2022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.1.2 函数的表示法
知识梳理
知识点 函数的三种表示方法
表示法 定义
解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
注意点：
三种表示方法的优、缺点比较：
优点 缺点
解析法 ①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 一般只能表示部分自变量的函数值
图象法 直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大
(2) 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
知识点二 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.
注意点：
(1)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(2)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
习题精练
选择题
1．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B．2 C．1 D．0
答案：B
解析：∵g(2)＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝2.
2.已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于( )
A.3x＋2 B.3x－2 C.2x＋3 D.2x－3
答案：B
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，∴∴∴f(x)＝3x－2.
3.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝x2＋2x＋1 B.f(x)＝x2－2x＋1 C.f(x)＝x2＋2x－1 D.f(x)＝x2－2x－1
答案：A
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＝t2＋2t＋1，∴f(x)＝x2＋2x＋1.
4.已知f(1－2x)＝，则f()的值为( )
A.4 B. C.16 D.
答案：C
解析：根据题意知1－2x＝，解得x＝，故＝16.
5.函数f(x)＝x＋的图象是( )
答案：C
解析：f(x)＝
6.如图中图象所表示的函数的解析式为( )
A.y＝|x－1|(0≤x≤2) B.y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C.y＝－|x－1|(0≤x≤2) D.y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
答案：B
解析：由图象知，当0≤x≤1时，y＝x；当17.设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为( )
A.1 B.－1 C.1或－1 D.1或－2
答案：B
解析：∵g(x)＝(x2＋3)，∴g(f(x))＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故选B.
8.设函数f ＝x，则f(x)的表达式为( )
A.(x≠－1) B.(x≠－1) C.(x≠－1) D.(x≠－1)
答案：C
解析：令t＝，则x＝，∴f(t)＝，即f(x)＝.
9.设函数f(x)＝，则f(f(3))等于( )
A. B.3 C. D.
答案：D
解析：∵f(3)＝，∴f(f(3))＝2＋1＝.
10.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
答案：A
解析：由题意可得y＝f(x)＝画出函数f(x)的大致图象，故选A.
二、填空题
11.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
答案：1 2
解析：∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.
x 1 2 3
f(g(x)) 1 3 1
g(f(x)) 3 1 3
∴f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.
12.已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
答案：[－2,4]∪[5,8] [－4,3]
解析：函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
13. (2022·黄冈质检)已知f ＝x4＋，则f(x)＝__________.
答案：x2－2，x∈[2，＋∞)
解析：∵f ＝2－2，∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
14. (2022·河北冀州一中模拟)设f(x)＝则f(f(－1))＝________，f(x)的最小值是________．
答案：0 2－3
解析：∵f(－1)＝2，∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0，当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，当且仅当x＝时取等号，f(x)min＝2－3，当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，∴f(x)min＝1，综上有f(x)的最小值为2－3.
15.设函数f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
答案：[－2,0)∪(0,1]
解析：当x<0时，f(x)＝x，代入xf(x)＋x≤2得x2＋x－2≤0，解得－2≤x<0；当x>0时，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得0三、解答题
16.画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)若x1解：函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x －1 0 1 3
y 0 3 4 0
描点，连线，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
17.作出下列函数的图象，并求出其值域.(1)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]；(2)y＝|x＋1|.
解：(1)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2].列表如下：
x －2 －1 0 1 2
y 0 －1 0 3 8
作出函数图象如图(1)所示，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2的部分，可得函数的值域是[－1,8].
(2)当x＋1≥0，即x≥－1时，y＝x＋1；
当x＋1<0，即x<－1时，y＝－x－1.∴y＝
作该分段函数的图象如图(2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞).
18.(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式.
(3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式.
解：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b
＝ax＋8a＋b＝2x＋21，
所以a＝2，b＝5，
所以f(x)＝2x＋5.
(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由f(0)＝1，得c＝1.
又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，
整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.
(3)∵f＝2＋2＋1＝2＋3.∴f(x)＝x2＋3.
(4)以－x代替x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：
f(x)＝x2－2x.
19.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？
(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30 千米．
(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．
(3)第一次休息时，离家17 千米．
(4)11∶00至12∶00他骑了13 千米．
(5)9∶00～10∶00的平均速度是10 千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14 千米/时．
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．
3.1.2 函数的表示法 1/12022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.1.2 函数的表示法
知识梳理
知识点 函数的三种表示方法
表示法 定义
解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系
注意点：
三种表示方法的优、缺点比较：
优点 缺点
解析法 ①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 一般只能表示部分自变量的函数值
图象法 直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大
(2) 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
知识点二 分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数.
注意点：
(1)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(2)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
习题精练
选择题
1．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B．2 C．1 D．0
2.已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)等于( )
A.3x＋2 B.3x－2 C.2x＋3 D.2x－3
3.已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝x2＋2x＋1 B.f(x)＝x2－2x＋1 C.f(x)＝x2＋2x－1 D.f(x)＝x2－2x－1
4.已知f(1－2x)＝，则f()的值为( )
A.4 B. C.16 D.
5.函数f(x)＝x＋的图象是( )
6.如图中图象所表示的函数的解析式为( )
A.y＝|x－1|(0≤x≤2) B.y＝－|x－1|(0≤x≤2)
C.y＝－|x－1|(0≤x≤2) D.y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
7.设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为( )
A.1 B.－1 C.1或－1 D.1或－2
8.设函数f ＝x，则f(x)的表达式为( )
A.(x≠－1) B.(x≠－1) C.(x≠－1) D.(x≠－1)
9.设函数f(x)＝，则f(f(3))等于( )
A. B.3 C. D.
10.如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
二、填空题
11.已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
12.已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
13. (2022·黄冈质检)已知f ＝x4＋，则f(x)＝__________.
14. (2022·河北冀州一中模拟)设f(x)＝则f(f(－1))＝________，f(x)的最小值是________．
15.设函数f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
三、解答题
16.画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)若x117.作出下列函数的图象，并求出其值域.(1)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]；(2)y＝|x＋1|.
18.(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；
(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式.
(3)已知f＝x2＋＋1，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式.
19.如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？
(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
3.1.2 函数的表示法 1/1
