）＝a2t2+2at+1＝（at+1）2，
而Q＝（at+1）2，∴P＝Q．故选B．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中有a﹣b+c＝0，则该方程中必有一根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【解答】解：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中有a﹣b+c＝0，
∵当x＝﹣1时，a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0，即a﹣b+c＝0，
∴该方程中必有一个根是﹣1．故选：C．
9．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a+的值应在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣2a＝1，
∴2a2﹣4a+＝2（a2﹣2a）+＝2×1+＝2+．
∵4＜5＜9，∴2＜＜3．∴4＜2+＜5．
即代数式2a2﹣4a+的值应在4和5之间．故选：A．
10．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“月亮”方程．已知方程a2x2﹣1999ax+1＝0（a≠0）是“月亮”方程，求的值为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．﹣2
【解答】解：根据题意得“月亮”方程的一个解为x＝﹣1，
∵方程a2x2﹣1999ax+1＝0（a≠0）是“月亮”方程，∴a2+1999a+1＝0，
∴a2+1999a＝﹣1，a2+1＝﹣1999a，
∴＝﹣1+＝﹣1﹣1＝﹣2．故选：D．
11．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0有一个根是0，则k的值是 ﹣2 ．
【解答】解：∵方程（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0为一元二次方程，∴k﹣1≠0，∴k≠1．
将x＝0代入（k﹣1）x2+6x+k2+k﹣2＝0，得：k2+k﹣2＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝1．∵k≠1，∴k2＝1不合题意，舍去． 故答案为：﹣2．
12．若a是方程x2+x﹣2021＝0的一个实数根，求2a2+2a+1的值．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2021＝0的一个实数根，∴a2+a﹣2021＝0．
∴a2+a＝2021．∴2a2+2a+1＝2（a2+a）+1＝2×2021+1＝4043．
素养拓展
13．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021的值为 i ．
【解答】解：依题意有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝（﹣1） i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，
∵2021÷4＝505…1，∴原式＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i+1+i＝i．故答案为：i．
14．已知关于x的方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0的一个根与关于x的方程x2+2016x﹣m2+3m＝0的一个根互为相反数，求m的值．
【解答】解：设这两个方程的根分别为a和﹣a．
把x＝a代入方程x2﹣2016x+m2﹣3m＝0，得a2﹣2016a+m2﹣3m＝0； ①
再把x＝﹣a代入方程x2+2016x﹣m2+3m＝0，得a2﹣2016a﹣m2+3m＝0 ， ②
①﹣②消去a得：2m2﹣6m＝0，解得m＝3或m＝0．
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