2023年中考数学（苏科版）总复习二轮专题突破课件： 03 一次函数、反比例函数与几何图形的综合题(共75张PPT)

(共75张PPT)
●教材梳理 夯实基础
专题突破（三）
一次函数、反比例函数与几何图形的综合题
　一次函数、反比例函数与几何图形结合的题目属于坐标几何问题,它是将几何图形放到平面直角坐标系中,使图形与函数知识结合起来,使数与形有机统一起来,用函数方法去研究几何图形或利用几何特性确定点的坐标及函数解析式.例如,将一次函数或反比例函数图像与几何中的三角形、四边形、圆的性质有机结合,在知识运用上将解直角三角形、图形的变化、全等、相似等与代数计算融合在一起.

例1 如图Z3-1,直线y=x+3交x轴于点A,将一个等腰直角三角板的直角顶点置于原点O,它的另两个顶点M,N恰好落在直线y=x+3上,若点N在第二象限内,请求出
tan∠AON的值.
类型一
一次函数与几何图形的综合
图Z3-1
解:设直线y=x+3与y轴交于点B,过点O作OC⊥AB于点C,过点N作ND⊥OA于点D.∵点N在直线y=x+3上,
∴设点N的坐标是(n,n+3).则DN=n+3,OD=-n,
对于直线y=x+3,当x=0时,y=3;当y=0时,x=-4,
∴A(-4,0),B(0,3),∴OA=4,OB=3,
在Rt△AOB中,由勾股定理得AB=5,
在△AOB中,由三角形的面积公式得
AO×OB=AB×OC,∴4×3=5OC,OC=.
在等腰直角三角形NCO中,∠MNO=45°,
∵sin45°=,∴ON=OC=.
在Rt△NDO中,由勾股定理得ND2+DO2=ON2,
即(n+3)2+(-n)2=()2,解得n1=-,n2=,
∵点N在第二象限,∴n=-,n+3=,
即ND=,OD=,∴tan∠AON==.
【分层分析】
第一步,设点:过点N作ND⊥x轴于D,因为点N在直线y=x+3上,
故设点N坐标为(n,n+3),从而得出OD,ND的长度;第二步,作辅
助线:作OC⊥MN于C,在等腰直角三角形OCN中求出ON的长度;第三步,列方程:在Rt△ODN中利用勾股定理建立关于n的方程,进而求出点N的坐标,得到ND,OD的长,代入tan∠AON=求解即可.
|题型精练|
1.已知A点坐标为(,0),点B在直线y=-x上运动,当线段AB最短
时,B点坐标为　　　　.
(,-)
[解析]根据题意画出相应的图形,如图所示:
当AB⊥OB时,AB最短,此时过B作BD⊥x轴,交x轴于点D,
由直线y=-x为第二、四象限的角平分线,得到∠AOB=45°,
∵A(,0),即OA=,∠ABO=90°,∴△AOB为等腰直角三角形,
∵BD⊥OA,∴OD=AD,即BD为Rt△AOB
斜边上的中线,∴BD=OD=OA=,
∵B在第四象限,∴B的坐标为(,-).
2.如图Z3-2,直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于A,B两点,C是OB的中点,D是AB上一点,四边形OEDC是菱形,则△OAE的面积为　　　　.
图Z3-2
2
[解析]延长DE交OA于F,如图,当x=0时,y=-x+4=4,则B(0,4),
当y=0时,-x+4=0,解得x=4,则A(4,0),
在Rt△AOB中,tan∠OBA==,∴∠OBA=60°,
∵C是OB的中点,∴OC=CB=2,
∵四边形OEDC是菱形,∴CD=BC=DE=OE=2,CD∥OE,
∴△BCD为等边三角形,∴∠BCD=60°,∴∠COE=60°,
∴∠EOF=30°,∴EF=OE=1,∴△OAE的面积=×4×1=2.
3.如图Z3-3,一次函数y=-2x+4的图像与坐标轴分别交于A,B两点,将线段AB绕着点A顺时针旋转90°至线段AC,则过B,C两点的直线的解析式为　 　　　.
图Z3-3
y=-x+4
[解析] 在y=-2x+4中,令x=0,得y=4;令y=0,得x=2,∴OA=2,OB=4.过C点作CD⊥x轴于D,如图.
∵线段AB绕A点顺时针旋转90°,
∴AB=AC,∠BAC=90°,∴∠BAO+∠CAD=90°,
而∠BAO+∠ABO=90°,∴∠ABO=∠CAD.
在△ABO和△CAD中,
∴△ABO≌△CAD,∴AD=OB=4,CD=OA=2,
∴OD=OA+AD=2+4=6,∴C点坐标为(6,2),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
则解得:
则直线BC的解析式为y=-x+4.
4.[2022·南通]如图Z3-4,直线l1:y=x+3与过点A(3,0)的直线l2交于点C(1,m),与x轴交于点B.
(1)求直线l2的解析式;
(2)点M在直线l1上,MN∥y轴,交直线l2
于点N,若MN=AB,求点M的坐标.
图Z3-4
(1)求直线l2的解析式;
图Z3-4
解:(1)当x=1时,m=1+3=4,∴C(1,4),
设直线l2的解析式为y=kx+b,
将A(3,0),C(1,4)代入得
解得
∴直线l2的解析式为y=-2x+6.
(2)点M在直线l1上,MN∥y轴,交直线l2于点N,若MN=AB,求点M的坐标.
图Z3-4
解:(2)在y=x+3中,令y=0,得x=-3,
∴B(-3,0),∴AB=3-(-3)=6,
设M(a,a+3),
由MN∥y轴,得N(a,-2a+6),
∴MN=|a+3-(-2a+6)|=AB=6,
解得a=3或a=-1,∴M(3,6)或M(-1,2).
5.[2022·衡阳]如图Z3-5,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(3,4),
B(6,0),动点P,Q同时从点O出发,分别沿x轴正方向和y轴正方向运动,速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位,点P到达点B时点P,Q同时停止运动.过点Q作MN∥OB分
别交AO,AB于点M,N,连接PM,PN.设运动
时间为t(秒).
图Z3-5
(1)求点M的坐标(用含t的式子表示).
(2)求四边形MNBP面积的最大值或最小值.
(3)是否存在这样的直线l,总能平分四边形MNBP的面积 如果存在,请求出直线l的解析式;如果不存在,请说明理由.
(4)连接AP,当∠OAP=∠BPN时,求点N到OA的距离.

(1)求点M的坐标(用含t的式子表示).

解:(1)如图,过点A作x轴的垂线,交MN于点E,交OB于点F,
由题意得:OQ=2t,OP=3t,PB=6-3t,
∵O(0,0),A(3,4),B(6,0),
∴OF=FB=3,AF=4,OA=AB==5,
∵MN∥OB,∴∠OMQ=∠AOF,
∵∠OQM=∠OFA=90°,∴△OQM∽△AFO,
∴=,∴=,∴QM=t,∴点M的坐标是(t,2t).
(2)求四边形MNBP面积的最大值或最小值.
解:(2)易知四边形QEFO是矩形,
∴QE=OF,∴ME=OF-QM=3-t,
∵OA=AB,∴ME=NE,∴MN=2ME=6-3t,
∴S四边形MNBP=S△MNP+S△BNP=MN·OQ+BP·OQ=(6-3t)·2t+(6-3t)·2t=-6t2+12t=-6(t-1)2+6.
∵点P到达点B时,P,Q同时停止运动,∴0≤t≤2,
∴t=1时,四边形MNBP的最大面积为6.
(3)是否存在这样的直线l,总能平分四边形MNBP的面积 如果存在,请求出直线l的解析式;如果不存在,请说明理由.
解:(3)∵MN=6-3t,BP=6-3t,∴MN=BP,
∵MN∥BP,∴四边形MNBP是平行四边形,
∴平分四边形MNBP面积的直线经过四边形的中心,
即MB的中点,设中点为H(x,y),∵M(t,2t),B(6,0),
∴x=·(t+6)=t+3,y==t.
∴x=y+3,整理得:y=x-4,∴直线l的解析式为:y=x-4.
(4)连接AP,当∠OAP=∠BPN时,求点N到OA的距离.
解:(4)由上易知BN=OM=t.∵OA=AB,∴∠AOB=∠PBN,
又∵∠OAP=∠BPN,∴△AOP∽△PBN,
∴=,∴=,解得t=.
∵MN=6-3t,AE=AF-OQ,ME=3-t,
∴MN=6-3×=,AE=4-2×=,ME=3-=,
∴AM===.
设点N到OA的距离为h,∵S△AMN=·MN·AE=·AM·h,
∴=·h,解得h=.∴点N到OA的距离为.
6.如图Z3-6①,平面直角坐标系中,直线y=kx+b与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B,与直线y=2x交于点C(a,4).
图Z3-6
(1)求点C的坐标及直线AB的表达式;
(2)如图②,在(1)的条件下,过点E作直线l⊥x轴于点E,交直线y=2x于点F,交直线y=kx+b于点G,若点E的坐标是(4,0).
①求△CGF的面积.
②直线l上是否存在点P,使OP+BP的值最小 若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若(2)中的点E是x轴上的一个动点,点E的横坐标为m(m>0),当点E在x轴上运动时,探究下列问题:
①当m取何值时,直线l上存在点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形与△AOC全等 请直接写出相应的m的值.
②当△BFG是等腰三角形时直接写出m的值.
(1)求点C的坐标及直线AB的表达式;
图Z3-6
解:(1)将点C(a,4)的坐标代入y=2x,可得a=2,
∴C(2,4),
将C(2,4)和A(6,0)代入y=kx+b,可得
解得
∴直线AB的表达式为y=-x+6.
(2)如图②,在(1)的条件下,过点E作直线l⊥x轴于点E,交直线y=2x于点F,交直线y=kx+b于点G,若点E的坐标是(4,0).
①求△CGF的面积.
图Z3-6
解:(2)①如图,∵l⊥x轴,点E,F,G都在直线l上,且点E的坐标为(4,0),∴点F,G的横坐标均为4,
设点F(4,y1),G(4,y2),分别代入y=2x和y=-x+6,可得y1=8,y2=2,∴F(4,8),G(4,2),
∴FE=8,GE=2,FG=6,
过点C作CH⊥FG于H,∵C(2,4),∴CH=4-2=2,
∴S△FCG=FG×CH=×6×2=6.
(2)如图②,在(1)的条件下,过点E作直线l⊥x轴于点E,交直线y=2x于点F,交直线y=kx+b于点G,若点E的坐标是(4,0).
②直线l上是否存在点P,使OP+BP的值最小 若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.
解:②存在点P(4,3),
使得BP+OP的值最小.
图Z3-6
[解析] 设点O关于直线l的对称点为D(8,0),连接BD,
设直线BD的解析式为y=k1x+n,
将B(0,6),D(8,0)代入y=k1x+n,可得
解得
∴直线BD的解析式为y=-x+6,
点P在直线l:x=4上,令x=4,则y=3,∴P(4,3).
(3)若(2)中的点E是x轴上的一个动点,点E的横坐标为m(m>0),当点E在x轴上运动时,探究下列问题:
①当m取何值时,直线l上存在点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形与△AOC全等 请直接写出相应的m的值.
解:①m的值为2或6或8.　
图Z3-6
[解析] 如图.
(3)若(2)中的点E是x轴上的一个动点,点E的横坐标为m(m>0),当点E在x轴上运动时,探究下列问题:
②当△BFG是等腰三角形时直接写出m的值.
图Z3-6
解:②m的值为3或6或或.
[解析] 分四种情况讨论:
a.如图,当l在点C左侧,BG=GF时,m=-m+6-2m,解得
m=; b.如图,当BF=GF时,m=2m-(-m+6),解得m=3;
b.如图,当BF=GF时,m=2m-(-m+6),解得m=3;
c.如图,当l在点C右侧,GB=GF时,m=2m-(-m+6),解得m=;
d.如图,当BG=BF时,FG=BG,即2m-(-m+6)=m,解得m=6.
例2 如图Z3-7,点E,F在函数y=(x>0)的图像上,直线EF分别与x轴,y轴交于点A,B,且BE∶BF=1∶4,请求出△EOF的面积.
类型二
反比例函数与几何图形的综合
图Z3-7
解:如图所示,过点E作EP⊥y轴于点P,EC⊥x轴于点C,过点F作FD⊥x轴于点D,FH⊥y轴于点H.∵EP⊥y轴,FH⊥y轴,
∴EP∥FH,∴△BPE∽△BHF,∴==,即HF=4PE.
设点E坐标为(t,),则点F的坐标为(4t,),
∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF,
又S△OFD=S△OEC=1,
∴S△OEF=S梯形ECDF=(+)(4t-t)=.
【分层分析】
本题首先过点E作EP⊥y轴于点P,EC⊥x轴于点C,过点F作FD⊥x轴于点D,FH⊥y轴于点H,再证明△BPE∽△BHF,利用相似比可得HF=4PE,根据反比例函数图像上点的坐标特征,设点E的坐标为(t,),则可得点F的坐标,根据面积相等得出S△OEF=
S梯形ECDF,然后根据梯形面积公式计算即可.
|题型精练|
1.[2022·连云港]如图Z3-8,菱形ABCD的两个顶点B,D在反比例函数y=的图像上,对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O,已知点A(1,1),∠ABC=60°,则k的值是(　　)
A.-5 B.-4
C.-3 D.-2
图Z3-8
C
[解析]如图,过点B作BE⊥x轴于点E.∵A(1,1),
∴OA==,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC⊥BD,
∴∠ABO=30°,
在Rt△ABO中,OB===,
∵点A(1,1),∴点A,点C在第一、第三象限的角平分
线上,即∠COE=45°,∴∠BOE=45°,
在Rt△OBE中,OE=BE=OB·sin∠BOE==,
∴点B(-,).
∵点B在反比例函数y=的图像上,∴k=xy=-3,故选C.
2.[2022·常州]如图Z3-9,点D是 OABC内一点,CD与x轴平行,BD与y轴平行,BD=,∠ADB=135°,S△ABD=2.若反比例函数y=(x>0)的图像经过A,D两点,则k的值是 (　　)
A.2 B.4
C.3 D.6
图Z3-9
D
[解析]如图,过点D,点A分别作x轴,y轴的垂线,两条垂线相交于点E,过点A作AF⊥x轴于点F,由∠ADB=135°,可证△DEA为等腰直角三角形,因为S△ABD=BD·AE,所以2=·AE,AE=2,所以DE=AE=2,易证△CDB≌△OFA,所以
AF=,设A(,),所以D(-2,3),所以
(-2)×3=k,解得k=6.
3.[2022·扬州]如图Z3-10,点P是函数y=(k1>0,x>0)的图像上一点,过点P分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为点A,B,交函数
y=(k2>0,x>0)的图像于点C,D,连接OC,OD,CD,AB,其中k1>k2.下列结论:①CD∥AB;②S△OCD=;
③S△DCP=,其中正确的是 (　　)
A.①② B.①③
C.②③ D.①
图Z3-10
B
[解析]∵PB⊥y轴,PA⊥x轴,点P在y=的图像上,点C,D在y=的图像上,
设P(m,),则C(m,),A(m,0),B(0,),
令=,则x=,即D(,),
∴PC==,PD=m-=,
∵==,==,
即=,又∠DPC=∠BPA,∴△PDC∽△PBA,
∴∠PDC=∠PBA,∴CD∥AB,故①正确;
△PDC的面积=×PD×PC=,故③正确;
S△OCD=S四边形OAPB-S△OCA-S△OBD-S△DPC
=k1-k2-k2-=,故②错误.
4.[2022·南通]平面直角坐标系xOy中,直线y=2x与双曲线y=(k>2)相交于A,B两点,其中点A在第一象限,设M(m,2)为双曲线y=(k>2)上一点,直线AM,BM分别交y轴于C,D两点,则OC-OD的值为 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
B
[解析]直线y=2x与双曲线y=(k>2)相交于A,B两点,
∴A(,),B(-,-),m=.
过点M作ME⊥y轴于点G,分别过点A,点B作AF⊥ME于点F,
BE⊥ME于点E.
∴tan∠AMF===,tan∠BME===,
∴∠AMF=∠BME,∴∠MCD=∠MDC,
∴GC=GD,∴OC-OD=2OG=4.
5.[2022·苏州]如图Z3-11,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点C,A分别在x轴和y轴的正半轴上,点D为AB的中点.已知实数k≠0,一次函数y=-3x+k的图像经过点C,D,
反比例函数y=(x>0)的图像经过点B,求k的值.
图Z3-11
解:把y=0代入y=-3x+k,得x=,∴C(,0),
∵BC⊥x轴,∴点B的横坐标为,
把x=代入y=,得y=3,∴B(,3),
∵点D为AB的中点,∴AD=BD,∴D(,3),
∵点D在直线y=-3x+k上,∴3=(-3)×+k,∴k=6.
6.[2022·广元]如图Z3-12,直线y=kx+2与双曲线y=相交于点A,B,已知点A的横坐标为1.
(1)求直线y=kx+2的解析式及点B的坐标;
(2)以线段AB为斜边在直线AB的上方作等
腰直角三角形ABC,求经过点C的双曲线的
解析式.
图Z3-12
(1)求直线y=kx+2的解析式及点B的坐标;
图Z3-12
解:(1)∵点A在双曲线y=上,且点A的横坐标为1,
∴点A的纵坐标为=,∴点A(1,),
∵点A(1,)在直线y=kx+2上,∴k+2=,∴k=-,∴直线AB的解析式为y=-x+2,
联立直线AB和双曲线的解析式得,
解得(点A的坐标)或∴B(3,).
(2)以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC,求经过点C的双曲线的解析式.
图Z3-12
解:(2)如图,过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线,两线相交于点F,过点C作CD⊥AF,交AF于D,过点C作CE⊥BF于E,
∴∠D=∠F=∠CEF=∠CEB=90°,
∴四边形CDFE是矩形,∴∠DCE=90°,
∵∠ACB=90°,∴∠ACD=∠BCE,
∵以线段AB为斜边在直线AB的上方
作等腰直角三角形ABC,∴AC=BC,∴△ACD≌△BCE(AAS),∴AD=BE,CD=CE,
设点C(m,n),∵A(1,),B(3,),
∴AD=n-,CD=m-1,BE=3-m,CE=n-,
∴∴C(,2),
设过点C的双曲线的解析式为y=,
∴k'=2×=5,∴过点C的双曲线的解析式为y=.
7.[2022·连云港]如图Z3-13,在平面直角坐标系xOy中,函数y=-
x+b的图像与函数y=(x<0)的图像相交于点A(-1,6),并与x轴交
于点C.点D是线段AC上一点,△ODC与△OAC的面积比为2∶3.
(1)k=　　　　,b=　　　　;
(2)求点D的坐标;
(3)若将△ODC绕点O逆时针旋转,得到
△OD'C',其中点D’落在x轴负半轴上,判
断点C'是否落在函数y=(x<0)的图像上,并说明理由.
图Z3-13
(1)k=　　　　,b=　　　　;
图Z3-13
-6
5
[解析]将A(-1,6)代入y=-x+b中,
得6=1+b,∴b=5,
将A(-1,6)代入y=,得6=,∴k=-6.
故答案为:-6;5.
(2)求点D的坐标;
图Z3-13
解:(2)如图①,过点D作DM⊥x轴,垂足为M,过点A作AN⊥x轴,垂足为N,
∵==,∴=,
∵点A的坐标为(-1,6),∴AN=6,
∴DM=4,即点D的纵坐标为4,
把y=4代入y=-x+5中,得x=1,∴D(1,4).
(3)若将△ODC绕点O逆时针旋转,得到△OD'C',其中点D’落在x轴负半轴上,判断点C'是否落在函数y=(x<0)的图像上,并说明理由.
图Z3-13
解:(3)点C'不在函数y=(x<0)的图像上,理由如下:
由题意可知OC'=OC=5,OD'=OD==.
如图②,过点C'作C'G⊥x轴,垂足为G,
∵S△ODC=S△OD'C',∴OC·DM=OD'·C'G,
即5×4=C'G,∴C'G=.
在Rt△OC'G中,OG===,
∴C'的坐标为(-,),∵(-)×≠-6,
∴点C'不在函数y=-(x<0)的图像上.
8.在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点坐标为A(0,0),B(6,0),
C(6,8),D(0,8),AC,BD交于点E.
图Z3-14
(1)如图Z3-14①,双曲线y=过点E,直接写出点E的坐标和双曲线的解析式;
(2)如图②,双曲线y=与BC,CD分别交于点M,N,点C关于MN的对称点C'在y轴上.求证△CMN∽△CBD,并求点C'的坐标;
(3)如图③,将矩形ABCD向右平移m(m>0)个单位长度,使过点E的双曲线y=与AD交于点P.当△AEP为等腰三角形时,求m的值.
(1)如图Z3-14①,双曲线y=过点E,直接写出点E的坐标和双曲线的解析式;
图Z3-14
解:(1)E(3,4),双曲线解析式为y=.
[解析]∵四边形ABCD是矩形,∴DE=EB.
∵B(6,0),D(0,8),∴E(3,4).
∵双曲线y=过点E,∴k1=12,
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)如图②,双曲线y=与BC,CD分别交于点M,N,点C关于MN的对称点C'在y轴上.求证△CMN∽△CBD,并求点C'的坐标;
图Z3-14
解:(2)∵点M,N在反比例函数的图像上,∴DN·AD=BM·AB.
∵BC=AD,AB=CD,∴DN·BC=BM·CD,
∴=,即=,∴MN∥BD,∴△CMN∽△CBD.
∵B(6,0),D(0,8),∴直线BD的解析式为y=-x+8,
∵C,C'关于MN对称,∴CC'⊥MN.∴CC'⊥BD.
∵C(6,8),∴直线CC'的解析式为y=x+,∴C'(0,).
(3)如图③,将矩形ABCD向右平移m(m>0)个单位长度,使过点E的双曲线y=与AD交于点P.当△AEP为等腰三角形时,求m的值.
图Z3-14
解:(3)①当AP=AE=5时,∵P(m,5),E(m+3,4),P,E在反比例函数图像上,∴5m=4(m+3),∴m=12.
②当EP=AE时,点P与点D重合,
∵P(m,8),E(m+3,4),P,E在反比例函数图像上,
∴8m=4(m+3),∴m=3.
③显然PA≠PE,若相等,点P在点E的下方,显然不可能.
综上所述,满足条件的m的值为3或12.