2022-2023学年(新RJ·A)必修第一册3.2.1 第1课时 函数的单调性 （含解析）

2022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.2.1函数的单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
知识梳理
知识点一　单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
注意点：
(1)区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集．
(2)同区间性，即x1，x2∈D.
(3)任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替．
(4)有序性，即要规定x1，x2的大小．
(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一．
(6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
知识点二　单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
注意点：
(1)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接. 如y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减.只能说y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减或在(－∞，0)，(0，＋∞)上递减.
习题精练
选择题
1.下列说法中：①若x1，x2∈I，当x1A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
答案：A
解析：函数单调性的定义中的x1，x2是任意的，强调的是任意，①不对；②y＝x2，当x≥0时是增函数，当x<0时是减函数，从而y＝x2在其整个定义域上不具有单调性；③y＝－在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f(－3)>f(5)；④y＝的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法．
2.函数y＝的递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.[－5，－2] C.[－2,1] D.[－5,1]
答案：B
解析：由5－4x－x2≥0，得函数的定义域为{x|－5≤x≤1}．∵y＝5－4x－x2＝－(x2＋4x＋4)＋9＝－(x＋2)2＋9，对称轴方程为x＝－2，抛物线开口向下，∴函数的递增区间为[－5，－2]．
3.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则(　　)
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)f(a－2) D.f(6)>f(a)
答案：C
解析：因为函数f(x)是增函数，且a＋3>a－2，所以f(a＋3)>f(a－2).
4.已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是(　　)
答案：B
解析：①当a＝0时，y＝2ax＋b的图象可能是A；②当a>0时，－≥0 b≤0，y＝2ax＋b的图象可能是C；③当a<0时，－≥0 b≥0，y＝2ax＋b的图象可能是D.
5.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A.(－1,0)∪(0,1) B.(－1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]
答案：D
解析：f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴a≤1.∵g(x)＝在区间[1,2]上为减函数，∴a>0，∴06.已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　)
A.f(1)f(1)>f(－2) D.f(1)>c>f(－2)
答案：D
解析：二次函数f(x)＝x2＋4x＋c图象的对称轴为x＝－2，且开口向上，所以在[－2，＋∞)上为增函数，所以f(－2)c>f(－2).
7.已知函数f(x)＝，若0A.<< B.<< C.<< D.<<
答案：C
解析：由题意可知0>.故选C.
8.已知定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，若f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)
A.[－1,2) B.[0,2) C.[0,1) D.[－1,1)
答案：C
解析：定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，∴函数f(x)在[－2,2]上单调递增，∴∴∴0≤a<1，故选C.
9.若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　)
A. B.[1,2] C. D.
答案：B
解析：要使此分段函数为R上的增函数，必须使函数g(x)＝(2b－1)x＋b－1在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝－x2＋(2－b)x在(－∞，0]上单调递增，且满足h(0)≤g(0)，根据一次函数和二次函数的单调性可得解得1≤b≤2，即实数b的取值范围是[1,2]．
10.在实数集R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a.(2)对任意a∈R，a*0＝a.(3)对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c，则函数f(x)＝x*的单调递减区间是(　　)
A. B. C. D.
答案：D
解析：在(3)中，令c＝0，得a*b＝(a*b)*0＝0*(ab)+ (a*0)+ (b*0)-2×0=ab+a+b，则f(x)=x*＝＋＝2－，易知函数f(x)的单调递减区间为.
二、填空题
11.如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数.
答案： [－2,1]　[3,5]　[－5，－2]　[1,3]
解析：观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5].其中y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上是增函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是减函数.
12.已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)答案：[，)
解析：由题意得得即≤a<.∴a的取值范围是≤a<.
13.已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是 .
答案：(－∞，4]∪[16，＋∞)
解析：二次函数f(x)的图象的对称轴是直线x＝.因为二次函数在对称轴的两侧的单调性相反，即 (1,4)，所以≤1或≥4，即m≤4或m≥16.
14.已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么则a的取值范围是________.
答案：[，)
解析：要使f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，必须同时满足3个条件：①g(x)＝(3a－1)x＋4a在(－∞，1)上为减函数；②h(x)＝－x＋1在[1，＋∞)上为减函数；③g(1)≥h(1).所以所以≤a<.
15.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)答案：
解析：由题意，得解得1≤x<，故满足条件的x的取值范围是.
三、解答题
16.求证：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数.
证明:　设任意的x1，x2∈(0,1)，且x1所以f(x2)－f(x1)＝(x2＋)－(x1＋)＝(x2－x1)＋＝(x2－x1)(1－)＝.
因为00，x2－x1>0，
所以<0，所以f(x2)所以函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数.
17.已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设11.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)<0.
因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，
所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
18.函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
证明: (1)设x1，x2∈R，且x10，f(x2－x1)>1.
∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1).
故f(x)在R上是增函数.
解：(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.
∴原不等式可化为f(3m2－m－2)∵f(x)在R上是增函数，∴3m2－m－2<2，解得－1故不等式的解集为(－1，).
19.设函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且满足条件f(4)＝1，对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有>0.
(1)求f(1)的值；
(2)若f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围．
解：(1)∵对任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
∴令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)，即f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)设00，
得f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数．
令x1＝x2＝4，则f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，即f(16)＝2.
∴f(x＋6)＋f(x)>f(16)，
∴f((x＋6)x)>f(16)，∴解得x>2，
∴x的取值范围是(2，＋∞)．
3.2.1 第1课时 函数的单调性 1/12022-2023学年(新RJ·A)必修第一册同步习题
3.2.1函数的单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
知识梳理
知识点一　单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
注意点：
(1)区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集．
(2)同区间性，即x1，x2∈D.
(3)任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替．
(4)有序性，即要规定x1，x2的大小．
(5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一．
(6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．
知识点二　单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
注意点：
(1)函数的单调区间是函数定义域的子集，在求解的过程中不要忽略了函数的定义域.
(2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接. 如y＝在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上也递减，但不能说y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减.只能说y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减或在(－∞，0)，(0，＋∞)上递减.
习题精练
选择题
1.下列说法中：①若x1，x2∈I，当x1A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.函数y＝的递增区间是(　　)
A.(－∞，－2) B.[－5，－2] C.[－2,1] D.[－5,1]
3.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则(　　)
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)f(a－2) D.f(6)>f(a)
4.已知函数y＝ax2＋bx－1在(－∞，0]上是单调函数，则y＝2ax＋b的图象不可能是(　　)
5.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A.(－1,0)∪(0,1) B.(－1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]
6.已知函数f(x)＝x2＋4x＋c，则(　　)
A.f(1)f(1)>f(－2) D.f(1)>c>f(－2)
7.已知函数f(x)＝，若0A.<< B.<< C.<< D.<<
8.已知定义在[－2,2]上的函数f(x)满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，若f(a2－a)>f(2a－2)，则实数a的取值范围为(　　)
A.[－1,2) B.[0,2) C.[0,1) D.[－1,1)
9.若函数f(x)＝在R上为增函数，则实数b的取值范围为(　　)
A. B.[1,2] C. D.
10.在实数集R中定义一种运算“*”，使其具有下列性质：(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a.(2)对任意a∈R，a*0＝a.(3)对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c，则函数f(x)＝x*的单调递减区间是(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
11.如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数.
12.已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)13.已知函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是 .
14.已知f(x)＝是定义在R上的减函数，那么则a的取值范围是________.
15.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)三、解答题
16.求证：函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数.
17.已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
18.函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
19.设函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且满足条件f(4)＝1，对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有>0.
(1)求f(1)的值；
(2)若f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围．
3.2.1 第1课时 函数的单调性 1/1