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第11课时 用配方法求解一元二次方程
知识归纳
1.解一元二次方程的思路是将方程转化为 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。当n≥0时，两边同时 ，转化为一元一次方程，便可求出它的根．
2.通过配成完全平方式的方法得到了二元一次方程的的根，这种解一元二次方程的方法称为 ．
典例精讲
考点1：直接开平方法解一元二次方程
例1．解方程：
（1）x2＝6． （2）2x2﹣1＝7．
【解答】解：（1）x2＝3，x＝， ∴x1＝，x2＝﹣．
（2）2x2＝8，x2＝4，x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2．
1．解方程：
（1）x2﹣3＝5． （2）4x2﹣25＝0．
考点2：直接开平方法解一元二次方程
例2．解方程：（1）2（x﹣1）2＝18．（2）2（x﹣1）2﹣18＝0．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，所以x1＝4，x2＝﹣2．
（2）（x﹣1）2＝36，x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6，∴x1＝7，x2＝﹣5．
2．解方程：
（1）（x﹣1）2＝36． （2）2+（x﹣1）2＝18．
考点3：直接开平方法解一元二次方程
例3．解方程：
（1）4x2+1＝﹣4x；（2）x2-8x=13+4x ．
【解答】解：
（1）4x2+1＝﹣4x，4x2+4x+1＝0，（2x+1）2＝0，2x+1＝0，即x1＝x2＝﹣；
（2）原方程可变形为：x2﹣12x+36=49，（x﹣6）2＝72，x﹣6=±7，解得：x1=13，x2=-1．
3．解方程：
（1）x2+2x﹣5＝0．
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
考点4：直接开平方法解一元二次方程
例4．解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0．
【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2， 2（x+1）＝±3（x﹣2），∴x1＝8，x2＝．
4．解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．
基础巩固
1．解方程：
（1）x2﹣16＝0； （2）（x+2）2﹣16＝0 ；
（3）（2x﹣3）2＝9； （4）（x﹣3）2﹣25＝0．
2．解方程：
（1）（x﹣1）2＝2； （2）4（x﹣1）2＝1；
（3）2（x﹣1）2﹣16＝0； （4）（6﹣x）2＝128．
3．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，求x的值．
4．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m＝4的常数项为0，求m的值．
能力提升
5．解方程：
（1）（x+1）2＝16； （2）27（x﹣1）3＝﹣64；
（3）3（x﹣1）2＝12； （4）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
6．解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣32＝0； （2）8（x+1）3＝27；
（3）（2x﹣1）3＝32； （4）4（x﹣1）2﹣9＝0．
7．解方程： （1）4（x﹣2）2﹣49＝0； （2）；
（3）（3x﹣1）2＝（x+1）2； （4）（x+3）2＝16（x﹣2）2．
8．解关于x的方程：bx2＝x2+1（b≠1）．
素养拓展
9．在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4，（x+4）2＝20，直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：
解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40，（x+a）2﹣b2＝40，（x+a）2＝40+b2
直接开平方，得x1＝c，x2＝d．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是 ， ， ， ．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
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第11课时 用配方法求解一元二次方程
知识归纳
1.解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2= n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数。当n≥0时，两边同时 开平方 ，转化为一元一次方程，便可求出它的根．
2.通过配成完全平方式的方法得到了二元一次方程的的根，这种解一元二次方程的方法称为 配方法 ．
典例精讲
考点1：直接开平方法解一元二次方程
例1．解方程：
（1）x2＝6． （2）2x2﹣1＝7．
【解答】解：（1）x2＝3，x＝， ∴x1＝，x2＝﹣．
（2）2x2＝8，x2＝4，x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2．
1．解方程：
（1）x2﹣3＝5．（2）4x2﹣25＝0．
【解答】解：（1）x2﹣3＝5，x2＝8，x＝，∴x1＝2，x2＝﹣2．
（2）4x2﹣25＝0，4x2＝25，则x2＝，∴x1＝，x2＝﹣．
考点2：直接开平方法解一元二次方程
例2．解方程：（1）2（x﹣1）2＝18．（2）2（x﹣1）2﹣18＝0．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，所以x1＝4，x2＝﹣2．
（2）（x﹣1）2＝36，x﹣1＝6或x﹣1＝﹣6，∴x1＝7，x2＝﹣5．
2．解方程：
（1）（x﹣1）2＝36．（2）2+（x﹣1）2＝18．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝9，x﹣1＝±3，所以x1＝4，x2＝﹣2；
（2）2+（x﹣1）2＝18，∴（x﹣1）2＝16，∴x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，解得：x1＝5，x2＝﹣3．
考点3：直接开平方法解一元二次方程
例3．解方程：
（1）4x2+1＝﹣4x；（2）x2-8x=13+4x ．
【解答】解：
（1）4x2+1＝﹣4x，4x2+4x+1＝0，（2x+1）2＝0，2x+1＝0，即x1＝x2＝﹣；
（2）原方程可变形为：x2﹣12x+36=49，（x﹣6）2＝72，x﹣6=±7，解得：x1=13，x2=-1．
3．解方程：
（1）x2+2x﹣5＝0．
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
【解答】解：（1）x2+2x＝5，x2+2x+1＝5+1，即（x+1）2＝6，x+1＝±，即x＝﹣1，
∴x1＝﹣1﹣，x2＝﹣1+．
（2）x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝5，（x﹣1）2＝5，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．
考点4：直接开平方法解一元二次方程
例4．解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0．
【解答】解：4（x+1）2＝9（x﹣2）2， 2（x+1）＝±3（x﹣2），∴x1＝8，x2＝．
4．解方程：9（x﹣1）2＝16（x+2）2．
【解答】解：两边直接开平方，得：3（x﹣1）＝±4（x+2），
即3x﹣3＝4x+8或3x﹣3＝﹣4x﹣8，
解得：x＝﹣11或x＝﹣．
基础巩固
1．解方程：
（1）x2﹣16＝0；（2）（x+2）2﹣16＝0 ； （3）（2x﹣3）2＝9；（4）（x﹣3）2﹣25＝0．
【解答】解：（1）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4，即x1＝4，x2＝﹣4；
（2）（x+2）2＝16，x+2＝±4，所以x1＝2，x2＝﹣6；
（3）由原方程可得：2x﹣3＝±3，2x＝3±3，即2x＝0或2x＝6，解得：x＝0或x＝3；
（4）移项，得（x﹣3）2＝25，开方，得x﹣3＝±5，x1＝3+5＝8，x2＝3﹣5＝﹣2．
2．解方程：
（1）（x﹣1）2＝2；（2）4（x﹣1）2＝1；（3）2（x﹣1）2﹣16＝0；（4）（6﹣x）2＝128．
【解答】解：（1）（x﹣1）2＝2，，∴．
（2）4（x﹣1）2＝1，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝，∴x1＝，x2＝．
（3）2（x﹣1）2﹣16＝0，2（x﹣1）2＝16，（x﹣1）2＝8，x﹣1＝±2，∴x1＝1﹣2，x2＝1+2．
（4）（6﹣x）2＝128，（x﹣6）2＝128，∴x﹣6＝±8，∴x1＝6+8，x2＝6﹣8．
3．已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，求x的值．
【解答】解：根据题意知2x2+3+2x2﹣4＝0，整理可得：4x2﹣1＝0，4x2＝1，x2＝，解得：x＝±．
4．若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m＝4的常数项为0，求m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m＝4的常数项为0，
∴，解得m＝4或m＝﹣1（舍），∴m的值为4．
能力提升
5．解方程：
（1）（x+1）2＝16；（2）27（x﹣1）3＝﹣64；
（3）3（x﹣1）2＝12；（4）（y+2）2＝（3y﹣1）2．
【解答】解：（1）（x+1）2＝16，x+1＝±4，解得：x1＝﹣5，x2＝3；
（2）27（x﹣1）3＝﹣64，（x﹣1）3＝﹣，x﹣1＝﹣，解得：x＝﹣．
（3）3（x﹣1）2＝12，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1；
（4）直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1），即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1＝，y2＝﹣．
6．解方程：
（1）2（x﹣1）2﹣32＝0；（2）8（x+1）3＝27；
（3）（2x﹣1）3＝32；（4）4（x﹣1）2﹣9＝0．
【解答】解：（1）2（x﹣1）2﹣32＝0，2（x﹣1）2＝32，（x﹣1）2＝16，x﹣1＝±4，
x＝1±4，解得x＝5或x＝﹣3；
（2）（x+1）3＝，x+1＝，所以x＝．
（3）（2x﹣1）3＝32，（2x﹣1）3＝64，2x﹣1＝4，解得x＝2.5．
（4）由原方程，得（x﹣1）2＝，直接开平方，得x﹣1＝±，解得x1＝，x2＝﹣．
7．解方程：（1）4（x﹣2）2﹣49＝0；（2）；
（3）（3x﹣1）2＝（x+1）2；（4）（x+3）2＝16（x﹣2）2．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝，x﹣2＝±，所以x1＝，x2＝﹣．
（2），或，解得：x＝21或x＝3．
（3）方程两边直接开方得：3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），∴2x＝2，或4x＝0，解得：x1＝1，x2＝0．
（4）∵（x+3）2＝16（x﹣2）2，∴x+3＝4（x﹣2）或x+3＝﹣4（x﹣2），解得x1＝，x2＝1．
8．解关于x的方程：bx2＝x2+1（b≠1）．
【解答】解：bx2﹣x2＝1，（b﹣1）x2＝1，∵b≠1，∴x2＝，
当b＞1时，x＝±；当b＜1时，方程无实数根．
素养拓展
9．在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x+8）＝4
解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4
（x+4）2﹣42＝4，（x+4）2＝20，直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2．
我们称这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程：
解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40，（x+a）2﹣b2＝40，（x+a）2＝40+b2
直接开平方，得x1＝c，x2＝d．
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是 5 ， 3 ， 2 ， ﹣12 ．
（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4．
【解答】解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40．
（x+5）2﹣32＝40，（x+5）2＝40+32．直接开平方并整理，得．x1＝2， x2＝﹣12．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12，
故答案为：5、3、2、﹣12；
（2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4．
（x+2）2﹣42＝4，（x+2）2＝4+42．∴x＝﹣2±2，∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2．
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