2022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.1.1 函数的概念
知识梳理
知识点一 函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.
注意点：
(1)A，B是非空的实数集．
(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．
(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.
知识点二 函数的三要素
函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.
(1)定义域
定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.
(2)对应关系
对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一确定的y与之对应.
(3)值域
函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也会随之确定.
注意点：
(1) f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数.
知识点三 相同函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
注意点：
(1)函数相等与否与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示.如函数y＝x2＋x与函数y＝t2＋t这两个函数是同一个函数．
(2)两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
(3)两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数.
(4)定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数.
知识点四 区间概念
1.设a，b∈R，且a
定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值
注意点：
(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆．
(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立．但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.
(4)∞是一个符号，读作“无穷大”，而不是一个数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.
习题精练
选择题
1.设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：C
解析：①中，因为在集合M中当12.下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A.A R，B R，x2＋y2＝1 B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝ D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
答案：B
解析：对于A，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一，故不符合.对于B，符合函数的定义.对于C,2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合.
3. 已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x＋1 C．y＝x－1 D．y＝|x|.
答案：D
解析：只有y＝|x|是符合题意的对应关系．
4.下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝
D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
答案：B
解析：A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一；B正确，符合函数的定义；C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数；D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．
5. 已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.0或1
答案：B
解析：因为1在定义域[－1,5]上，所以f(1)存在且唯一.
6.下列选项中能表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2
答案：B
解析：对于选项A，前者定义域为R，后者定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；
对于选项B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数；
对于选项C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数．
7.函数f(x)＝的定义域为( )
A.(1，＋∞) B.[0，＋∞) C.(－∞，1)∪(1，＋∞) D.[0,1)∪(1，＋∞)
答案：D
解析：因为f(x)＝，所以x≥0且x≠1，故可知定义域为[0,1)∪(1，＋∞)，故选D.
8.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( )
A.{－2,0,4} B.{－2,0,2,4} C.{y|y≤－} D.{y|0≤y≤3}
答案：A
解析：依题意，当x＝－1时，y＝4；当x＝0时，y＝0；当x＝2时，y＝－2；当x＝3时，y＝0.所以函数y＝x2－3x的值域为{－2,0,4}.
9.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，＋∞) B.(0，) C.(，＋∞) D.[0，)
答案：C
解析：(1)当m＝0时，分母为4x＋3，此时定义域不为R，故m＝0不符合题意.
(2)当m≠0时，由题意，得解得m>. 由(1)(2)，知实数m的取值范围是(，＋∞).
10.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A.1 B.0 C.－1 D.2
答案：A
解析：∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1.∴a(a－1)2＝0.又∵a为正数，∴a＝1.
二、填空题
11.用区间表示下列集合：(1){x|－≤x<5}＝________；(2){x|x<1或2答案：(1)[－，5)；(2)(－∞，1)∪(2,3]
解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－≤x<5}＝[－，5).
(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或212.已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．
答案：(－3,2)
解析：由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0，解得－313.下列各组函数：①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝；③f(x)＝·，g(x)＝；④f(x)＝，g(x)＝x＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________(填序号)．
答案：③⑤
解析：①不是同一个函数，定义域不同，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R.②不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝.③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．④不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3.⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．
14.已知f(x)＝x2＋2x＋4(x∈[－2,2])，则f(x)的值域为________.
答案：[3,12]
解析：函数f(x)的图象对称轴为x＝－1，开口向上，而－1在区间[－2,2]上，所以f(x)的最小值为f(－1)＝3，最大值为f(2)＝12，所以f(x)在[－2,2]上的值域为[3,12].
15.(1)函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，则f(2x＋1)的定义域为________．
答案：[－1,1]
解析：令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1，所以f(2x＋1)的定义域为[－1,1]．
(2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2,4]，则y＝f(x)的定义域是________．
答案：[－5,13]
解析：由题意知，－2≤x≤4，所以－5≤3x＋1≤13，所以y＝f(x)的定义域是[－5,13]．
三、解答题
16. 求下列函数的定义域：
(1)y＝－；(2)y＝.(3)y＝2－；(4)y＝；
(5)y＝＋. (6)y＝＋.
(7)y＝－＋.
解：(1) 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即
∴函数的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}.
(2) 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足|x|－x≠0，即|x|≠x，
∴x＜0.
∴函数的定义域为{x|x＜0}.
(3) 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足得0≤x≤，
∴函数y＝2－的定义域为.
(4) 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 得x>－2且x≠－1.
∴函数y＝的定义域为.
(5) 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得－2≤x<0或0∴函数y＝＋的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
(6) 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足得x≤－或2≤x<4，∴函数的定义域为∪[2,4)
(7) 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得－≤x<2，且x≠0，
∴函数y＝－＋的定义域为.
17.求下列函数的值域.
(1)y＝－1(x≥4)；(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(3)y＝x＋；(4)y＝x2－2x－3(x∈[－1,2]).
解：(1)∵x≥4，∴≥2，∴－1≥1，∴y∈[1，＋∞).
(2)y＝{3,5,7,9,11}.
(3)方法一 函数y＝x＋的定义域为[，＋∞)，易知在定义域内y随x的增大而增大，故函数在x＝时取最小值，无最大值，故值域为[，＋∞).
方法二 设u＝，则u≥0，且x＝，于是，y＝＋u＝(u＋1)2≥，
∴y＝x＋的值域为[，＋∞).
(4)y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，作出其图象可得值域为[－4,0].
18.已知函数f(x)＝＋.(1)求函数的定义域；(2)求f(－3)，f()的值；(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值.
解：(1)由得函数的定义域为[－3，－2)∪(－2，＋∞).
(2)f(－3)＝－1，f()＝＋.
(3)当a>0时，f(a)＝＋，a－1∈(－1，＋∞)，f(a－1)＝＋.
19．已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．(1)求f(0)和f(1)的值；(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值．
解：(1)令x＝y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，
令x＝y＝1则f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)令x＝2，y＝3，则f(6)＝f(2)＋f(3)＝a＋b，
令x＝y＝6，则f(36)＝2f(6)＝2(a＋b)，
∴f(36)＝2(a＋b)．
3.1.1 函数的概念 1/12022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.1.1 函数的概念
知识梳理
知识点一 函数的概念
(1)函数的定义：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
(2)函数的定义域与值域：
函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.
注意点：
(1)A，B是非空的实数集．
(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．
(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.
知识点二 函数的三要素
函数的三个要素：定义域，对应关系，值域.
(1)定义域
定义域是自变量x的取值集合.有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.
(2)对应关系
对应关系f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域集合A中任取一个x，可得到值域{y|y＝f(x)且x∈A}中唯一确定的y与之对应.
(3)值域
函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，那么它的值域也会随之确定.
注意点：
(1) f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数.
知识点三 相同函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
注意点：
(1)函数相等与否与自变量用什么字母没有关系，只是习惯上自变量用x表示.如函数y＝x2＋x与函数y＝t2＋t这两个函数是同一个函数．
(2)两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
(3)两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数.
(4)定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数.
知识点四 区间概念
1.设a，b∈R，且a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} [a，＋∞)
{x|x>a} (a，＋∞)
{x|x≤a} (－∞，a]
{x|xR (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值
注意点：
(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆．
(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．
(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立．但不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示.
(4)∞是一个符号，读作“无穷大”，而不是一个数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号.
习题精练
选择题
1.设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下列对应关系式中是A到B的函数的是( )
A.A R，B R，x2＋y2＝1 B.A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，f：x→y＝|x|＋1
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝ D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
3. 已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系，其中能构成从M到N的函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x＋1 C．y＝x－1 D．y＝|x|.
4.下列对应或关系式中是A到B的函数的是( )
A.A∈R，B∈R，x2＋y2＝1
B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝
D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
5. 已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，则在同一坐标系中，函数f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.0或1
6.下列选项中能表示同一个函数的是( )
A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1
C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2
7.函数f(x)＝的定义域为( )
A.(1，＋∞) B.[0，＋∞) C.(－∞，1)∪(1，＋∞) D.[0,1)∪(1，＋∞)
8.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( )
A.{－2,0,4} B.{－2,0,2,4} C.{y|y≤－} D.{y|0≤y≤3}
9.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，＋∞) B.(0，) C.(，＋∞) D.[0，)
10.若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a的值是( )
A.1 B.0 C.－1 D.2
二、填空题
11.用区间表示下列集合：(1){x|－≤x<5}＝________；(2){x|x<1或212.已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________．
13.下列各组函数：①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝；③f(x)＝·，g(x)＝；④f(x)＝，g(x)＝x＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)．
其中表示同一个函数的是________(填序号)．
14.已知f(x)＝x2＋2x＋4(x∈[－2,2])，则f(x)的值域为________.
15.(1)函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，则f(2x＋1)的定义域为________．
(2)若函数y＝f(3x＋1)的定义域为[－2,4]，则y＝f(x)的定义域是________．
三、解答题
16. 求下列函数的定义域：
(1)y＝－；(2)y＝.(3)y＝2－；(4)y＝；
(5)y＝＋. (6)y＝＋.
(7)y＝－＋.
17.求下列函数的值域.
(1)y＝－1(x≥4)；(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(3)y＝x＋；(4)y＝x2－2x－3(x∈[－1,2]).
18.已知函数f(x)＝＋.(1)求函数的定义域；(2)求f(－3)，f()的值；(3)当a>0时，求f(a)，f(a－1)的值.
19．已知函数f(x)对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)成立．(1)求f(0)和f(1)的值；(2)若f(2)＝a，f(3)＝b(a，b均为常数)，求f(36)的值．
3.1.1 函数的概念 1/1